高中数学《直接证明与间接证明》教案2 新人教A版选修2-2

用心 爱心 专心1 课题 间接证明课题 间接证明 反证法反证法 1 教学目标 知识与技能 结合已经学过的数学实例 了解间接证明 的一种基本方法 反证法 了解反证法的思考过程 特点 过程与方法 多让学生举命题的例子 培养他们的辨析 能力 以及培养他们的分析问题和解决问题的能力 情感 态度与价值观 通过学生的参与 激发学生学习 数学的兴趣 2 教学重点 了解反证法的思考过程 特点 3 教学难点 反证法的思考过程 特点 4 教具准备 与教材内容相关的资料 5 教学设想 利用反证法证明不等式的第三步所称的矛盾 结果 通常是指所推出的结果与已知公理 定义 定理或已 知条件 已证不等式 以及与临时假定矛盾等各种情况 6 教学过程 学生探究过程 综合法与分析法 1 反证法 反证法是一种间接证法 它是先提出一个与命题的结论 相反的假设 然后 从这个假设出发 经过正确的推理 导 致矛盾 从而否定相反的假设 达到肯定原命题正确的一种 方法 反证法可以分为归谬反证法 结论的反面只有一种 与 穷举反证法 结论的反面不只一种 用反证法证明一个命题 的步骤 大体上分为 1 反设 2 归谬 3 结论 反设是反证法的基础 为了正确地作出反设 掌握一些 常用的互为否定的表述形式是有必要的 例如 是 不是 存在 不存在 平行于 不平行于 垂直于 不垂直于 等于 不等于 大 小 于 不大 小 于 都是 不都是 至少有一个 一个也没有 至少有 n 个 至多有 n 一 1 个 至多有一个 至少有两个 唯一 至少有两个 归谬是反证法的关键 导出矛盾的过程没有固定的模式 但 必须从反设出发 否则推导将成为无源之水 无本之木 推 理必须严谨 导出的矛盾有如下几种类型 与已知条件矛盾 与已知的公理 定义 定理 公式矛盾 与反设矛盾 自相 矛盾 2 例子 例 1 求证 2不是有理数 用心 爱心 专心2 例 2 已知 0 ba 求证 nn ba Nn 且 1 n 例 3 设 2 33 ba 求证 2 ba 证明 假设 2 ba 则有 ba 2 从而 2 1 68126 6128 2233 323 bbbba bbba 因为 22 1 6 2 b 所以 2 33 ba 这与题设 条件 2 33 ba 矛盾 所以 原不 等式 2 ba 成立 例 4 设二次函数 qpxxxf 2 求证 3 2 1 fff 中至少有一个不小于2 1 证明 假设 3 2 1 fff 都小于2 1 则 2 3 2 2 1 fff 1 另一方面 由绝对值不等式的性质 有 2 39 24 2 1 3 2 2 1 3 2 2 1 qpqpqp ffffff 2 1 2 两式的结果矛盾 所以假设不成立 原来 的结论正确 注意 诸如本例中的问题 当要证明几个代数式中 至少有 一个满足某个不等式时 通常采用反证法进行 议一议 一般来说 利用反证法证明不等式的第三步所称的 矛盾结果 通常是指所推出的结果与已知公理 定义 定理 或已知条件 已证不等式 以及与临时假定矛盾等各种情况 试根据上述两例 讨论寻找矛盾的手段 方法有什么特点 例 5 设 0 a b c 4 1 1 b c 4 1 1 c a 用心 爱心 专心3 4 1 则三式相乘 ab 1 a b 1 b c 1 c a 64 1 又 0 a b c 0 ab bc ca 0 abc 0 求证 a b c 0 证 设 a 0 bc 0 则 b c a 0 ab bc ca a b c bc 0 矛盾 必有 a 0 同理可证 b 0 c 0 巩固练习 第 83 页练习 3 4 5 6 课后作业 第 84 页 4 5 6 教学反思 教学反思 用心 爱心 专心4 反证法是一种间接证法 它是先提出一个与命 题的结论相反的假设 然后 从这个假设出发 经 过正确的推理 导致矛盾 从而否定相反的假设 达到肯定原命题正确的一种方法 反证法可以分为 归谬反证法 结论的反面只有一种 与穷举反证法 结 论的反面不只一种 用反证法证明一个命题的步骤 大体上分为 1 反设 2 归谬 3 结论 反设是反证法的基础 为了正确地作出反设 掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的 例如 是 不是 存在 不存在 平行于 不平行于 垂直于 不垂直于 等于 不等于 大 小 于 不大 小 于 都是 不都是 至少有一个 一个也没有 至少有 n 个 至多有 n 一 1 个 至多有一个 至少有 两个 唯一 至少有两个 归谬是反证法的关键 导出