贵州省久长中学2012-2013学年度高一数学下学期3月月考卷

1 贵州省久长中学贵州省久长中学 2012 20132012 2013 学年度下学期学年度下学期 3 3 月月考卷高一数学月月考卷高一数学 本试卷分第 卷 选择题 和第 卷 非选择题 两部分 满分 150 分 考试时间 120 分钟 第 卷 选择题 共 60 分 一 选择题一 选择题 本大题共 12 个小题 每小题 5 分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的 1 直线bxy 与曲线 2 1yx 有且只有一个交点 则b的取值范围是 A 2 bB 11 b且2 b C 11 bD 非 A B C 结论 答案 D 2 已知两条直线2 axy和01 2 3 yax互相平行 则a等于 A 1 或 3B 1 或 3C 1 或 3D 1 或 3 答案 A 3 直线 3x 4y 2 0 与圆 x2 y2 2x 0 的位置关系是 A 相离B 相切C 相交D 无法判断 答案 B 4 已知点 M 在曲线 22 430 xyx 上 点 N 在不等式组 20 344 30 x xy y 所表示的平面 区域上 那么 MN 的最小值是 A 1B 2 10 3 C 2 10 1 3 D 2 答案 A 5 过双曲线 22 22 10 0 xy ab ab 的焦点F作渐近线的垂线l 则直线l与圆 O 222 xya的位置关系是 A 相交B 相离C 相切D 无法确定 答案 C 6 若动点 A x1 y1 B x2 y2 分别在直线 l1 x y 7 0 和 l2 x y 5 0 上移动 则 AB 中点 M 到原点距离的最小值为 A 32B 23 C 33D 42 答案 A 7 直线 x 3y 2 0 的倾斜角是 A 300B 600C 1200D 1500 2 答案 A 8 过点 1 2 A且与直线210 xy 垂直的直线方程是 A 20 xy B 230 xy C 250 xy D 240 xy 答案 A 9 已知抛物线 02 2 ppxy的准线与圆076 22 xyx相切 则p的值为 A 2 1 B 1C 2D 4 答案 C 10 在同一直角坐标系中 表示直线yax 与yxa 正确的是 答案 C 11 直线l y kx 1 k 0 椭圆 E 1 4 22 y m x 若直线l被椭圆 E 所截弦长为 d 则下 列直线中被椭圆 E 所截弦长不是 d 的直线是 A kx y 1 0B kx y 1 0C kx y 1 0D kx y 0 答案 D 12 已知圆 x 1 2 y 33 2 r2 r 0 的一条切线 y kx 3与直线 x 5 的 夹角为 6 则半径 r 的值为 A 3 2 B 3 3 2 C 3 2 或 3 3 2 D 3 2 或3 答案 C 第 卷 非选择题 共 90 分 二 填空题二 填空题 本大题共 4 个小题 每小题 5 分 共 20 分 把正确答案填在题中横线上 13 直线 1 l的倾斜角 直线 2 l在 x 轴截距为 且 则直线 2 l的方程是 答案 x y 0 3 14 方向向量为 3 4 d 且过点 1 1 A的直线l的方程是 答案 0134 yx 15 经过点 M l 2 的直线 l 与圆64 2 1 22 yx相文于 A B 两点 则 AB 的最 大值等于 答案 16 16 以椭圆的右焦点 2 F 为圆心作一个圆过椭圆的中心 O 并交椭圆于 M N 若过椭圆左焦 点 1 F 的直线 1 MF 是圆的切线 则椭圆的右准线l与圆 2 F 的位置关系是 答案 相交 三 解答题三 解答题 本大题共 6 个小题 共 70 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 已知动圆过定点 P 1 0 且与定直线1 xl相切 1 求动圆圆心的轨迹 M 的方程 2 设过点 P 且倾斜角为 0 120的直线与曲线 M 相交于 A B 两点 A B 在直线l上的射影 是 11 A B 求梯形 11 AAB B的面积 3 若点 C 是 2 中线段 11 AB上的动点 当 ABC 为直角三角形时 求点 C 的坐标 答案 1 曲线 M 是以点 P 为焦点 直线l为准线的抛物线 其方程为xy4 2 2 由题意得 直线 AB 的方程为 2 3 1 3 1 4 yx yx yx 由 消 y 得 4 3 3 1 03103 21 2 xxxx解出 于是 A 点和 B 点的坐标分别为 A 3 32 3 1 B 3 32 所以 11 2 38 3 2 3 33 AB 1112 16 2 3 AABBxx 1111 164 3 29 SAABBAB 3 设 C 1 y 使 ABC 成直角三角形 2222 3 34 9 28 3 32 3 1 1 y y yAC 2222 3428 32 13 yyyBC 9 256 3 16 22 AB i 当 0 90A 时 方法一 当 222 BCACAB 时 22 284 3256 284 3 939 yyyy 即 2 3 9 yCAB 时为直角 C 点的坐标是 2 3 1 9 方法二 当 0 90A 时 得直线 AC 的方程为 2 331 333 yx 求得 C 点的坐标是 2 3 1 9 ii 因为 0 1 60ABB 所以 ABC 不可能为直角 iii 当 0 90C 时 方法一 当 222 ABACBC 时 22 256284 3 284 3 993 y yyy 即 2 44 30 33 yy 解得 2 3 3 y 此时ACB 为直角 方法二 当 0 90C 时 由几何性质得 C 点是 11 AB的中点 即 C 点的坐标是 2 3 1 3 故当 ABC 为直角三角形时 点 C 的坐标是 2 3 1 3 或 2 3 1 9 18 已知与圆 C x2 y2 2x 2y 1 0 相切的直线 l 交 x 轴 y 轴于 A B 两点 OA a OB b a 2 b 2 求证 a 2 b 2 2 求线段 AB 中点的轨迹方程 求 AOB 面积的最小值 答案 圆的标准方程是 x 1 2 y 1 2 1 设直线方程为 1 即 x a y b 5 bx ay ab 0 圆心到该直线的距离 d 1 a b ab a2 b2 即 a2 b2 a2b2 2ab 2a2b 2ab2 a2 b2 即 a2b2 2ab 2a2b 2ab2 0 即 ab 2 2a 2b 0 即 a 2 b 2 2 设 AB 中点 M x y 则 a 2x b 2y 代入 a 2 b 2 2 得 x 1 y 1 x 1 y 1 1 2 由 a 2 b 2 2 得 ab 2 2 a b 4 解得 2 舍去 2 abab2ab2 当且仅当 a b 时 ab 取最小值 6 4 所以 AOB 面积的最小值是 3 2 22 19 一张纸上画有一个半径为 R 的圆 O 和圆内一个定点 A 且 OA a 折叠纸片 使圆周上 某一点 A 刚好与点 A 重合 这样的每一种折法 都留下一条折痕 当 A 取遍圆周上所有 点时 求所有折痕所在直线上点的集合 答案 对于 O 上任意一点 A 连 AA 作 AA 的垂直平分线 MN 连 OA 交 MN 于点 P 显然 OP PA OA R 由于点 A 在 O 内 故 OA aa 为长轴的椭圆 C 而 MN 上任一异于 P 的点 Q 都有 OQ QA OQ QA OA 故点 Q 在椭圆 C 外 即折痕上所有的 点都在椭圆 C 上及 C 外 反之 对于椭圆 C 上或外的一点 S 以 S 为圆心 SA 为半径作圆 交 O 于 A 则 S 在 AA 的垂直平分线上 从而 S 在某条折痕上 最后证明所作 S 与 O 必相交 1 当 S 在 O 外时 由于 A 在 O 内 故 S 与 O 必相交 2 当 S 在 O 内时 例如在 O 内 但在椭圆 C 外或其上的点 S 取过 S 的半径 OD 则由 点 S 在椭圆 C 外 故 OS S A R 椭圆的长轴 即 S A S D 于是 D 在 S 内或上 即 S 与 O 必有交点 于是上述证明成立 综上可知 折痕上的点的集合为椭圆 C 上及 C 外的所有点的集合 20 已知直线 l y x m m R I 若以点 M 2 0 为圆心的圆与直线 l 相切与点 P 且点 P 在 y 轴上 求该圆的方程 II 若直线 l 关于 x 轴对称的直线为 l 问直线 l 与抛物线 C x2 4y 是否相切 说明理 由 答案 I 依题意 点 P 的坐标为 0 m 因为MPl 所以 0 11 20 m 解得 m 2 即点 P 的坐标为 0 2 从而圆的半径 22 20 02 2 2 rMP 故所求圆的方程为 22 2 8 xy 6 II 因为直线l的方程为 yxm 所以直线 l的方程为 yxm 由 2 2 440 4 yxm xxm xy 得 2 44 416 1 mm 1 当1 0m 即时 直线 l与抛物线 C 相切 2 当1m 那0 时 直线 l与抛物线 C 不相切 综上 当 m 1 时 直线 l与抛物线 C 相切 当1m 时 直线 l与抛物线 C 不相切 21 已知圆1 2 22 yxM Q是x轴上的动点 QA QB分别切圆M于BA 两点 1 求四边形QAMB的面积的最小值 2 若点Q的坐标为 1 0 求切线QA QB及直线 AB 的方程 答案 1 设过点Q的圆M的切线方程为1 myx 则圆心M到切线的距离为 1 3 4 1 1 12 2 m m m 或 0 切线QA QB的方程分别为0343 yx和1 x 2 AQMA 311 2222 MOMQMAMQQAQAMASMAQB 22 如图 已知圆心坐标为 1 3 M的圆M与x轴及直线 xy3 均相切 切点分别为A B 另一圆N与圆M x轴及直线xy3 均相切 切点分别为C D 求圆M和圆N的方程 过B点作MN的平行线l 求直线l被圆N 截得的弦的长度 7 答案 1 由于圆M与BOA 的两边相切 故M到OA及OB的距离均为圆M的半 径 则M在BOA 的角平分线上 同理 N也在BOA 的角平分线上 即NMO 三点共线 且OMN为BOA 的角平分线 M的坐标为