【步步高】2014届高三数学一轮 9.8 曲线与方程课时检测 理 （含解析）北师大版

1 9 89 8 曲线与方程曲线与方程 一 选择题 1 已知两定点A 1 1 B 1 1 动点P满足 则点P的轨迹是 PA PB x2 2 A 圆 B 椭圆 C 双曲线 D 拋物线 解析 设点P x y 则 1 x 1 y 1 x 1 y PA PB 所以 1 x 1 x 1 y 1 y x2 y2 2 PA PB 由已知x2 y2 2 即 1 所以点P的轨迹为椭圆 x2 2 x2 4 y2 2 答案 B 2 已知点F 直线l x 点B是l上的动点 若过B垂直于y轴的直线与线 1 4 0 1 4 段BF的垂直平分线交于点M 则点M的轨迹是 A 双曲线 B 椭圆 C 圆 D 抛物线 解析 由已知 MF MB 由抛物线定义知 点M的轨迹是以F为焦点 l为准线的抛物 线 故选 D 答案 D 3 长为 3 的线段AB的端点A B分别在x轴 y轴上移动 2 则点C的轨迹AC CB 是 A 线段 B 圆 C 椭圆 D 双曲线 解析 设C x y A a 0 B 0 b 则a2 b2 9 又 2 所以 x a y 2 x b y AC CB 即Error 代入 式整理可得x2 1 y2 4 答案 C 4 设圆 x 1 2 y2 25 的圆心为C A 1 0 是圆内一定点 Q为圆 周上任一点 线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M 则M的轨 迹方程为 A 1 B 1 4x2 21 4y2 25 4x2 21 4y2 25 C 1 D 1 4x2 25 4y2 21 4x2 25 4y2 21 解析 M为AQ垂直平分线上一点 则 AM MQ 2 MC MA MC MQ CQ 5 故M的轨迹为椭圆 a c 1 则b2 a2 c2 5 2 21 4 椭圆的标准方程为 1 4x2 25 4y2 21 答案 D 5 已知二面角 l 的平面角为 点P在二面角内 PA PB A B为垂 足 且PA 4 PB 5 设A B到棱l的距离分别为x y 当 变化时 点 x y 的轨迹 方程是 A x2 y2 9 x 0 B x2 y2 9 x 0 y 0 C y2 x2 9 y 0 D y2 x2 9 x 0 y 0 解析实际上就是求x y所满足的一个等式 设平面PAB与二面角的棱的交点是C 则 AC x BC y 在两个直角三角形 Rt PAC Rt PBC中其斜边相等 根据勾股定理即可得 到x y所满足的关系式 如图 x2 42 y2 52 即x2 y2 9 x 0 y 0 答案 B 6 ABC的顶点A 5 0 B 5 0 ABC的内切圆圆心在直线x 3 上 则顶点C的轨 迹方程是 A 1 B 1 x2 9 y2 16 x2 16 y2 9 C 1 x 3 D 1 x 4 x2 9 y2 16 x2 16 y2 9 解析 如图 AD AE 8 BF BE 2 CD CF 所以 CA CB 8 2 6 根据双曲线定义 所求轨迹是以A B为焦点 实轴长为 6 的双曲线的右支 方程为 1 x 3 x2 9 y2 16 答案 C 7 y 1 表示的曲线是 1 x 1 2 A 抛物线 B 一个圆 C 两个圆 D 两个半圆 解析 原方程等价于Error Error Error 或Error 3 答案 D 二 填空题 8 在平面直角坐标系中 椭圆的中心为原点 焦点在 轴上 离心率为xOyC 12 F Fx 过 的直线 交于两点 且的周长为 16 那么的方程为 2 2 l A B 2 ABFAC 答案 9 在 ABC中 A为动点 B C为定点 B C a 0 且满足条件 sin a 2 0 a 2 0 C sin B sin A 则动点A的轨迹方程是 1 2 解析 由正弦定理 AB 2R AC 2R 1 2 BC 2R AB AC BC 且为双曲线右支 1 2 答案 1 x 0 且y 0 16x2 a2 16y2 3a2 10 已知圆的方程为x2 y2 4 若抛物线过点A 1 0 B 1 0 且以圆的切线为准线 则抛物线的焦点轨迹方程是 解析 设抛物线焦点为F 过A B O作准线的垂线AA1 BB1 OO1 则 AA1 BB1 2 OO1 4 由抛物线定义得 AA1 BB1 FA FB FA FB 4 故F点的轨迹是以A B为焦点 长轴长 为 4 的椭圆 去掉长轴两端点 答案 1 y 0 x2 4 y2 3 11 已知P是椭圆 1 上的任意一点 F1 F2是它的两个焦点 O为坐标原点 x2 a2 y2 b2 OQ 则动点Q的轨迹方程是 PF1 PF2 解析 由 OQ PF1 PF2 4 又 2 2 PF1 PF2 PM PO OP 设Q x y 则 x y OP 1 2OQ 1 2 x 2 y 2 即P点坐标为 又P在椭圆上 x 2 y 2 则有 1 即 1 x 2 2 a2 y 2 2 b2 x2 4a2 y2 4b2 答案 1 x2 4a2 y2 4b2 12 曲线C是平面内与两个定点F1 1 0 和F2 1 0 的距离的积等于常数a2 a 1 的点的 轨迹 给出下列三个结论 曲线C过坐标原点 曲线C关于坐标原点对称 若点P在曲线C上 则 F1PF2的面积不大于a2 1 2 其中 所有正确结论的序号是 解析 曲线C经过原点 这点不难验证是错误的 如果经过原点 那么a 1 与条件不 符 曲线C关于原点对称 这点显然正确 如果在某点处 PF1 PF2 a2 关于原点的对 称点处也一定符合 PF1 PF2 a2 三角形的面积S F1F2P2 很显然 a2 2 S F1F2P PF1 PF2 sin F1PF2 PF1 PF2 所以 正确 1 2 1 2 a2 2 答案 三 解答题 13 如图 已知F 1 0 直线l x 1 P为平面上的动点 过点P作l的垂 线 垂足为点Q 且 求动点P的轨迹C的方程 QP QF FP FQ 解析 法一 设点P x y 则Q 1 y 由 得 x 1 0 2 y x 1 y 2 y 化简得QP QF FP FQ C y2 4x 法二 由 QP QF FP FQ 得 0 0 FQ PQ PF PQ PF PQ PF 2 2 0 PQ PF PQ PF 点P的轨迹C是抛物线 由题意 轨迹C的方程为y2 4x 14 已知定点F 0 1 和直线l1 y 1 过定点F与直线l1相切的动圆的圆心为点C 1 求动点C的轨迹方程 5 2 过点F的直线l2交轨迹于两点P Q 交直线l1于点R 求 的最小值 RP RQ 解析 1 由题设知点C到点F的距离等于它到l1的距离 点C的轨迹是以F为焦点 l1为准线的抛物线 动点C的轨迹方程为x2 4y 2 由题意知 直线l2方程可设为y kx 1 k 0 与抛物线方程联立消去y 得x2 4kx 4 0 设P x1 y1 Q x2 y2 则x1 x2 4k x1x2 4 又易得点R的坐标为 2 k 1 RP RQ x1 2 k y1 1 x2 2 k y2 1 kx1 2 kx2 2 x1 2 k x2 2 k 1 k2 x1x2 x1 x2 4 2 k 2k 4 k2 4 1 k2 4k 4 2 k 2k 4 k2 4 8 k2 1 k2 k2 2 当且仅当k2 1 时取等号 1 k2 4 2 8 16 即 的最小值为 16 RP RQ RP RQ 15 已知双曲线 y2 1 的左 右顶点分别为A1 A2 点P x1 y1 Q x1 y1 是双曲 x2 2 线上不同的两个动点 1 求直线A1P与A2Q交点的轨迹E的方程 2 若过点H 0 h h 1 的两条直线l1和l2与轨迹E都只有一个交点 且l1 l2 求h 的值 解析 1 由题设知 x1 A1 0 A2 0 222 则有直线A1P的方程为y x y1 x1 22 直线A2Q的方程为y x y1 x1 22 联立 解得交点坐标为x y 2 x1 2y1 x1 6 即x1 y1 2 x 2y x 则x 0 x 2 而点P x1 y1 在双曲线 y2 1 上 x2 2 y21 1 x21 2 将 代入上式 整理得所求轨迹E的方程为 y2 1 x 0 且x x2 22 2 设过点H 0 h 的直线为y kx h h 1 联立 y2 1 得 1 2k2 x2 4khx 2h2 2 0 x2 2 令 16k2h2 4 1 2k2 2h2 2 0 得h2 1 2k2 0 解得k1 k2 h2 1 2 h2 1 2 由于l1 l2 则k1k2 1 故h h2 1 23 过点A1 A2分别引直线l1 l2通过y轴上的点H 0 h 且使l1 l2 因此A1H A2H 由 1 得h 此时 h 2 h 2 2 l1 l2的方程分别为y x 与y x 22 它们与轨迹E分别仅有一个交点与 2 3 2 2 3 2 3 2 2 3 所以 符合条件的h的值为或 32 16 设椭圆方程为x2 1 过点M 0 1 的直线l交椭圆于A B两点 O为坐标原点 y2 4 点P满足 点N的坐标为 当直线l绕点M旋转时 求 OP 1 2 OA OB 1 2 1 2 1 动点P的轨迹方程 2 的最大值 最小值 NP 解析 1 直线l过定点M 0 1 设其斜率为k 则l的方程为y kx 1 设A x1 y1 B x2 y2 由题意知 A B的坐标满足方程组Error 消去y得 4 k2 x2 2kx 3 0 则 4k2 12 4 k2 0 7 x1 x2 x1x2 2k 4 k2 3 4 k2 设P x y 是AB的中点 则 得 OP 1 2 OA