【步步高】2014届高三数学大一轮复习 2.2函数的单调性与最值教案 理 新人教A版

1 2 2 2 2 函数的单调性与最值函数的单调性与最值 2014 高考会这样考 1 以选择或填空题的形式考查函数的单调性 2 考查求函数最值的 几种常用方法 3 利用函数的单调性求参数的取值范围 复习备考要这样做 1 从数 形两种角度理解函数的单调性与最值 2 判断复合函数的单 调性 3 含参函数的最值 对参数进行讨论 1 函数的单调性 1 单调函数的定义 增函数减函数 一般地 设函数f x 的定义域为I 如果对于定 义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1 x2 定义当x1 x2时 都有f x1 f x2 那么就说函数f x 在区间D上是增函数 当x1f x2 那么 就说函数f x 在区 间D上是减函数 图象 描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是 下降的 2 单调区间的定义 若函数y f x 在区间D上是增函数或减函数 则称函数y f x 在这一区间具有 严 格的 单调性 区间D叫做函数y f x 的单调区间 2 函数的最值 前提设函数y f x 的定义域为I 如果存在实数M满足 条件 1 对于任意x I 都有f x M 3 对于任意x I 都有f x M 2 2 存在x0 I 使得f x0 M 4 存在x0 I 使得f x0 M 结论M为最大值M为最小值 难点正本 疑点清源 1 函数的单调性是局部性质 函数的单调性 从定义上看 是指函数在定义域的某个子区间上的单调性 是局部的 特 征 在某个区间上单调 在整个定义域上不一定单调 2 函数的单调区间的求法 函数的单调区间是函数定义域的子区间 所以求解函数的单调区间 必须先求出函数 的 定义域 对于基本初等函数的单调区间可以直接利用已知结论求解 如二次函数 对 数 函数 指数函数等 如果是复合函数 应根据复合函数的单调性的判断方法 首先判断两个简单函数的单 调 性 再根据 同则增 异则减 的法则求解函数的单调区间 3 单调区间的表示 单调区间只能用区间表示 不能用集合或不等式表示 如有多个单调区间应分别写 不 能用并集符号 联结 也不能用 或 联结 1 2012 安徽 若函数f x 2x a 的单调递增区间是 3 则a 答案 6 解析 f x 2x a Error 作出函数图象 由图象知 函数的单调递增区间为 a 2 3 a 6 a 2 2 2011 江苏 函数f x log5 2x 1 的单调增区间是 答案 1 2 3 课本改编题 函数f x 在 1 2 的最大值和最小值分别是 2x x 1 3 答案 1 4 3 解析 f x 2 在 1 2 上是增函数 f x max f 2 2x x 1 2 x 1 2 x 1 2 x 1 f x min 4 3 f 1 1 4 已知函数y f x 在 R R 上是减函数 A 0 2 B 3 2 在其图象上 则不等式 2 f x B a 1 4 1 4 C a 0 D a 0 1 4 1 4 答案 D 解析 当a 0 时 f x 2x 3 在定义域 R R 上是单调递增的 故在 4 上单 调 递增 当a 0 时 二次函数f x 的对称轴为x 1 a 因为f x 在 4 上单调递增 所以aa 1 a 1 4 综合上述 a 0 1 4 题型一 函数单调性的判断 例 1 试讨论函数f x a 0 在 1 1 上的单调性 ax x 1 思维启迪 可利用定义或导数法讨论函数的单调性 4 解 设 1 x1 x20 时 f x1 f x2 0 即f x1 f x2 函数f x 在 1 1 上递减 当a 0 时 f x1 f x2 0 即f x1 0 函数f x x x 0 证明函数f x 在 0 上是减函 a xa 数 在 上是增函数 a 2 求函数y 的单调区间 x2 x 6 解 1 设x1 x2是任意两个正数 且 0 x1 x2 则f x1 f x2 x1 a x1 x2 a x2 x1x2 a x1 x2 x1x2 当 0 x1 x2 时 0 x1x2 a 又x1 x20 即f x1 f x2 所以函数f x 在 0 上是减函数 a 当 x1a 又x1 x2 0 a 所以f x1 f x2 0 即f x1 f x2 所以函数f x 在 上是增函数 a 2 令u x2 x 6 y 可以看作有y 与u x2 x 6 的复合函数 x2 x 6u 由u x2 x 6 0 得x 3 或x 2 u x2 x 6 在 3 上是减函数 在 2 上是增函数 而y 在 u 0 上是增函数 y 的单调减区间为 3 单调增区间为 2 x2 x 6 题型二 利用函数单调性求参数 5 例 2 若函数f x 在 1 上是减函数 求实数a的取值范围 ax 1 x 1 思维启迪 利用函数的单调性求参数的取值范围 解题思路为视参数为已知数 依据 函 数的图象或单调性定义 确定函数的单调区间 与已知单调区间比较求参 解 f x a 设x1 x20 由于x1 x2 1 所以x1 x2 0 x1 1 0 x2 1 0 所以a 1 0 即a 1 故a的取值范围是 1 探究提高 已知函数的单调性确定参数的值或范围 可以通过解不等式或转化为不等 式 恒成立问题求解 需注意的是 若函数在区间 a b 上是单调的 则该函数在此区间 的 任意子集上也是单调的 1 若函数f x 2a 1 x b是 R R 上的减函数 则a的取值范围为 2 函数y 在 1 上单调递增 则a的取值范围是 x 5 x a 2 A a 3 B a 3 C a 3 D a 3 答案 1 2 C 1 2 解析 1 因为函数f x 2a 1 x b是 R R 上的减函数 所以 2a 1 0 解得a0 时 f x x2 则x1 x2 0 f x1 f x2 f x1 f x2 f x1 x2 又 当x 0 时 f x 0 f x1 x2 0 即f x1 x2 则f x1 f x2 f x1 x2 x2 f x2 f x1 x2 f x2 f x2 f x1 x2 又 当x 0 时 f x 0 f x1 x2 0 即f x1 1 时 f x 0 代入得f 1 f x1 f x1 0 故f 1 0 2 任取x1 x2 0 且x1 x2 则 1 x1 x2 由于当x 1 时 f x 0 所以f 0 x1 x2 即f x1 f x2 0 因此f x1 0 得x3 即函数的定义域为 0 3 2 分 函数t的对称轴为直线x 故t在 0 上单调递减 在 3 上单调递 3 2 增 8 6 分 而函数y logt为单调递减函数 由复合函数的单调性可知 函数y log x2 3x 1 3 1 3 的单调递增区间是 0 单调递减区间是 3 10 分 温馨提醒 函数的单调区间是函数定义域的子区间 所以求解函数的单调区间 必须 先求出函数的定义域 如果是复合函数 应该根据复合函数单调性的判断方法 首先 判断两个简单函数的单调性 根据同增异减的法则求解函数的单调区间 由于思维定 势的原因 容易忽视定义域 导致错误 2 函数的单调性与最值 典例 12 分 2012 太原模拟 函数f x 对任意的m n R R 都有f m n f m f n 1 并且x 0 时 恒有f x 1 1 求证 f x 在 R R 上是增函数 2 若f 3 4 解不等式f a2 a 5 2 审题视角 1 对于抽象函数的单调性的证明 只能用定义 应该构造出f x2 f x1 并与 0 比较大小 2 将函数不等式中的抽象函数符号 f 运用单调性 去掉 是本小题 的切入点 要构造出f M f N 的形式 规范解答 1 证明 设x10 当x 0 时 f x 1 f x2 x1 1 2 分 f x2 f x2 x1 x1 f x2 x1 f x1 1 4 分 f x2 f x1 f x2 x1 1 0 f x1 f x2 f x 在 R R 上为增函数 6 分 2 解 m n R R 不妨设m n 1 f 1 1 f 1 f 1 1 f 2 2f 1 1 8 分 f 3 4 f 2 1 4 f 2 f 1 1 4 3f 1 2 4 f 1 2 f a2 a 5 2 f 1 10 分 f x 在 R R 上为增函数 a2 a 5 1 3 a 2 即a 3 2 12 分 解函数不等式的问题一般步骤 第一步 确定函数f x 在给定区间上的单调性 9 第二步 将函数不等式转化为f M 0 时 f x 1 构 造不出f x2 f x1 f x2 x1 1 的形式 找不到问题的突破口 第二个关键应该 是将不 等式化为f M f N 的形式 解决此类问题的易错点 忽视M N的取值范围 即忽视 f x 所在的单调区间的约束 方法与技巧 1 可以根据定义判断或证明函数的单调性 2 求函数的单调区间 首先应注意函数的定义域 函数的单调区间都是其定义域的子集 其次掌握一次函数 二次函数等基本初等函数的单调区间 常用方法 根据定义 利用图象和单调函数的 性 质 利用导数的性质 3 复合函数的单调性 对于复合函数y f g x 若t g x 在区间 a b 上是单调函数 且y f t 在区 间 g a g b 或者 g b g a 上是单调函数 若t g x 与y f t 的单调性相同 同时为增 或减 则y f g x 为增函数 若t g x 与y f t 的单调性相反 则y f g x 为减函 数 简称 同增异减 失误与防范 1 函数的单调区间是指函数在定义域内的某个区间上单调递增或单调递减 单调区间要 分 开写 即使在两个区间上的单调性相同 也不能用并集表示 10 2 两函数f x g x 在x a b 上都是增 减 函数 则f x g x 也为增 减 函数 但f x g x 等的单调性与其正负有关 切不可盲目类比 1 f x 时间 60 分钟 A 组 专项基础训练 一 选择题 每小题 5 分 共 20 分 1 下列函数中 在 0 上为增函数的是 A y 1 x2 B y x2 2x C y D y 1 1 x x x 1 答案 A 解析 y 1 x2的对称轴为x 0 且开口向下 0 为其单调递增区间 2 2012 徐州模拟 已知函数f x 2ax2 4 a 3 x 5 在区间 3 上是减函数 则a的 取值范围是 A B 0 3 4 0 3 4 C D 0 3 4 0 3 4 答案 D 解析 当a 0 时 f x 12x 5 在 3 上是减函数 当a 0 时 由Error 得 0 a 3 4 综上 a的取值范围是 0 a 3 4 3 已知f x Error 是 R R 上的单调递增函数 则实数a的取值范围为 A 1 B 4 8 C 4 8 D 1 8 答案 B 解析 因为f x 是 R R 上的单调递增函数 11 所以可得Error 解得 4 a1 3 2 4 函数f x 的单调递减区间为 3 2 4 7 若函数f x a x b 2 在 0 上为增函数 则实数a b的取值范围是 答案 a 0 且b 0 解析 要使f x 在 0 上为增函数 则a 0 且x b 0 恒成立 即 b x b 0 三 解答题 共 25 分 8 12 分 已知函数f x a 0 x 0 1 a 1 x 12 1 求证 f x 在 0 上是单调递增函数 2 若f x 在上的值域是 求a的值 1 2 2 1 2 2 1 证明 设x2 x1 0 则x2 x1 0 x1x2 0 f x2 f x1 1 a 1 x2 1 a 1 x1 0 1 x1 1 x2 x2 x1 x1x2 f x2 f x1 f x 在 0 上是单调递增函数 2 解 f x 在上的值域是 1 2 2 1 2 2 又f x 在上单调递增 1 2 2 f f 2 2 易得a 1 2 1 2 2 5 9 13 分 已知函数f x x2 x 0 a R R a x 1 判断函数f x 的奇偶性 2 若f x 在区间 2 上是增函数 求实数a的取值范围 解 1 当a 0 时 f x x2 x 0 为偶函数 当a 0 时 f x f x f x f x f x 既不是奇函数也不是偶函数 2 设x2 x1 2 则f x1 f x2 x x x1x2 x1 x2 a 2 1 a x12 2 a x2 x1 x2 x1x2 由x2 x1 2 得x1x2 x1 x2 16 x1 x20 要使f x 在区间 2 上是增函数 只需f x1 f x2 0 恒成立 则a 16 B 组 专项能力提升 一 选择题 每小题 5 分 共 15 分 1 已知函数f x x2 2ax a 在区间 1 上有最小值 则函数g x 在 f x x 区间 1 上一定 A 有最小值 B 有最大值 C 是减函数 D 是增函数 13 答案 D 解析 由题意知a 1 g x x 2a f x x a x 当a0 时 g x 在 上是增函数 a 故在 1 上为增函数 g x 在 1 上一定是增函数 2 已知定义在 R R 上的增函数f x 满足f x f x 0 x1 x2 x3 R R 且 x1 x2 0 x2 x3 0 x3 x1 0 则f x1 f x2 f x3 的值 A 一定大于 0 B 一定小于 0 C 等于 0 D 正负都有可能 答案 A 解析 f x f x 0 f x f x 又 x1 x2 0 x2 x3 0 x3 x1 0 x1 x2 x2 x3 x3 x1 又 f x1 f x2 f x2 f x2 f x3 f x3 f x3 f x1 f x1 f x1 f x2 f x3 f x2 f x3 f x1 f x1 f x2 f x3 0 3 已知函数f x Error 若f 2 a2 f a 则实数a的取值 范围是 A 1 2 B 1 2 C 2 1 D 2 1 答案 C 解析 由题意知f x 在 R R 上是增函数 由题意得 2 a2 a 解得 2 a 1 二 填空题 每小题 4 分 共 12 分 4 设函数f x 在区间 2 上