【导学教程】2012届高三数学二轮复习 集合、不等式、函数与导数专题检测试题（一） 理 北师大版

1 专题检测专题检测 一一 集合 不等式 函数与导数集合 不等式 函数与导数 本卷满分 150 分 考试用时 120 分钟 一 选择题 本大题共 12 小题 每小题 5 分 共计 60 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的 1 2011 辽宁 已知M N为集合I的非空真子集 且M N不相等 若N IM 则 M N A M B N C I D 解析 N IM N M M N M 答案 A 2 设全集U R R 集合A x 2x x 2 1 B x y ln 1 x 则图中阴影部分表示 的集合为 A x x 1 B x x 1 C x 0 x 1 D x 1 x 2 解析 由 2x x 2 1 得x x 2 0 故集合A x 0 x 2 由 1 x 0 得x 1 故B x x 1 所以A B x 0 x 1 所以 A A B x 1 x 2 即图中阴影部分表示的集合为 x 1 x 2 答案 D 3 2011 皖南八校第二次联考 已知函数f x 是 上的偶函数 若对于 x 0 都有f x 2 f x 且当x 0 2 时 f x log2 x 1 则f 2 010 f 2 011 的值为 A 2 B 1 C 2 D 1 解析 由f x 2 f x 知f x 是周期为 2 的函数 f 2 010 f 2 011 f 2 010 f 2 011 f 0 f 1 log21 log22 1 答案 D 4 2011 汉中模拟 下列命题的否命题为假命题的是 A p x R R x2 2x 2 0 2 B p 有的三角形是等边三角形 C p 所有能被 3 整除的整数是奇数 D p 每一个四边形的四个顶点共圆 解析 A p的否命题 x R R x2 2x 2 0 由于二次函数y x2 2x 2 的开口向上 且与x轴无交点 所以该命题为真命题 B p的否命题 所有的三角形都不是等边三角形 此命题为假命题 C p的否命题 存在一个能被 3 整除的整数不是奇数 0 是能被 3 整除的非奇数 故该 命题为真命题 D p的否命题 存在一个四边形的四个顶点不共圆 该命题为真命题 答案 B 5 2011 威海模拟 如果命题 綈 p q 是假命题 则下列说法正确的是 A p q均为真命题B p q中至少有一个为真命题 C p q均为假命题D p q中至多有一个为真命题 解析 因为 綈 p q 是假命题 则 p q 是真命题 所以p q中至少有一个为真命题 答案 B 6 设a 0 1 b ln sin c 则a b c的大小关系是 3 2 2 012 3 1 3 log 1 2 A a b c B a c b C b a c D b c a 解析 因为函数y x为增函数 3 2 所以a 0 1 0 1 3 2 3 2 因为 sin sin sin 1 函数y ln x为 0 上 2 012 3 670 2 3 2 3 3 2 的单调增函数 所以 ln sin ln ln 1 0 2 012 3 3 2 因为 1 而函数y x为 0 上的单调减函数 1 2 1 3 1 3 log 所以 0 1 c 1 1 3 log 1 3 log 1 2 1 3 log 1 3 3 所以b 0 c 1 a 故选 B 答案 B 7 2011 北京 根据统计 一名工人组装第x件某产品所用的时间 单位 分钟 为f x Error A c为常数 已知工人组装第 4 件产品用时 30 分钟 组装第A件产品用时 15 分钟 那么c和A的值分别是 A 75 25 B 75 16 C 60 25 D 60 16 解析 由函数解析式可以看出 组装第A件产品所需时间为 15 故组装第 4 件产品 c A 所需时间为 30 解得c 60 将c 60 代入 15 得A 16 c 4 c A 答案 D 8 在 ABC中 a b c分别是角A B C所对的边 则 A B 是 cos 2A cos 2B 的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 解析 因为大角对大边 所以A B a b 由正弦定理 可知 a sin A b sin B 故a b sin A sin B 因为 cos 2A 1 2sin2A cos 2B 1 2sin2B 又因为 sin A sin B cos 2A cos 2B 所以a b cos 2A cos 2B 即 a b 是 cos 2A cos 2B 的充分必要条件 故选 C 答案 C 9 如果曲线y x4 x在点P处的切线垂直于直线y x 那么点P的坐标为 1 3 A 1 0 B 0 1 C 0 1 D 1 0 解析 由y 4x3 1 当y 3 时 有 4x3 1 3 可解得x 1 此时 点P的坐标为 1 0 故选 A 答案 A 10 2011 湖北 已知向量a a x z 3 b b 2 y z 且a a b b 若x y满足不等式 x y 1 则z的取值范围为 A 2 2 B 2 3 4 C 3 2 D 3 3 解析 a a x z 3 b b 2 y z 且a a b b a a b b 2 x z 3 y z 0 即 2x 3y z 0 又 x y 1 表示的区域为图中阴影部分 当 2x 3y z 0 过点B 0 1 时 zmin 3 当 2x 3y z 0 过点A 0 1 时 zmax 3 z 3 3 答案 D 11 2011 南宁模拟 函数y 2x 1 x 1 2的图象大致是 解析 令y f x 则f 1 0 f 3 0 排除选项 B C 又f 1 0 f 2 0 排除选项 D 因此选 A 答案 A 12 2011 华师附中模考 已知函数f x lg x x有两个零点x1 x2 则有 1 2 A x1x2 0 B x1x2 1 C x1x2 1 D 0 x1x2 1 解析 根据分析 不妨设 0 x1 1 x2 1 根据函数零点的概念 则有 lg x1 x1 0 lg x2 x2 0 1 2 1 2 即 lg x1 x1 lg x2 x2 1 2 1 2 后面的方程减去前面的方程 得 lg x1x2 x2 x1 1 2 1 2 5 由于x2 x1 根据指数函数的性质 x2 x1 0 1 2 1 2 所以 lg x1x2 0 即 0 x1x2 1 故选 D 答案 D 二 填空题 本大题共 4 小题 每小题 4 分 共计 16 分 把答案填在题中的横线上 13 已知f a 2ax2 a2x dx 则函数f a 的最大值为 1 0 解析 f a 2ax2 a2x dx 1 0 Error a2 a 2 3ax3 1 2a2x2 1 0 1 2 2 3 当a 时取得最大值f 2 3 2 3 2 9 答案 2 9 14 函数y 0 a 1 的定义域是 loga 3x 2 解析 0 3x 2 1 x 1 2 3 答案 2 3 1 15 已知b 0 直线 b2 1 x ay 2 0 与直线x b2y 1 0 互相垂直 则ab的最小 值等于 解析 由于两直线相互垂直 所以 1 b2 1 a 1 b2 即ab b 2 当且仅当b 1 时等号成立 b2 1 b 1 b 答案 2 16 2011 四川 函数f x 的定义域为A 若x1 x2 A且f x1 f x2 时总有 x1 x2 则称f x 为单函数 例如 函数f x 2x 1 x R R 是单函数 下列命题 函数f x x2 x R R 是单函数 指数函数f x 2x x R R 是单函数 若f x 为单函数 x1 x2 A且x1 x2 则f x1 f x2 在定义域上具有单调性的函数一定是单函数 6 其中的真命题是 写出所有真命题的编号 解析 由x x 未必有x1 x2 故 不正确 对于f x 2x 当f x1 f x2 时一定 2 12 2 有x1 x2 故 正确 当f x 为单函数时 有f x1 f x2 x1 x2 则其逆否命题f x 为 单函数时 x1 x2 f x1 f x2 为真命题 故 正确 当函数在其定义域上单调时 一定有 f x1 f x2 x1 x2 故 正确 答案 三 解答题 本大题共 6 小题 共 74 分 解答时应写出必要的文字说明 证明过程或演 算步骤 17 12 分 设关于x的方程 m 1 x2 mx m 1 0 有实数根时 实数m的取值范围是 集合A 函数f x lg x2 a 2 x 2a 的定义域是集合B 1 求集合A 2 若A B B 求实数a的取值范围 解析 1 当m 1 时 x 2 当m 1 0 时 由 m2 4 m 1 m 1 0 解得 m 且m 1 2 3 3 2 3 3 综上 得A 2 3 3 2 3 3 2 由x2 a 2 x 2a 0 则 x 2 x a 0 当a 2 时 B x x 2 当a 2 时 B x x a或x 2 当a 2 时 B x x 2 或x a 因为A B B 则A B 而当a 2 时 A B 当Error 即 a 2 时 A B 2 3 3 当a 2 时 A B 故a 2 3 3 18 12 分 若关于x的方程 22x 2xa a 1 0 有两个不同的正实根 求实数a的取值 范围 解析 解法一 根的分布法 设t 2x 则原方程可变为t2 at a 1 0 7 原方程有两个不同的正实根 则t 2x 20 1 即方程 有两个大于 1 的实根 则Error 解得a 2 2 2 解法二 分离变量法 由方程 解得a 22x 1 2x 1 设t 2x 则a t 1 2 t2 1 t 1 2 t 1 因为原方程有两个不同的正实根 所以t 2x 20 1 即t 1 0 所以 t 1 2 2 当且仅当t 1 即 2 t 1 t 1 2 t 122 t 1 时取等号 但此时t只有一解 不满足题意 所以不能取等号 2 所以a t 1 2 2 2 2 t 12 19 12 分 已知定义域为 R R 的奇函数f x 当x 0 时 f x ln x ax 1 a R R 1 求函数f x 的解析式 2 若函数y f x 在 R R 上恰有 5 个零点 求实数a的取值范围 解析 1 设x 0 则 x 0 f x 是奇函数 f x f x ln x ax 1 当x 0 时 f x 0 所以函数f x Error 2 函数f x 是奇函数 函数y f x 的零点关于原点对称 由f x 0 恰有 5 个 不同的实数根知 5 个实数根中有两个正根 两个负根 一个零根 且两个正根和两个负根互 为相反数 要使方程f x 0 恰有 5 个不同的实数根 只要使方程f x 0 在 0 上恰有 两个不同的实数根 下面研究x 0 时的情况 f x a 当a 0 时 f x 0 f x 在 0 上为单调递增函数 1 x 方程f x 0 在 0 上不可能有两个不同的实数根 当a 0 时 f x a x 1 a x 令f x 0 得x 1 a 当 0 x 时 f x 0 函数f x 单调递增 1 a 当x 时 f x 0 函数f x 单调递减 1 a 8 函数f x 在x 处取得极大值 ln a 1 a 所以要使方程f x 0 在 0 上恰有两个不同实数根 只要 ln a 0 解得 0 a 1 故a的取值范围是 0 1 20 12 分 统计表明 某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y 升 关于行驶速 度x 千米 小时 的函数解析式可以表示为 y x3 x 8 0 x 120 已知甲 1 128 000 3 80 乙两地相距 100 千米 1 当汽车以 40 千米 小时的速度匀速行驶时 从甲地到乙地要耗油多少升 2 当汽车以多大的速度匀速行驶时 从甲地到乙地耗油最少 最少为多少升 解析 1 当x 40 时 汽车从甲地到乙地行驶了 2 5 小时 100 40 要耗油 2 5 17 5 升 1 128 000 403 3 80 40 8 所以当汽车以 40 千米 小时的速度匀速行驶时 从甲地到乙地要耗油 17 5 升 2 当速度为x千米 小时时 汽车从甲地到乙地行驶了小时 100 x 设耗油量为h x 升 依题意得 h x x2 0 x 120 1 128 000 x3 3 80 x 8 100 x 1 1 280 800 x 15 4 h x 0 x 120 x 640 800 x2 x3 803 640 x2 令h x 0 得x 80 当x 0 80 时 h x 0 h x 是减函数 当x 80 120 时 h x 0 h x 是增函数 当x 80 时 h x 取得极小值h 80 11 25 h x 在 0 120 上只有一个极值 极小值 11 25 就是h x 的最小值 所以当汽车以 80 千米 小时的速度匀速行驶时 从甲地到乙地耗油最少为 11 25 升 21 12 分 2011 江南十校模拟 已知函数f x x R R 2mx m2 1 x2 1 1 当m 1 时 求曲线y f x 在点 2 f 2 处的切线方程 2 当m 0 时 求函数f x 的单调区间与极值 解析 1 当m 1 时 f x f 2 2x x2 1 4 5 9 又f x 则f 2 2 x2 1 4x2 x2 1 2 2 2x2 x2 1 2 6 25 所以曲线y f x 在点 2 f 2 处的切线方程为 y x 2 即 6x 25y 32 0 4 5 6 25 2 f x 2m x2 1 2x 2mx m2 1 x2 1 2 2 x m mx 1 x2 1 2 令f x 0 得x1 x2 m 1 m 因为m 0 所以 m 1 m 当x变化时 f x f x 的变化情况如下表 x 1 m 1 m 1 m m m m f x 0 0 f x 极小值 极大值 所以f x 在区间 m 上为减函数 在区间上为增函数 1 m 1 m m 故函数f x 的极小值为f m2 1 m 极大值为f