高中数学竞赛讲义-数学方法选讲（2）新人教A版

1 2 2 数学方法选讲 数学方法选讲 2 2 四 从反面考虑 解数学题 需要正确的思路 对于很多数学问题 通常采用正面求解的思路 即从条件 出发 求得结论 但是 如果直接从正面不易找到解题思路时 则可改变思维的方向 即从 结论入手或从条件及结论的反面进行思考 从而使问题得到解决 1 某次数学测验一共出了 10 道题 评分方法如下 每答对一题得 4 分 不答题得 0 分 答错一题倒扣 1 分 每个考生预先给 10 分作为基础 分 问 此次测验至多有多少种不同的分数 2 一支队伍的人数是 5 的倍数 且超过 1000 人 若按每排 4 人编队 则最后差 3 人 若按 每排 3 人编队 则最后差 2 人 若按每排 2 人编队 则最后差 1 人 问 这支队伍至少有多 少人 3 在八边形的 8 个顶点上是否可以分别记上数 1 2 8 使得任意三个相邻的顶点上的 数的和大于 13 4 有一个 1000 位的数 它由 888 个 1 和 112 个 0 组成 这个数是否可能是一个平方数 五 从特殊情况考虑 对于一个一般性的问题 如果觉得难以入手 那么我们可以 先考虑它的某些特殊情况 从而获得解决的途径 使问题得以 突破 这种方法称为 特殊化 对问题的特殊情况进行研究 一方面是因为研究特殊情况比研究一般情况较为容易 另 一方面是因为特殊的情况含有一般性 所以对特殊情况的研究常能揭示问题的结论或启发解 决问题的思路 它是探索问题的一种重要方法 运用特殊化方法进行探索的过程有两个步骤 即先由一般到特殊 再由特殊到一般 通 过第一步骤得到的信息 还要回到一般情况予以解答 2 5 如下图 四边形 ABCD 和 EFGH 都是正方形 且边长均为 2cm 又 E 点是正方形 ABCD 的中心 求两个正方形公共部分 图中阴影部分 的面积 S 6 是否在平面上存在这样的 40 条直线 它们共有 365 个交点 7 如右图 正方体的 8 个顶点处标注的数字为 a b c d e 求 a b c d e f g h 的值 8 将 n2个互不相等的数排成下表 a11 a12 a13 a1n a21 a22 a23 a2n an1 an2 an3 ann 先取每行的最大数 得到 n 个数 其中最小数为 x 再取每列的最小数 也得到 n 个数 其中最大数为 y 试比较 x 和 y 的大小 六 有序化 3 当我们研究的对象是一些数的时候 我们常常将这些数排一个次序 即将它们有序化 有序化的假设 实际上是给题目增加了一个可供使用的条件 9 将 10 到 40 之间的质数填入下图的圆圈中 使得 3 组由 所连的 4 个数的和相等 如果把和数相等的填法看做同一类填法 请说明一共有多少类填法 并画图表示你的填法 10 有四个互不相等的数 取其中两个数相加 可以得到六个和 24 28 30 32 34 38 求此四数 11 互不相等的 12 个自然数 它们均小于 36 有人说 在这些自然数两两相减 大减小 所得到的差中 至少有 3 个相等 你认为这种说法对吗 为什么 12 有 8 个重量各不相同的物品 每个物品的重量都是整克数且都不超过 15 克 小平想以 最少的次数用天平称出其中最重的物品 他用了如下的测定法 1 把 8 个物品分成 2 组 每组 4 个 比较这 2 组的轻重 2 把以上 2 组中较重的 4 个再分成 2 组 即每组 2 个 再比较它们的轻重 3 把以上 2 组中较重的分成各 1 个 取出较重的 1 个 小平称了 3 次天平都没有平衡 最后便得到一个物品 可是实际上得到的是这 8 个物品当中从重到轻排在第 5 的物品 问 小平找出的这个物品有多重 并求出第二轻的物品重多少克 例题答案 1 分析 最高的得分为 50 分 最低的得分为 0 分 但并不是从 0 分到 50 分都能得到 从正面考虑计算量较大 故我们从反面考虑 先计算有多少种分数达不到 然后排除达 不到的分数就可以了 4 解 最高的得分为 50 分 最低的得分为 0 分 在从 0 分到 50 分这 51 个分数中 有 49 48 47 44 43 39 这 6 种分数是不能达到的 故此次测验不同的分数至多有 51 6 45 种 2 分析 从条件 若按每排 4 人编队 则最后差 3 人 的反面来考虑 可理解为 若 按每排 4 人编队 则最后多 1 人 同理 按 3 人 2 人排队都可理解为多 1 人 即总人数 被 12 除余 1 这样一来 原题就化为 一个 5 的倍数大于 1000 且它被 12 除余 1 问 这个数最小是多少 解 是 5 的倍数且除以 12 余 1 的最小自然数是 25 因为人数超过 1000 3 4 5 60 所以最少有 25 60 17 1045 人 3 解 将八边形的 8 个顶点上的数依次记为 a1 a2 a3 a8 则有 S a1 a2 a3 a8 1 2 3 8 36 假设任意 3 个相邻顶点上的数都大于 13 因为顶点上的数都是整数 所以 a1 a2 a3 14 a2 a3 a4 14 a7 a8 a1 14 a8 a1 a2 14 将以上 8 个不等式相加 得 3S 112 从而 S 37 这与 S 36 矛盾 故结论是否定的 4 解 假设这个数为 A 它是自然数 a 的平方 因为 A 的各位数字之和 888 是 3 的倍数 所以 a 也应是 3 的倍数 于是 a 的平方是 9 的 倍数 但 888 不是 9 的倍数 这样就产生了矛盾 从而 A 不可能是平方数 5 分析 我们先考虑正方形 EFGH 的特殊位置 即它的各边与正方形 ABCD 的各边对应平 行的情况 见上图 此时 显然有 得出答案后 这个问题还得回到一般情况下去解决 解决的方法是将一般情况变成特殊 情况 解 解 自 E 向 AB 和 AD 分别作垂线 EN 和 EM 右图 则有 S S PME S 四边形 AMEQ 又 S PME S EQN 故 S S EQN S 四边形 AMEQ S 正方形 AMEN 6 分析与解 先考虑一种特殊的图形 围棋盘 它有 38 条直线 361 个交点 我们就从这 种特殊的图形出发 然后进行局部的调整 5 先加上 2 条对角线 这样就有 40 条直线了 但交点仍然是 361 个 再将最右边的 1 条 直线向右平移 1 段 正好增加了 4 个交点 见上图 于是 我们就得到了有 365 个交点的 40 条直线 7 分析 从这 8 个数都相等的特殊情况入手 它们满足题目条件 从而得所求值为 0 这就 启发我们去说明 a b c d e f g h 解解 由已知得 3a b e d 3b a c f 3c b d g 3d a c h 推知 3a 3b 3c 3d 2a 2b 2c 2d e f g h a b c d e f g h a b c d e f g h 0 8 分析 先讨论 n 3 的情况 任取两表 1 3 7 1 2 3 2 5 6 4 5 6 8 9 4 7 8 9 左上表中 x 6 y 4 右上表中 x 3 y 3 两个表都满足 x y 所以可以猜想 x y 解 设 x 是第 i 行第 j 列的数 aij y 是第 l 行第 m 列的数 alm 考虑 x 所在的行与 y 所在的 列交叉的那个数 即第 i 行第 m 列的数 aim 显然有 aij aim alm 当 i l j m 时等号成 立 所以 x y 9 解 10 到 40 之间的 8 个质数是 11 13 17 19 23 29 31 37 根据题目要求 除去最左边和最右边的 2 个质数之外 剩下的 6 个质数在同一行的 2 个 质数的和应分别相等 等于这 6 个数中最小数 记为 a 与最大数 记为 b 之和 a b 根据 a b 的大小可分为 6 种情况 当 a 11 b 29 时 无解 当 a 11 b 31 时 有 11 31 13 29 19 23 得到如下填法 当 a 11 b 37 时 有 11 37 17 31 19 29 得到如下填法 当 a 13 b 31 时 无解 当 a 13 b 37 时 无解 6 当 a 17 b 37 时 无解 所以 共有 2 类填法 10 解 设四个数为 a b c d 且 a b c d 则六个和为 a b a c a d b c b d c d 其中 a b 最小 a c 次小 c d 最大 b d 次大 a d 与 b c 位第三和第四 分别解这两个方程组 得 11 解 设这 12 个自然数从小到大依次为 a1 a2 a3 a12 且它们两两相减最多只 有 2 个差相等 那么差为 1 2 3 4 5 的都最多只有 2 个 从而 a12 a11 a11 a10 a10 a9 a2 a1 这 11 个差之和至少为 2 1 2 3 4 5 6 36 但这 11 个差之和等于 a12 a1 36 这一矛盾说明 两两相减的差中 至少有 3 个相等 12 解 解 设这 8 个物品的重量从重到轻依次排列为 15 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 1 小平找出的这个物品重量为 a5 第二轻的物品重量为 a7 由于 a5 加上一个比它轻的物品不可能大于两个比 a5 重的物品重量之和 因而第一次必 须筛去 3 个比 a5 重的物品 这样就有以下四种可能 7 先考虑第一种情况 根据 式 a4 比 a1 至少轻 3 克 a5 比 a2 a6 比 a3 也都至少轻 3 克 则 a7 比 a8 至少重 10 克 根据 式 a5 比 a4 至少轻 1 克 则 a6 比 a7 至少重 18 克 与已知矛盾 第一种情况不可能出现 按同样的推理方法 可以说明第二种和第三种情况也不可能出现 最后 考虑第四