【志鸿优化设计】2014届高考数学一轮复习 第10章 算法初步、推理与证明10．3合情推理与演绎推理教学案 苏教版

1 10 310 3 合情推理与演绎推理合情推理与演绎推理 考考纲纲要要求求 1 理解合情推理的含义 能进行简单的归纳推理和类比推理 体会合情推理在数学发 现中的作用 2 理解演绎推理的含义 了解合情推理和演绎推理的联系和差异 掌握演绎推理的 三段论 能运用 三段论 进行一些简单的演绎推理 1 合情推理主要包括 和 1 归纳推理 从个别事实中推演出一般性的结论 像这样的推理称为归纳推理 归纳推理的思维过 程大致如图所示 实验 观察概括 推广猜测一般性结论 2 类比推理 根据两个 或两类 对象之间在某些方面的相似或相同 推演出它们在其他方面也相似 或相同 像这样的推理称为类比推理 简称类比法 类比推理的思维过程大致如图所示 观察 比较联想 类推猜测新的结论 2 演绎推理 由一般性的命题推演出特殊性命题 像这样的推理称为演绎推理 简言 之 演绎推理是由 到 的推理 1 三段论 是演绎推理的一般模式 包括 大前提 已知的一般原理 小前提 所研究的特殊情况 结论 根据一般原理 对特殊情况作出的判断 2 三段论 可以表示为 大前提 M是P 小前提 S是M 结论 S是P 用集合说明 即若集合M的所有元素都具有性质P S是M的一个子集 那么S中所 有元素也都具有性质P 1 如下图为一串白黑相间排列的珠子 按这种规律往下排起来 那么第 36 颗珠子的 颜色应是 色 2 在平面上 若两个正三角形的边长的比为 1 2 则它们的面积比为 1 4 类似地 在空间中 若两个正四面体的棱长的比为 1 2 则它们的体积比为 3 2012 江苏南通高三调研 观察下列等式 13 1 13 23 9 13 23 33 36 13 23 33 43 100 猜想 13 23 33 n3 nN N 4 有一段演绎推理是这样的 直线平行于平面 则平行于平面内所有直线 已知直 线b平面 直线a 平面 直线b 平面 则直线b 直线a 这个结论显然是 错误的 这是因为 填写下面符合题意的序号 大前提错误 小前提错误 推理形式错误 5 回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数 如 22 121 3443 94249 等 显然 2 位回文数有 9 个 11 22 33 99 3 位回文数有 90 个 2 101 111 121 191 202 999 则 1 4 位回文数有 个 2 2n 1 nN N 位回文数有 个 1 归纳推理的前提和结论间有必然的联系吗 提示 归纳推理的前提是一些关于个别事物或现象的命题 而结论则是关于该类事物 或现象的普遍性命题 归纳推理的结论所断定的知识范围超出了前提所断定的知识范围 因此 归纳推理的前提与结论之间的联系不是必然的 也就是说 其前提真而结论假也是 可能的 归纳是依据特殊现象推断一般现象 因为归纳所得的结论超越了前提所包容的范 围 所以其结论具有猜测性 2 类比推理结论一定是正确的吗 提示 类比是一种主观的不充分的推理 因此 要确认其猜想的正确性 还需经过严 格的逻辑论证 类比是从人们已经掌握了的事物的属性 推测正在研究的事物的属性 是 以旧有的认识为基础 类比出新的结果 类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的 特殊属性 类比的结果是猜测性的 不一定可靠 但它却有发现结论的功能 一 归纳推理 例 1 观察 sin210 cos240 sin 10 cos 40 3 4 sin26 cos236 sin 6 cos 36 3 4 由上面两题的结构规律 你能否提出一个猜想 并证明你的猜想 方法提炼 归纳推理的一般步骤 1 通过对某些个体的观察 分析和比较 发现它们的相同性质 或变化规律 2 从已知的相同性质中推出一个能明确表达的一般性命题 归纳推理得到的 结论不一定正确 请做针对训练 1 二 类比推理 例 2 若点P0 x0 y0 在椭圆 1 a b 0 外 过点P0作该椭圆的两条切线 x2 a2 y2 b2 且切点分别为P1 P2 则切点弦P1P2所在直线的方程为 1 那么对于双曲线 类 x0 x a2 y0y b2 似地 可以得到的命题为 方法提炼 类比推理是根据两个对象有一部分属性类似 推出这两个对象其他属性亦类似的一种 推理方法 例如分式与分数类比 平面几何与立体几何的某些对象类比等 当然类比时有 可能出现错误 请做针对训练 2 三 演绎推理 例 3 数列 an 的前n项和记为Sn 已知a1 1 an 1 Sn nN N 证明 n 2 n 1 数列是等比数列 Sn n 2 Sn 1 4an 方法提炼 演绎推理的一般模式为三段论 应用三段论解决问题时 首先应该明确什么是大前提 小前提 然后再找结论 演绎推理只要大前提 小前提正确 结论一定正确 请做针对训练 3 3 从近几年江苏高考试题来看 归纳推理 类比推理 演绎推理等问题是高考的热 点 归纳推理 类比推理大部分在填空题中出现 难度以中低档为主 演绎推理大多出现 在解答题中 主要考查学生的逻辑推理能力 以及分析 解决问题的能力 1 2011 江苏连云港模拟 观察下列式子 1 1 1 根据以上式子可以猜想 1 1 22 3 2 1 22 1 32 5 3 1 22 1 32 1 42 7 4 1 22 1 32 1 2 0102 2 现有一个关于平面图形的命题 如图所示 同一个平面内有两个边长都是a的正方 形 其中一个的某顶点在另一个的中心 则这两个正方形重叠部分的面积恒为 类比到空 a2 4 间 有两个棱长均为a的正方体 其中一个的某顶点在另一个的中心 则这两个正方体重 叠部分的体积恒为 3 已知函数f x a 0 且a 1 a ax a 1 证明函数y f x 的图象关于点对称 1 2 1 2 2 求f 2 f 1 f 0 f 1 f 2 f 3 的值 4 参考答案参考答案 基础梳理自测基础梳理自测 知识梳理知识梳理 1 归纳推理 类比推理 2 一般 特殊 基础自测基础自测 1 白 解析 解析 每 5 个珠子循环一次 第 36 颗珠子正好是一个循环的开始 是白色 2 1 8 解析 解析 两个正三角形是相似的三角形 它们的面积之比是相似比的平方 同理 两个正四面体是两个相似几何体 体积之比为相似比的立方 它们的体积比为 1 8 3 2 解析 解析 由题意得等式右边依次为 12 1 2 2 1 2 3 n n 1 2 2 1 2 3 4 2 因为 1 2 n 2 2 所以 n n 1 2 13 23 33 n3 2 n N N n n 1 2 4 5 1 90 2 9 10n 解析 解析 由题意 1 位回文数有 9 个 2 位回文数有 9 个 3 位 回文数有 90 9 10 个 4 位回文数有 1 001 1 111 1 221 1 991 2 002 9 999 共 90 个 故归纳猜想 2n 2 位回文数与 2n 1 位回文数个数相等 均为 9 10n个 考点探究突破考点探究突破 例 1 解 猜想 sin2 cos2 30 sin cos 30 3 4 证明 左边 sin2 cos 30 cos 30 sin sin2 3 2 cos 1 2sin 3 2 cos 1 2sin sin2 cos2 sin2 3 4 1 4 右边 3 4 所以 猜想是正确的 例 2 若点P0 x0 y0 在双曲线 1 a 0 b 0 外 过点P0作该双曲线的两 x2 a2 y2 b2 条切线 且切点分别为P1 P2 则切点弦P1P2所在直线的方程为 1 x0 x a2 y0y b2 例 3 证明 1 an 1 Sn 1 Sn an 1 Sn n 2 Sn n Sn 1 Sn 即nSn 1 2 n 1 Sn n 2 n 2 小前提 Sn 1 n 1 Sn n 故是以 2 为公比的等比数列 结论 Sn n 大前提是等比数列的定义 这里省略了 2 由 1 可知 4 n 2 Sn 1 n 1 Sn 1 n 1 5 Sn 1 4 n 1 4 Sn 1 4an n 2 小前提 Sn 1 n 1 n 1 2 n 1 又a2 3S1 3 S2 a1 a2 1 3 4 4a1 小前提 对于任意正整数n 都有Sn 1 4an 结论 第 2 问的大前提是第 1 问的结论以及题中的已知条件 演练巩固提升演练巩固提升 针对训练针对训练 1 解析 解析 将上述式子推广到一般形式 可得 1 故 4 019 2 010 1 22 1 32 1 n2 2n 1 n 1 1 22 1 32 1 2 0102 2 2 010 1 2 010 4 019 2 010 2 解析 解析 在已知的平面图形中 中心O到两边的距离相等 如右图 即OM ON a3 8 四边形OPAR是圆内接四边形 Rt OPN Rt ORM 因此S四边形OPAR S正方形OMAN a2 同样 1 4 地 类比到空间 如图 两个棱长均为a的正方体重叠部分的体积为a3 1 8 3 1 证明 函数f x 的定义域为 R R 任取一点 x y 它关于点对称的点 1 2 1 2 的坐标为 1 x 1 y 由已知得y a a