【步步高】2012届高考数学二轮复习 专题四 第3讲立体几何中的向量方法

用心 爱心 专心 1 第第 3 3 讲讲 立体几何中的向量方法立体几何中的向量方法 推荐时间 60 分钟 一 填空题 1 两不重合直线l1和l2的方向向量分别为v v1 1 0 1 v v2 2 0 2 则l1与 l2的位置关系是 2 在空间中 已知AB 2 4 0 1 3 0 则 ABC的大小为 BC 3 已知正三棱柱ABC A1B1C1的侧棱长与底面边长相等 则AB1与侧面ACC1A1所成角的 正弦等于 4 过正方形ABCD的顶点A 引PA 平面ABCD 若PA BA 则平面ABP和平面CDP所成 的二面角的大小是 5 如图所示 在空间直角坐标系中 有一棱长为a的正方体ABCO A B C D A C的中点E与AB的中点F的距离为 6 如图所示 在三棱柱ABC A1B1C1中 AA1 底面ABC AB BC AA1 ABC 90 点E F分别是棱AB BB1的中点 则直线EF和BC1所成的角是 7 在三棱柱ABC A1B1C1中 各棱长相等 侧棱垂直于底面 点D是侧面BB1C1C的中心 则AD与平面BB1C1C所成角的大小是 8 在空间四边形ABCD中 AB a a 2c c 5a a 6b b 8c c 对角线AC BD的中点分别 CD 为P Q 则 PQ 9 已知a a 1 t 1 t t b b 2 t t 则 b b a a 的最小值为 10 在四面体PABC中 PA PB PC两两垂直 设PA PB PC a 则点P到平面ABC 的距离为 11 如图 在直三棱柱ABC A1B1C1中 ACB 90 AA1 2 AC BC 1 则异面直线A1B与AC所成角的余弦值是 12 已知ABCD A1B1C1D1为正方体 1 AC A1D1 A1B1 2 32 A1B1 用心 爱心 专心 2 1 AC 0 向量与向量的夹角是 60 正方体ABCD A1B1 A1A AD1 A1B A1B1C1D1的体积为 其中正确命题的序号是 AB AA1 AD 二 解答题 13 已知长方体ABCD A1B1C1D1中 AB 2 BC 4 AA1 4 点M是棱D1C1的中点 求 直线AB1与平面DA1M所成角的正弦值 14 2010 全国 如图 四棱锥S ABCD中 SD 底面 ABCD AB CD AD CD AB AD 1 DC SD 2 E为棱SB上的一点 平面EDC 平面SBC 1 证明 SE 2EB 2 求二面角A DE C的大小 15 如图所示 在四棱锥P ABCD中 底面ABCD是边长为 2 的正方形 平面PBC 底面 ABCD 且PB PC 5 1 求证 AB CP 2 求点B到平面PAD的距离 3 设面PAD与面PBC的交线为l 求二面角A l B的大小 答答 案案 1 平行 2 135 3 4 45 6 4 5 a 6 60 7 60 8 3a a 3b b 5c c 2 2 9 10 a 11 12 3 5 5 3 3 6 6 13 解 建立如图所示的空间直角坐标系 可得有关点的坐标为D 0 0 0 A 4 0 0 B 4 2 0 C 0 2 0 A1 4 0 4 B1 4 2 4 C1 0 2 4 D1 0 0 4 于是 M 0 1 4 0 1 4 4 0 4 0 2 4 DM DA1 AB1 设平面DA1M的法向量为n n x y z 则Error 即Error 取z 1 得x 1 y 4 所以平面DA1M的一个法向量为n n 1 4 1 设直线AB1与平面DA1M所成角为 用心 爱心 专心 3 则 sin n n AB1 n n AB1 10 15 所以直线AB1与平面DA1M所成角的正弦值为 10 15 14 方法一 1 证明 如图所示 连结BD 取DC的中点G 连结BG 由此知 DG GC BG 1 即 DBC为直角三角形 故BC BD 又SD 平面ABCD 故BC SD 所以BC 平面BDS BC DE 作BK EC K为垂足 因为 平面EDC 平面SBC 故BK 平面EDC BK DE 即DE与平面SBC内的两条相交直线BK BC 都垂直 所以DE 平面SBC 所以DE EC DE SB 又DB SB DE AD2 AB22SD2 DB26 SD DB SB 2 3 EB SE SB EB DB2 DE2 6 3 2 6 3 所以SE 2EB 2 解 由SA AB 1 SE 2EB AB SA 知 AE 1 又 SD2 AD25 1 3SA 2 2 3AB 2 AD 1 故 ADE为等腰三角形 取ED中点F 连结AF 则AF DE AF AD2 DF2 6 3 连结FG 则FG EC FG DE 所以 AFG是二面角A DE C的平面角 连结AG AG FG 2DG2 DF2 6 3 cos AFG AF2 FG2 AG2 2AF FG 1 2 所以二面角A DE C的大小为 120 方法二 1 证明 以D为坐标原点 线段DA DC DS所在的直线分别为x轴 y轴 z 轴 建立如图所示的直角坐标系D xyz 设A 1 0 0 则B 1 1 0 C 0 2 0 S 0 0 2 S 0 2 2 B 1 1 0 C C 设平面SBC的法向量为n n a b c 由n n S n n B 得n n S C C 0 n n B 0 C C 故 2b 2c 0 a b 0 令a 1 则b 1 c 1 n n 1 1 1 用心 爱心 专心 4 又设S 0 则E E EB 1 1 2 1 D D 0 2 0 E 1 1 2 1 C 设平面CDE的法向量m m x y z 由m m DE m m DC 得m m DE 0 m m DC 0 故 0 2y 0 x 1 y 1 2z 1 令x 2 则m m 2 0 由平面DEC 平面SBC 得m m n n所以m m n n 0 2 0 2 故SE 2EB 2 解 由 1 知DE 取DE中点F 则 2 3 2 3 2 3 F FA 故FA DE 0 由此得FA DE 1 3 1 3 1 3 2 3 1 3 1 3 又EC 故EC EC 0 由此得EC DE 向量F与E的夹角等 2 3 4 3 2 3 A C 于二面角A DE C的平面角 于是 cos F E FA EC FA EC A A C 1 2 所以二面角A DE C的大小为 120 15 1 证明 以BC的中点O为坐标原点 建立如图所示的空间直角坐标系 则B 1 0 0 A 1 2 0 C 1 0 0 P 0 0 2 D 1 2 0 0 2 0 1 0 2 AB CP 则有 0 即AB CP AB CP AB CP 2 解 设平面PAD的法向量为n n x y z 则由Error 得Error 令x 0 则y 1 z 1 得n n 0 1 1 又 1 0 2 BP 点B到平面PAD的距离