自动控制原理期末考试题4

第四章第四章 根轨迹法习题及解答根轨迹法习题及解答 4 1 已知开环零 极点分布如图 4 25 所示 试概略绘制相应的闭环根轨迹图 解 根轨迹如图解 4 1 所示 4 2 已知系统开环传递函数 1 3 ss sK sG 试作 K从0 的闭环根轨迹 并证明在 s平面内的根轨迹是圆 求出圆的半径和圆心 解 3 1 Ks G s s s 2 1 3 1 30D ss sKssKsK 2 1 2 1 12 1 2 KjKK XjY 图解 4 1 图解 4 1 图解 4 2 1 1 2 2 K XKX 22 2 2 12 1 12 1 2 1 21 44 3 6 KKXX Y X 22 3 6XY 根轨迹圆心 3 0 半径 6的圆 如图解 4 2 所示 4 3 设单位反馈控制系统开环传递函数如下 试概略绘出系统根轨迹图 要求确定分离点 坐标d 1 15 0 12 0 sss K sG 2 3 2 5 sss sK sG 解 2 5 10 15 0 12 0 sss K sss K sG 系统有三个开环极点 0 1 p 2 2 p 5 3 p 实轴上的根轨迹 5 0 2 渐近线 33 12 3 7 3 520 k a a 分离点 0 2 1 5 11 ddd 解之得 88 0 1 d 7863 3 2 d 舍去 与虚轴的交点 特征方程为 010107 23 kssssD 令 010 Im 0107 Re 3 2 jD kjD 解得 7 10 k 与虚轴的交点 0 j10 根轨迹如图解 4 3 a 所示 根轨迹绘制如下 实轴上的根轨迹 3 5 0 2 渐近线 22 12 0 2 5 320 k a a 分离点 5 1 3 1 2 11 dddd 用试探法可得 886 0 d 根轨迹如图解 4 3 b 所示 4 4 已知单位反馈系统的开环传递函数如下 试概略绘出系统的根轨迹图 要求算出出射 角 1 21 21 2 jsjs sK sG 2 1010 1010 20 jsjss sK sG 解 21 21 2 jsjs sK sG 根轨迹绘制如下 实轴上的根轨迹 2 分离点 2 1 21 1 21 1 djdjd 解之得 23 4 d 起始角 43 15390435 63180 1 p 由对称性得另一起始角为 43 153 根轨迹如图解 4 4 a 所示 1010 1010 20 jsjss sK sG 系统有三个开环极点和一个开环零点 根轨迹绘制如下 实轴上的根轨迹 0 20 起始角 01359045180 根轨迹如图解 4 4 b 所示 4 5 已知系统如图 4 26 所示 作根轨迹图 要求确定根轨迹的出射角和与虚轴的交点 并确定使系统稳定的K值的范围 解 2 1 2 2 22 1 2 KKs s G s ss ss s s 11 11 K s sjsj 3n 有 3 条根轨迹 且 3 条全趋于无穷远处 实轴上 0 渐近线 11 112 33 3 a a jj 出射角 1 00 0 13590 21 p k 1 2 0 0 45 45 p p 与虚轴交点 32 32 220 220 D ssssK D jjjK 则有 2 3 Re 20 Im 20 D jK D j 解得 2 4K 使系统稳定的K值范围为0 4K 4 6 已知单位反馈系统的开环传递函数如下 试画出概略根轨迹图 1 5 ss K sG 2 5 4 ss sK sG 3 5 20 ss sK sG 解 1 5 K G s s s 解 1 5 ss K sG 2n 有 2 条根轨迹且全趋于无穷远处 实轴上 5 0 渐近线 5 2 2 a a 分离点 图解 4 5 图解 4 6 图解 4 6 1 11 0 5dd 5 2 d 2 4 5 Ks G s s s 2n 有 2 条根轨迹 其中 1 条趋于无穷远处 实轴上 4 0 5 3 20 5 Ks G s s s 2n 有 2 条根轨迹 且 1 条趋向无穷远处 实轴上 20 5 0 分离点 111 520ddd 2 40100ddD 12 2 68 37 32dd 4 7 设系统开环传递函数 4 20 bss sG 试作出b从0 变化时的根轨迹 解 做等效开环传递函数 G s 204 4 2 ss sb 实轴上的根轨迹 4 分离点 4 1 42 1 42 1 djdjd 解得 472 0 1 d 舍去 472 8 2 d 如图解 4 7 所示 根轨迹为以开环零点为圆心 开环零点到开环极点的距离为半径的圆 4 8 设系统的闭环特征方程 2 1 0ssaK s 0 a 1 当 10a 时 作系统根轨迹 并求出系统阶跃响应分别为单调 阻尼振荡时 有复极点 K的取值范围 2 若使根轨迹只具有一个非零分离点 此时a的取值 并做出根轨迹 3 当 5a 时 是否具有非零分离点 并做出根轨迹 解 2 1 0 0 D sssaK sa 图解 4 6 3 图解 4 6 2 图解 4 7 根轨迹图 1 10a 2 10 1 0D sssK s 做等效开环传递函数 2 1 10 K s G s ss 3n 有 3 条根轨迹 有 2 条趋向无穷远处 实轴上 10 1 渐近线 10 19 22 2 a a 分离点 211 101ddd 解得 1 2 5d 2 4d 1 2 11 1 10 31 25 1 d dd K d 2 2 22 2 10 32 1 d dd K d 当31 25 32K 时系统阶跃响应为单调 当0 31 25K 及 32K 时系统阶跃响应为阻尼振荡 2 2 1 0D sssaK s 2 1 K s G s ssa 分离点 211 1ddad 2 2 3 20dada 2 3 3 16 2 aaa d 要使系统只有一个非零分离点 则 2 3 160aa 即 9a 1a 舍去 3 5a 2 5 1 0D sssK s 作等效开环传递函数 2 1 5 K s G s ss 3n 有 3 条根轨迹其中 2 条趋向无穷远处 实轴上 5 1 图解 4 8 1 图解 4 8 3 图解 4 8 2 渐近线 5 1 2 2 2 a a 分离点 211 51ddd 2 450dd 无解 故无分离点 4 9 试作图 4 27 所示系统K从0 时的系统根轨迹图 并确定使系统稳定的K值范围 解 根轨迹绘制如下 实轴上的根轨迹 4 7 5 0 渐近线 22 12 4 1 2 5 0 4 711 k a a 与虚轴交点 闭环特征方程为 01 7 10 2 7 1 7 4 23 KsKsssD 把 js 代入上方程 令 0 7 4 7 10 2 Im 0 7 1 1 Re 3 2 KjD KjD 解得 1 0 K 7 9 2 K 根轨迹如图解 4 9 所示 由图解 4 9 可知使系统稳定的K值范围为 791 K 4 10 做出图 4 28 所示系统的根轨迹 图中 sH 分别为 1 1H s 图解 4 9 根轨迹图 2 1H ss 3 3H ss 解 1 2 39 327327 2222 KK G s H s s ss s sjsj 33 2 6 2 6 22 K s sjsj 3n 有 3 条根轨迹且全趋向于无穷远处 实轴上 0 起始角 0 30 渐近线 33 22 1 3 3 a a 与虚轴相交 32 390D ssssK 32 390D jjjK 2 Re 30D jK 3 Im 90D j 解得 30 270KK 2 2 1 1 33 39 2 6 2 6 22 K sK s G s H s s ss s sjsj 实轴上 1 0 渐近线 33 2 62 6 1 22 1 2 2 a a jj 出射角 01 1 3 3 2 180 1 2 tg 100 5 1 6 2 180 1 1 tg 120 100 1 p 120 90 2k 1 图解 4 10 1 图解 4 10 2 1 p 70 3 2 3 3 33 39 2 6 2 6 22 KsKs G s H s s ss s sjsj 实轴上 3 0 渐近线 33 2 62 63 22 0 2 2 a a jj 出射角 60 5 1 6 2 1 1 tg 5 1 6 2 180 1 1 tg 120 90 3 60 2p 120 90 2k 1 2p 30 4 11 设控制系统如图 4 29 所示 为了使系统闭环极点为 1 2 13sj 试确定增益 K和速度反馈系数 h K 的数值 并利用 h K 值绘制系统的根轨迹图 解 2 1 h K K s G s H s s 2 2 13 13 24 h D ssKK sKsjsj ss 有 4 2 1 4 2 h h K KK KK 22 1 1 2 22 K Kss G s H s ss 2n 有 2 条根轨迹 1 条趋向无穷远处 实轴上 2 分离点 21 2dd 4d 4 12 为了使图 4 30 所示系统的闭环极点的希望位置为 1 2 1 64sj 在前向通路中串 入一个校正装置作补偿 其传递函数为 as s sGc 5 2 图中 图解 4 10 3 图解 4 11 1 ss K sG 试确定 1 所需的a值 2 所希望的闭环极点上的K值 3 第三个闭环极点的位置 解 2 5 1 c K s G s G s s ssa 1 2 5 D ss ssaK s 32 1 2 5sasaK sK 2 1 64 1 64 3 218 56sjsjss 2 518 5640 8320 2 211 520 Ka Ka 解得 5 28 23 14 a K 3 2 2 3 06a 4 13 设负反馈系统的开环传递函数为 3 1 2 sss sK sG 1 试作系统的根轨迹 2 求当 0 5 时 闭环的一对主导极点值 并求其K及另一个极点 3 求出满足 2 条件下的闭环零 极点分布 并求出其在阶跃作用下的性能指 标 解 2 1 3 Ks G s s ss 3n 有 条根轨迹 其中 条趋向无穷远处 实轴上 3 2 1 0 渐近线 1 32 1 2 2 a a 分离点 1111 132dddd 1 0 5 d 试根得 d 0 5344 图解 4 13 设 0 5 阻尼线与根轨迹交点为 2 1 nn 另一实根为 33 p 32 22 3 2222 33 3222 333 1 3 2 4 3 2 1 1 2 nnnn nnnn nnnn D ss ssKsssKsK sjsjsp ssspsssp sp spsp 有 3 2 3 2 3 4 3 2 n nn n p Kp pK 解得 3 1 36 2 64 2 44 n p K 2 1 2 10 68 nn jj 1 178 4 14 图 4 31 所示的随动系统 其开环传递函数为 15 ss K sG 为了改善系统性能 分别采用在原系统中加比例 微分串联校正和速度反馈校正两种不同方 案 1 试分别绘制这三个系统 的根轨迹 2 当 5K 时 根据闭环 零 极点分布 试比较两种校 正对系统阶跃响应的影响 解 0 2 51 0 2 KK G s sss s 实轴上 0 2 0 图解 4 14 a 0 81 0 16 1 25 51 0 2 KsK s G s sss s 0 81 0 16 1 25 51 0 2 KsK s G s H s sss s 5K a 51 1 51 5 G s ss s s 2 5 55 s ss 2 0 25 10D ss 1 2 0 1j1 b s 0 8s 1 4s 50 8 s 1 25 51 51 0 2 G s sssss s 22 K 0 8s 1 K 0 8s 1 0 8s 1 51 K 0 8s 1 5s 0 8K1 s Kss 1 1 51 ss s ss 1 2 13 22 j c K 0 8s 1 G s 51 ss 22 K K1 51 K 0 8s 1 5s 0 8K 1 sKss1 1 51 ss s ss 1 2 13 22 j 比较 b 与 a 相比附加了开环零点 因此影响了系统的闭环极点 改变了阶跃响应 中的模态 使得超调量减小 调节时间缩短 b 与 c 相比开环传递函数相同 只是前者附加了闭环零点 不影响极点 不影响单 位阶跃响应中的各模态 但会改变各模态的加权系数 从而影响系统的动态性能 b 附 加了闭环零点后 比 c 的峰值时间提前 超调量稍有增加 4 15 系统的开环传递函数为 22 2 2 ssss K sG 试绘制系统的根轨迹 并确定系统输出为等幅振荡时的闭环传递函数 图解 4 14 b 图解 4 14 c 图解 4 14 2 解 22 2