辽宁省丹东市九年级数学下册 第二章《二次函数 最大面积是多少》教案 北师大版

1 7 7 最大面积是多少最大面积是多少 教学目标 知识与技能 能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系 并能够运用 二次函数的知识解决实际问题中的最大 小 值 过程与方法 1 通过分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系 培养学生 的分析判断能力 2 通过运用二次函数的知识解决实际问题 培养学生的数学应用能力 情感态度与价值观 1 经历探究长方形和窗户透光最大面积问题的过程 进一步获得利用数学方法 解决实际问题的经验 并进一步感受数学模型思想和数学知识的应用价值 2 能够对解决问题的基本策略进行反思 形成个人解决问题的风格 3 进一步体会数学与人类社会的密切联系 了解数学的价值 增进对数学的 理解和学好数学的信心 具有初步的创新精神和实践能力 教学重点 1 经历探究长方形和窗户透光最大面积问题的过程 进一步获得利用数学方法 解决实际问题的经验 并进一步感受数学模型思想和数学知识的应用价值 2 能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系 并能够运 用二次函数的知识解决实际问题 教学难点 能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函 数关系 并能运用二 2 次函数的有关知识解决最大面积的问题 教学过程 第一环节 创设问题情境 引入新课 20 分钟 上节课我们利用二次函数解决了最大利润问题 分析问题中各个量之间的关系 建立数学模型 在此基础上 利用我们所学过的数学知识 逐步得到问题的解答过 程 本节课我们将继续利用二次函数解决最大面积的问题 1 问题一 如下图 在一个直角三角形的内部作一个长方形ABCD 其中AB 和AD分别在两直角边上 1 设长方形的一边AB x m 那么AD边的长度如何表示 2 设长方形的面积为y m2 当x取何值时 y的值最大 最大值是多少 分析 1 要求AD边的长度 即求BC边的长度 而BC是 EBC中的一边 因 此可以用三角形相似求出BC 由 EBC EAF 得即 所 AF BC EA EB 3040 40BCx 以AD BC 40 x 4 3 3 2 要求面积y的最大值 即求函数y AB AD x 40 x 的最大值 就转 4 3 化为数学问题了 下面请小组开始讨论并写出解题步骤 1 BC AD EBC EAF AF BC EA EB 又AB x BE 40 x BC 40 x 3040 40BCx 4 3 AD BC 40 x 30 x 4 3 4 3 2 y AB AD x 30 x x2 30 x 4 3 4 3 x2 40 x 400 400 4 3 x2 40 x 400 300 4 3 x 20 2 300 4 3 当x 20 时 y最大 300 即当x取 20m 时 y的值最大 最大值是 300m2 2 问题二 将问题一变式 设AD边的长为x m 则问题会怎样呢 解 DC AB FDC FAE FA FD AE DC AD x FD 30 x 4 30 30 40 xDC DC 30 x 3 4 AB DC 30 x 3 4 y AB AD x 30 x 3 4 x2 40 x 3 4 x2 30 x 225 225 3 4 x 15 2 300 3 4 当x 15 时 y最大 300 即当AD的长为 15m 时 长方形的面积最大 最大面积是 300m2 3 问题三 对问题一再变式 如图 在一个直角三角形的内部作一个矩形 ABCD 其中点 A 和点 D 分别在两直 角边上 BC 在斜边上 40m 30 m D N O A B C M 1 设矩形的一边 BC xm 那么 AB 边的长度如何表示 2 设矩形的面积为 ym2 当 x 取何值时 y 的最大值是多少 4 问题四 5 某建筑物的窗户如下图所示 它的上半部是半圆 下半部是矩形 制造窗框的 材料总长 图中所有黑线的长度和 为 15m 当x等于多少时 窗户通过的光线最多 结果精确到 0 01m 此时 窗户的面积是多少 分析 x为半圆的半径 也是矩形的较长边 因此x与半圆面积和矩形面积都 有关系 要求透过窗户的光线最多 也就是求矩形和半圆的面积之和最大 即 2xy x2最大 而由于 4y 4x 3x x 7x 4y x 15 所以 2 y 面积S x2 2xy x2 2x x2 4 715xx 2 1 2 1 4 715xx 2 1 3 5x2 7 5x 这时已经转化为数学问题即二次函数了 只要化 2 715 xx x 为顶点式或代入顶点坐标公式中即可 解 7x 4y x 15 y 4 715xx 设窗户的面积是S m2 则 S x2 2xy 2 1 x2 2x 2 1 4 715xx x2 2 1 2 715 xx x 6 3 5x2 7 5x 3 5 x2 x 7 15 3 5 x 2 14 15 392 1575 当x 1 07 时 14 15 S最大 4 02 392 1575 即当x 1 07m 时 S最大 4 02m2 此时 窗户通过的光线最多 第二环节 归纳升华 5 分钟 通过前面例题的学习和感受 学生讨论交流 在教师的帮助下归纳出 基本流程为 理解题目 分析已知量与未知量 转化为 数学题 解决此类问题的基本思路是 1 理解问题 2 分析问题中的变量和常量以及它们之间的关系 3 用数学的方式表示它们之间的关系 4 做函数求解 5 检验结果的合理性 拓展等 第三环节 课堂练习 活动探究 10 分钟 活动内容 1 用 48 米长的竹篱笆围建一矩形养鸡场 养鸡场一面用砖砌成 另三面用 竹篱笆围成 并且在与砖墙相对的一面开 2 米宽的门 不用篱笆 问养鸡 7 场的边长为多少米时 养鸡场占地面积最大 最大面积是多少 2 正方形 ABCD 边长 5cm 等腰三角形 PQR PQ PR 5cm QR 8cm 点 B C Q R 在同一直线 l 上 当 C Q 两点重合时 等腰 PQR 以 1cm s 的 速度沿直线 l 向左方向开始匀速运动 ts 后正方形与等腰三角形重合部分面 积为 Scm2 解答下列问题 1 当 t 3s 时 求 S 的值 2 当 t 3s 时 求 S 的值 3 当 5s t 8s 时 求 S 与 t 的函数关系式 并求 S 的最大值 第四环节 课时小结 5 分钟 本节课我们进一步学习了用二次函数知识解决最大面积的问题 增强了