高中数学 专题八思想方法数形结合思想教师用

用心 爱心 专心1 20112011 届高三二轮专题复习之八数学思想方法 数形结合 届高三二轮专题复习之八数学思想方法 数形结合 一 知点透析一 知点透析 数学是研究数量关系和空间形式的科学 数 与 形 及它们的联系与转化是数学研 究永恒的主题 数形结合思想 就是根据数与形之间的对应关系 通过数与形的相互转化来解决数学 问题的一种重要思想方法 从数 形两个方面对数学问题进行分析 既充分发挥形的直观 性 又注重数的严谨性 以形助数 以数解形 使复杂问题简单化 抽象问题具体化 实现数形结合 常与以下内容有关 实数与数轴上的点的对应关系 函数与图象 的对应关系 曲线与方程的对应关系 所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意 义 二 初露锋芒二 初露锋芒 1 方程 sin x x 的实数解的个数是 B 4 4 1 A 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头2 B 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头3 C 4 D 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 5 2 设的最小值是 C bababa 则 62 22 R A B C 3 D 22 3 35 2 7 3 已知 f x x a x b 2 其中 a b 且是方程 f x 0 的两根 则 实数 a b 的大小关系为 A A 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 a b B 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 a b C 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 a b D 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 a b 4 若圆上至少有三个不同点到直线 的距离为 22 44100 xyxy l0axby 则直线 的倾斜角的取值范围是 B 2 2l A B C D 12 4 5 12 12 6 3 0 2 三 例题精讲三 例题精讲 问题问题 1 利用函数的图象 方程的图形利用函数的图象 方程的图形数形结合数形结合 例 1 在 y 2x y log2x y x2 y cos2x 这四个函数中 当 0 x1 x2 1 时 使 f 恒成立的函数的个数是 B 2 21 xx 2 21 xfxf A 0 B 1 C 2 D 3 解析 用图像法 只有上凸函数才满足题意 即只有 y log2x 才满足上式 故选 B 例 2 函数 f x sinx 2 sinx x 0 2 的图象与直线 y k 有且仅有 2 个不同的交点 则 k 的取值范围 用心 爱心 专心2 解析 由题意可知 f x sinx 2 sinx x 0 2 3sin 0 sin 2 x x x x 作出函数的图象即可求出的取值范围为 xfy k 3 1 问题问题 2 利用方程的图形利用方程的图形数形结合数形结合 例 3 如果实数 满足 则的最大值为xyxy y x 23 22 ABCD 1 2 3 3 3 2 3 解析解析 圆 表示坐标平面上的一个有明显的几何意义 它方程3 2 22 yx 圆心为 半径 如图 而则表示圆上的点 与坐 203 0 0 r y x y x xy 标原点 的连线的斜率 如此以来 该问题可转化为如下几何问题 动点 00A 在以 为圆心 以为半径的圆上移动 求直线的斜率的最大值 由图 203OA 可见 当 在第一象限 且与圆相切时 的斜率最大 经简单计算 得最AOA 选 Dtan603 大值为 变式 已知 满足 求的最大值与最小值xy xy yx 22 1625 13 解析解析 构造直对于二元函数在限定条件下求最值问题 常采用yx xy 3 1625 1 22 线的截距的方法来求之 令 则 yxbyxb 33 原问题转化为 在椭圆上求一点 使过该点的直线斜率为 xy 22 1625 13 且在 轴上的截距最大或最小 y 截距 由图形知 当直线与椭圆相切时 有最大截距与最小yxb xy 3 1625 1 22 用心 爱心 专心3 yxb xy xbxb 3 1625 1 16996164000 22 22 由 得 故的最大值为 最小值为 01331313byx 问题问题 3 利用几何意义转化 构造利用几何意义转化 构造 例 4 求函数的最大值 x2 x1 y 2 解析 由定义知 1 x2 0 且 2 x 0 1 x 1 故可设 x cos 0 则有可看作 2 cos 0sin 2cos sin y 是动点 M cos sin 0 与定点 A 2 0 连线的斜率 而动点 M 的轨迹 方程 0 即 x2 y2 1 y 0 1 是半圆 siny cosx 设切线为 AT T 为切点 OT 1 OA 2 0 kAM 3 1 kAT 3 1 即函数的值域为 0 故最大值为 3 3 3 3 变式 1 求函数的值域 y x x sin cos 2 2 解法一解法一 代数法 则得y x x yxyx sin cos cossin 2 2 22 sincossin xyxyyxy 22122 2 而sin sin x y y x 22 1 1 2 解不等式得 22 1 1 47 3 47 3 2 y y y 函数的值域为 47 3 47 3 解法二解法二 几何法 y x x y yy xx sin cos 2 2 21 21 的形式类似于斜率公式 y x x PPxx sin cos cossin 2 2 22 0 表示过两点 的直线斜率 22 1Pxy 由于点在单位圆上 如图 显然 kyk P AP B 00 用心 爱心 专心4 设过的圆的切线方程为Pyk x 0 22 则有 解得 22 1 1 47 3 2 k k k 即 kk P AP B 00 47 3 47 3 47 3 47 3 y 函数值域为 47 3 47 3 变式 2 求函数的最值 utt 246 解析解析 设 则xtytuxy 246 且 xyxy 22 216 0402 2 所给函数化为以 为参数的直线方程 它与椭圆在uyxuxy 22 216 第一象限的部分 包括端点 有公共点 如图 umin 2 2 相切于第一象限时 u 取最大值 yxu xy xuxu 22 22 216 342160 解 得 取 uu2 62 6 umax 2 6 四 专题小结四 专题小结 利用数形结合思想解决问题 要注意数与形的完整结合 由数想形时 一定要准确 全面 特别是图形一定要准确 数形结合常用的辅助工具 数轴 直角坐标系 两点间距离公式 向量的模 函数的 图象 曲线的方程 直线的斜率 截距 二元一次不等式表示平面区域等 五 临阵磨枪 1 方程的实根的个数为 C lgsinxx A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 2 函数的图象恰有两个公共点 则实数的取值范围是 D ya xyxa 与a 用心 爱心 专心5 A B 1 11 C D 11 11 3 已知是定义在 R 上的以 3 为周期的偶函数 且 则方程 0 在区间 xf0 2 f xf 0 6 内解的个数的最小值是 D A 2 B 3 C 4 D 5 4 若 P 是双曲线的右支上一点 M N 分别是圆 x 5 2 y2 4 和 x 5 22 xy 1 916 2 y2 1 上的点 则 PM PN 的最大值为 D A 6 B 7 C 8 D 9 5 定义在 R 上的函数上为增函数 且函数的图象的yf x 在 2yf x 2 对称轴为 则 A x 0 A B C D ff 13ff 03 ff 13ff 23 6 在 OAB 中 O 为坐标原点 则当 OAB 的面积 2 0 1 sin cos 1 BA 达最大值时 D A B C D 6 4 3 2 7 若关于 x 的方程有四个不相等的实根 则实数 m 的取值范围为 xxm 2 45 m 15 8 函数的最小值为 yxxxx 22 2261313 9 若集合 集合 且 3sin 0 3cos x Mxy y Nxyyxb 则实数的取值范围是 MN b 23 3 10 如图 把椭圆的长轴 22 1 2516 xy 分成等份 过每个分点作轴的垂线交椭圆的上半部AB8x 分于七个点 是椭圆的一个焦点 1234567 P P P P P P PF 则 35 1234567 PFP FPFP FPFP FP F 11 若方程上有唯一解 求 m 的取值范围 lg lg xxmx 2 3303在 用心 爱心 专心6 解 原方程等价于 xxm x x xxmx xxm x xxm 2 2 2 2 30 30 03 33 30 03 43 令 yxxym 1 2 2 43 在同一坐标系内 画出它们的图象 其中注意 当且仅当两函数的图03 x 象在 0 3 上有唯一公共点时 原方程有唯 一解 由下图可见 当 m 1 或时 30m 原方程有唯一解 因此 m 的取值范围为 3 0 1 12 如图 F 为双曲线 C 的右焦点 P 为双曲线 C 右支上一点 22 22 10 0 xy ab ab 且位于轴上方 M 为左准线上一点 为坐标原点 已知四边形为平行四边形 xOOFPM PFOF 1 写出双曲线 C 的离心率与的关系式 e 2 当时 经过焦点 F 且平行于 OP 的直线交双曲1 线于 A B 点 若 求此时的双曲线方程 12AB 解 1 四边形是平行四边形 OFPM OFPMc 作双曲线的右准线交 PM 于 H 则 2 2 a PMPH c 又 22 22222 22 22 PFOFcce e aaPHcae cc cc 2 20ee 2 当时 双曲线为 设 P 则1 2e 2ca 22 3ba 22