湖南师大附中2013届高三数学第三次月考试卷 理（含解析）

1 2012 20132012 2013 学年湖南师大附中高三第三次月考数学试卷 理科 学年湖南师大附中高三第三次月考数学试卷 理科 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 8 8 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 4040 分 在每小题给出的四个选项中 只有分 在每小题给出的四个选项中 只有 一项是符合题目要求的 一项是符合题目要求的 1 5 分 已知集合 A 1 2 B 2 4 则集合 M z z x y x A y B 中元素的个 数为 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 考点 集合中元素个数的最值 专题 计算题 分析 集合 A 1 2 B 2 4 集合 M z z x y x A y B 利用列举法求出集合 M 解答 解 集合 A 1 2 B 2 4 z 1 2 2 z 1 4 4 z 2 2 4 z 2 4 8 M 2 4 8 集合 M 有三个元素 故选 C 点评 此题考查集合的三要素中的互异性 注意集合 A 和 B 构成了集合 M 此题是一道基 础题 2 5 分 复数 z a2 a 2 i a R 为纯虚数的充分不必要条件是 A 0B a 1C a 1 或 a 2 D a l 或 a 2 考点 必要条件 充分条件与充要条件的判断 专题 计算题 分析 若复数 z a2 a 2 i a R 为纯虚数可得 a2 a 2 0 解出 a 的值 再根据充分 不必要的定义进行判断 解答 解 复数 z a2 a 2 i a R 为纯虚数 a2 a 2 0 即 a 2 a 1 0 解得 a 2 或 1 a 1 可以推出复数 z a2 a 2 i a R 为纯虚数 C 选项是充要条件 故选 B 点评 此题主要考查纯虚数的定义 还考查了充分必要条件的定义 此题是一道基础题 2 3 5 分 如图 测量河对岸的塔高 AB 时可以选与塔底 B 在同一水平面内的两个测点 C 与 D 测得 BCD 15 BDC 30 CD 30 并在点 C 测得塔顶 A 的仰角为 60 则塔高 AB A B C D 考点 正弦定理 专题 计算题 解三角形 分析 先根据三角形内角和为 180 求得 CBD 再根据正弦定理求得 BC 进而在 Rt ABC 中 根据 AB BCtan ACB 求得 AB 解答 解 在 BCD 中 CBD 180 15 30 135 由正弦定理得 所以 BC 15 在 Rt ABC 中 AB BCtan ACB 15 故选 D 点评 本题考查了解三角形的实际应用 考查学生的计算能力 属于基础题 4 5 分 已知等差数列 an 中 前四项的和为 60 最后四项的和为 260 且 Sn 520 则 a7为 A 20B 40C 60D 80 考点 等差数列的前 n 项和 专题 等差数列与等比数列 分析 由题意及等差数列的性质可得 4 a1 an 320 可得 a1 an 的值 再利用等差数列 的前 n 项和公式求出项数 n 的值 再由等差数列的性质和求和公式可得 13a7 520 解之即可 解答 解 由题意及等差数列的性质可得 4 a1 an 60 260 320 a1 an 80 3 前 n 项和是 Sn 520 40n 解得 n 13 即 S13 520 又由等差数列的性质和求和公式可得 S13 520 解得 a7 40 故选 B 点评 本题主要考查等差数列的定义和性质 等差数列的前 n 项和公式的应用 求出 a1 an 80 是解题的关键 属基础题 5 5 分 抛物线 y2 4x 与直线 y x 8 所围成图形的面积为 A 84B 168C 36D 72 考点 定积分 专题 计算题 导数的概念及应用 分析 联解可得抛物线 y2 4x 与直线 y x 8 交于 A 4 4 和 B 16 8 然后将两个 曲线看成关于 y 的函数 得所围成的图形面积为 S 再利用积分计算公式和运算法则 即可算出所求面积 解答 解 抛物线 y2 4x 与直线 y x 8 方程联解 得 两个图象交于点 A 4 4 B 16 8 由抛物线 y2 4x 得 x y2 由直线 y x 8 得 x y 8 将两个曲线看成关于 y 的函数 得所围成的图形面积为 S 8y 82 8 8 83 4 2 8 4 4 3 72 故选 D 点评 本题给出抛物线与直线 求它们围成的图形的面积 着重考查了积分计算公式和运 4 算法则 定积分的几何意义等知识 属于中档题 6 5 分 S 是正三角形 ABC 所在平面外的一点 如图 SA SB SC 且 ASB BSC CSA M N 分别是 AB 和 SC 的中点 则异面直线 SM 与 BN 所成角的余弦值为 A B C D 考点 异面直线及其所成的角 专题 计算题 空间角 分析 连接 MC 取 MC 中点为 Q 连接 NQ BQ 则 NQ 和 SM 平行 QNB 或其补角 即为 SM 和 BN 所成的角 利用余弦定理可得结论 解答 解 连接 MC 取 MC 中点为 Q 连接 NQ BQ 则 NQ 和 SM 平行 QNB 或其补角 即为 SM 和 BN 所成的角 设 SA SB SC a 则 AB BC CA a 因为 ASB BSC CSA ABC 是正三角形 M N Q 是中点 所以 NQ SM a MC a QB a NB a cos QNB 异面直线 SM 与 BN 所成角的余弦值为 故选 A 5 点评 本题考查线线角 考查余弦定理 考查学生的计算能力 正确作出线线角是关键 7 5 分 2010 成都二模 如图 点 F 为椭圆 1 a b 0 的一个焦点 若椭 圆上存在一点 P 满足以椭圆短轴为直径的圆与线段 PF 相切于线段 PF 的中点 则该椭圆 的离心率为 A B C D 考点 椭圆的定义 椭圆的简单性质 分析 设线段 PF 的中点为 M 另一个焦点 F 利用 OM 是 FPF 的中位线 以及椭圆的 定义求出直角三角形 OMF 的三边之长 使用勾股定理求离心率 解答 解 设线段 PF 的中点为 M 另一个焦点 F 由题意知 OM b 又 OM 是 FPF 的 中位线 OM PF b PF 2b 由椭圆的定义知 PF 2a PF 2a 2b 又 MF PF 2a 2b a b 又 OF c 直角三角形 OMF 中 由勾股定理得 a b 2 b2 c2 又 a2 b2 c2 可求得离心率 e 故答案选 B 点评 本题考查椭圆的定义 椭圆上任一点到两个焦点的距离之和等于常数 2a 8 5 分 若函数 f x ax2 bx c a 0 的图象和直线 y x 无交点 给出下列结论 方程 f f x x 一定没有实数根 6 若 a 0 则必存在实数 x0 使 f f x0 x0 若 a b c O 则不等式 f f x x 对一切实数 x 都成立 函数 g x ax2 bx c 的图象与直线 y x 也一定没有交点 其中正确的结论个数有 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 考点 命题的真假判断与应用 专题 计算题 函数的性质及应用 分析 由函数 f x 的图象与直线 y x 没有交点 所以 f x x a 0 或 f x x a 0 恒成立 进而逐一由此判断题设中的四个命题的真假即可得到答案 解答 解 因为函数 f x 的图象与直线 y x 没有交点 所以 f x x a 0 或 f x x a 0 恒成立 因为 f f x f x x 或 f f x f x x 恒成立 所以 f f x x 没有实数根 故 正确 若 a 0 则不等式 f f x x 对一切实数 x 都成立 所以不存在 x0 使 f f x0 x0 故 错误 若 a b c 0 则 f 1 0 1 可得 a 0 因此不等式 f f x x 对一切实数 x 都成立 故 正确 易见函数 g x f x 与 f x 的图象关于 y 轴对称 所以 g x 和直线 y x 也一定没有交点 故 正确 故选 C 点评 本题考查的知识点是命题的真假判断与应用 其中根据已知得到 f x x a 0 或 f x x a 0 恒成立是解答本题的关键 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 7 7 个小题 每小题个小题 每小题 5 5 分 共分 共 3535 分 把答案填在答题卡中对应题号后分 把答案填在答题卡中对应题号后 的横线上 的横线上 9 5 分 2004 天津 某工厂生产 A B C 三种不同型号的产品 产品数量之比依次为 2 3 5 现用分层抽样方法抽出一个容量为 n 的样本 样本中 A 种型号产品有 16 件 那 么此样本的容量 n 80 考点 分层抽样方法 分析 根据数量比 2 3 5 得到 A 被抽的比例 进而得到抽到的数量 解答 解 n n 80 7 故答案是 80 点评 本题主要考查分层抽样方法 10 5 分 已知函数 f x x3 则不等式 f 2x2 1 1 的解集为 x x 1 或 x 1 考点 函数单调性的性质 专题 函数的性质及应用 分析 根据 f x x3 是 R 上的减函数 且 f 1 1 则不等式 f 2x2 1 1 即 2x2 1 1 由此求得不等式的解集 解答 解 函数 f x x3 是 R 上的减函数 f 1 1 则不等式 f 2x2 1 1 即 2x2 1 1 即 x2 1 解得 x 1 或 x 1 故不等式 f 2x2 1 1 的解集为 x x 1 或 x 1 故答案为 x x 1 或 x 1 点评 本题主要考查函数的单调性 一元二次不等式的解法 属于中档题 11 5 分 2011 福建 盒中装有形状 大小完全相同的 5 个球 其中红色球 3 个 黄色 球 2 个 若从中随机取出 2 个球 则所取出的 2 个球颜色不同的概率等于 考点 古典概型及其概率计算公式 专题 计算题 分析 先判断出此题是古典概型 利用排列 组合求出随机取出 2 个球的方法数及取出的 2 个球颜色不同的方法数 利用古典概型概率公式求出值 解答 解 从中随机取出 2 个球 每个球被取到的可能性相同 是古典概型 从中随机取出 2 个球 所有的取法共有 C52 10 所取出的 2 个球颜色不同 所有的取法有 C31 C21 6 由古典概型概率公式知 P 故答案为 点评 本题考查利用排列 组合求完成事件的方法数 考查利用古典概型概率公式求事件 的概率 12 5 分 设正实数 x y z 满足 x 2y z 1 则的最小值为 7 8 考 点 平均值不等式 专 题 不等式的解法及应用 分 析 把式子中的 1 换成已知条件 x y y z 1 化简后再利用基本 不等式即可 解 答 解 正实数 x y z 满足 x 2y z 1 1 7 当且仅当 x y y z 1 即 时 取等号 则的最小值为 7 故答案为 7 点 评 适当变形应用基本不等式是解题的关键 13 5 分 如图 在 ABC 中 点 E 为 AB 边的中点 点 F 在 AC 边上 且 CF 2FA BF 交 CE 于点 M 设 则 x y 考点 平面向量的基本定理及其意义 专题 平面向量及应用 分析 分别在 AEM AFM 中 由向量的加法法则可得 再 由向量的共线可设 根据向量的加法法则 代入已知条件计算即可 解答 解 由图及向量的加法和减法可知 9 由与共线 可设 同理可得 又 则 解得 故答案为 点评 充分理解向量的运算法则及共线的意义是解题的关键 14 5 分 已知实数 x y 满足 则 3x2 y2最小值为 考点 简单线性规划的应用 专题 数形结合 不等式的解法及应用 分析 确定不等式表示的平面区域 求出特殊点位置 3x2 y2的值 比较即可得到结论 解答 解 不等式表示的平面区域如图所示 设 z 3x2 y2 则由 可得 x y 此时 z 10 由 可得 x y 此时 z 当直线与 z 3x2 y2相切时 可得 12 15 4 z 0 z 此时 x 不在可行域内 不满足题意 3x2 y2最小值为 故答案为 点评 本题考查线性规划知识 考查学生分析解决问题的能力 属于中档题 15 5 分 形如 的数阵称为 n 阶矩阵 有 n2 n 无穷大 个数 以一定的规则排列 构成如下 n 阶矩阵 此表中 主对角线上的数依次为 l 2 5 10 17 则主对角线上的第 101 个数为 10001 数字 2013 在此表中共出现 4 次 考点 高阶矩阵 专题 等差数列与等比数列 分析 1 观察主对角线上述列每一项都是前几项的和 可发现 an n 1 2 1 将各项 代入验证 可得递推式 2 由编码可得 第 m 行是首项为 1 公差为 m 1 的等差数列 则第 m 行的第 n 个 数为 am 1 n 1 m 1 由此进行列举 能求出数字 2013 在此表中出现的次 数 解答 解 设此表中主对角线上的第 n 个数为 an 此表中 主对角线上的数依次为 l 2 5 10 17 11 a1 1 1 1 2 1 a2 1 1 2 2 1 2 1 a3 1 1 3 5 3 1 2 1 a4 1 1 3 5 10 4 1 2 1 a5 1 1 3 5 7 17 5 1 2 1 a6 1 1 3 5 7 9 26 6 1 2 1 观察主对角线上的数 发现 an n 1 2 1 主对角线上的第 101 个数 a101 101 1 2 1 10001 2 由编码可得 第 m 行是首项为 1 公差为 m 1 的等差数列 则第 m 行的第 n 个数为 am 1 n 1 m 1 第一列都是 1 所以不会出现 2013 第二列第 2013 行的数就是 2013 第三列中 n 3 计算公式为 am 2 m 1 1 2m 1 故可以出现 2013 第四列中 n 4 计算公式为 am 3 m 1 1 3m 2 故不可以出现 2013 第五列中 n 5 计算公式为 am 4 m 1 1 4m 3 2013 504 4 3 故可以出现 2013 第六列中 n 6 计算公式为 am 5 m 1 1 5m 4 2013 403 5 2 故不可以出 现 2013 第七列中 n 7 计算公式为 am 6 m 1 1 6m 5 2013 6 336 3 故不可以出 现 2013 第八列中 n 8 计算公式为 am 7 m 1 1 7m 6 故不可以出现 2013 第九列中 n 9 计算公式为 am 8 m 1 1 8m 7 故不可以出现 2013 第十列中 n 10 计算公式为 am 10 m 1 1 10m 9 故不可以出现 2013 数字 2013 在此表列中共出现 3 次 同理 数字 2013 在此表的行中也出现 3 次 故数字 2013 在此表列中共出现 6 次 故答案为 10001 6 点评 本题考查递推公式的求解和应用 难度较大 解题时要认真审题 仔细解答 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 6 6 小题 共小题 共 7575 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 16 12 分 已知向量 函数 f x 1 求 f x 的对称轴方程 2 若且 求的值 考点 平面向量数量积的运算 两角和与差的正弦函数 专题 计算题 12 分析 1 由题意可得函数 f x 的解析式 由整体法可得对称轴 2 由 1 可得 sin 进而可得 cos 而 2sin 1 2sin 1 由两角和 与差的公式可得答案 解答 解 1 由题意可得 函数 f x 2sin 1 由 k k Z 可得 x k 故 f x 的对称轴方程为 x k k Z 2 由 1 知 2sin 1 解得 sin 结合可得 cos 而 2sin 1 2sin 1 2sin cos 2cos sin 1 2 1 点评 本题为三角函数和向量的数量积的结合 两角和与差的三角函数公式是解决问题的 关键 属中档题 17 12 分 某同学参加某高校的自主招生考试 该测试只考语文 数学 英语三门课程 其中该同学语文取得优秀成绩的概率为 0 5 数学和英语取得优秀成绩的概率分别为 p q p q 且不同课程取得优秀成绩相互独立 记 为该生取得优秀成绩的课程数 其分布列为 0123 P0 12ab0 12 1 求 p q 的值 2 求数学期望 E 考点 离散型随机变量的期望与方差 离散型随机变量及其分布列 专题 计算题 概率与统计 分析 1 用 A 表示 该生语文课程取得优秀成绩 用 B 表示 该生数学课程取得优秀 13 成绩 用 C 表示 该生英语课程取得优秀成绩 由题意得 P 1 0 5 1 p 1 q 0 12 P ABC 0 5pq 0 12 由此能求出 p q 2 由题设知 的可能取值为 0 1 2 3 分别求出其概率 由此能够求出数学 期望 E 解答 解 1 用 A 表示 该生语文课程取得优秀成绩 用 B 表示 该生数学课程取得优秀成绩 用 C 表示 该生英语课程取得优秀成绩 由题意得 P A 0 5 P B p P C q p q P 1 0 5 1 p 1 q 0 12 P ABC 0 5pq 0 12 解得 p 0 4 q 0 6 2 由题设知 的可能取值为 0 1 2 3 P 0 0 12 P 1 P P P 0 5 1 0 4 1 0 6 1 0 5 0 4 1 0 6 1 0 5 1 0 4 0 6 0 38 P 2 P AB P A P 0 5 0 4 1 0 6 0 5 1 0 4 0 6 1 0 5 0 4 0 6 0 38 P 3 0 12 E 0 0 12 1 0 38 2 0 38 3 0 12 1 5 点评 本题考查离散随机变量的概率分布列和数学期望 是历年高考的必考题型之一 解 题时要认真审题 注意排列组合知识和概率知识的灵活运用 18 12 分 如图 l 四边形 ABCD 中 AB AD AB AD DC BC 将 DCB 沿 BD 折起 使 AC BC 如图 2 点 E 在 DC 上 AE 且 AE DC 若二面角 A BD C 的正弦值为 1 求证 AE BD 2 求三棱锥 D ABE 的体积 考点 二面角的平面角及求法 棱柱 棱锥 棱台的体积 空间中直线与直线之间的位置 关系 专题 空间位置关系与距离 分析 1 由已知先证 BC 平面 ACD 则 BC AE 结合 AE DC 可证得 AE 平面 BCD 14 再由线面垂直的定义证得 AE BD 2 三棱锥 D ABE 的体积 即三棱锥 A BDE 的体积 求出三角形 BDE 的面积 代 入棱锥体积公式 可得答案 解答 证明 1 AC BC DC BC AC DC C BC 平面 ACD 又 AE 平面 ACD BC AE 又 AE DC DC BC C 故 AE 平面 BCD 又 BD 平面 BCD AE BD 2 取 BD 的中点 M 连接 AM EM AB AD 则 AM BD 又 AE BD AM AE A BD 平面 AEM EM BD AME 即为二面角 A BD C 的平面角 在 Rt AEM 中 AE AM 3 EM 又 AB AD AB AD 故 ABD 为等腰直角三角形 故 DB 6 三棱锥 D ABE 的体积 VD ABE VA DBE EM DB AE 3 点评 本题考查的知识点是二面角的平面角求求法 棱锥的体积 空间中直线与直线的位 置关系 1 要熟练掌握空间线线垂直与线面垂直之间的相互转化 2 的关键是 构造出二面角的平面角 然后解三角形求出棱锥的棱长 19 13 分 某县为落实国家农村医疗保险 简称 医保 的政策 制定了如下实施方案 2011 年底通过农民个人投保和政府财政投入 共筹资 l 000 万元作为全县的农村医保基金 并且从 2012 年起农民每年报销的医保费都为上一年年底农村医保基金余额的 10 并且每 年年底县财政都向医保基金补充 m m 0 万元 1 以 2011 年为第 1 年 求第 n n 1 年年底该县农村医保基金有多少万元 用 m n 表示 2 根据该县的农村人口数量和财政状况 县政府要求每年年底农村医保基金逐年增加且 不超过 1 500 万元 问 每年补充的医保基金 m 单位 万元 应控制在什么范围 考点 函数模型的选择与应用 不等关系与不等式 15 专题 综合题 等差数列与等比数列 分析 1 利用从 2012 年起农民每年报销的医保费都为上一年年底农村医保基金余额的 10 并且每年年底县财政都向医保基金补充 m m 0 万元 确定数列递推式 进 而可得结论 2 利用县政府要求每年年底农村医保基金逐年增加且不超过 1500 万元 可得不 等式 从而可求每年补充的医保基金 m 应控制的范围 解答 解 1 设第 n 年底该县农村医保基金为 an万元 则 a1 1000 an 1 10 an 1 m n 2 即 an an 1 m n 2 于是 an 10m an 1 10m n 2 所以 an 10m a1 10m 即 an 10m 1000 10m 故第 n 年底该县农村医保基金有 10m 1000 10m 万元 2 若每年年底的医保基金逐年增加 则数列 an 单调递增 因为 y 是减函数 则 1000 10m 0 时 即 m 100 又 an 10m 1000 10m 1500 恒成立 则 10m 1500 所以 m 150 故每年新增医保基金 m 的控制范围是 100 150 点评 本题考查数列模型的构建 考查数列的单调性 考查学生分析解决问题的能力 属 于中档题 20 13 分 2012 辽宁模拟 如图 已知抛物线 C y2 2px 和 M x 4 2 y2 1 过 抛物线 C 上一点 H x0 y0 y0 1 作两条直线与 M 相切于 A 两点 分别交抛物线为 E F 两点 圆心点 M 到抛物线准线的距离为 求抛物线 C 的方程 当 AHB 的角平分线垂直 x 轴时 求直线 EF 的斜率 若直线 AB 在 y 轴上的截距为 t 求 t 的最小值 16 考点 圆与圆锥曲线的综合 利用导数研究函数的单调性 利用导数求闭区间上函数的最 值 抛物线的标准方程 专题 综合题 分析 利用点 M 到抛物线准线的距离为 可得 从而可求抛物线 C 的方程 法一 根据当 AHB 的角平分线垂直 x 轴时 点 H 4 2 可得 kHE kHF 设 E x1 y1 F x2 y2 可得 y1 y2 2yH 4 从而可求直线 EF 的斜率 法二 求得直线 HA 的方程为 与抛物线方程联立 求出 E F 的 坐标 从而可求直线 EF 的斜率 法一 设 A x1 y1 B x2 y2 求出直线 HA 的方程 直线 HB 的方程 从 而可得直线 AB 的方程 令 x 0 可得 再利用导数法 即 可求得 t 的最小值 法二 求以 H 为圆心 HA 为半径的圆方程 M 方程 两方程相减 可得直线 AB 的 方程 当 x 0 时 直线 AB 在 y 轴上的截距 m 1 再利用导数法 即 可求得 t 的最小值 解答 解 点 M 到抛物线准线的距离为 抛物线 C 的方程为 y2 x 2 分 法一 当 AHB 的角平分线垂直 x 轴时 点 H 4 2 kHE kHF 设 E x1 y1 F x2 y2 y1 y2 2yH 4 5 分 7 分 法二 当 AHB 的角平分线垂直 x 轴时 点 H 4 2 AHB 60 可得 直线 HA 的方程为 联立方程组 得 5 分 同理可得 7 分 17 法一 设 A x1 y1 B x2 y2 直线 HA 的方程为 4 x1 x y1y 4x1 15 0 同理 直线 HB 的方程为 4 x2 x y2y 4x2 15 0 9 分 直线 AB 的方程为 令 x 0 可得 t 关于 y0的函数在 1 上单调递增 当 y0 1 时 tmin 11 12 分 法二 设点 H m2 m m 1 HM2 m4 7m2 16 HA2 m4 7m2 15 以 H 为圆心 HA 为半径的圆方程为 x m2 2 y m 2 m4 7m2 15 M 方程 x 4 2 y2 1 得 直线 AB 的方程为 2x m2 4 4 m2 2y m m m4 7m2 14 9 分 当 x 0 时 直线 AB 在 y 轴上的截距 m 1 t 关于 m 的函数在 1 上单调递增 当 m 1 时 tmin 11 12 分 点评 本题以抛物线与圆的方程为载体 考查抛物线的标准方程 考查直线方程 同时考 查利用导数法解决函数的最值问题 综合性较强 21 13 分 已知函数 f x 2x ex 1 x2 x R 1 求证 函数 f x 有且只有两个零点 2 已知函