2011四次考试梳理_解析几何答案

1 2011 四次考试梳理四次考试梳理 解析几何答案解析几何答案 1 2011 1 海淀期末理海淀期末理 19 共 共 14 分 分 解 抛物线 的准线为 1 分 2 2ypx 0 p 2 p x 由抛物线定义和已知条件可知 1 12 22 pp MF 解得 故所求抛物线方程为 3 分2p 2 4yx 联立 消并化简整理得 2 1 2 4 yxb yx x 2 880yyb 依题意应有 解得 4 分64320b 2b 设 则 5 分 1122 A x yB xy 1212 8 8yyy yb 设圆心 则应有 00 Q xy 1212 00 4 22 xxyy xy 因为以为直径的圆与轴相切 得到圆半径为 6 分ABx 0 4ry 又 2222 1212121212 14 5 4 5 6432 ABxxyyyyyyy yb 所以 7 25 6432 8ABrb 分 解得 8 分 8 5 b 所以 所以圆心为 1212 48 2222416 5 xxbybyb 24 4 5 故所求圆的方程为 9 22 24 4 16 5 xy 分 方法二 联立 消掉并化简整理得 2 1 2 4 yxb yx y 22 416 40 xbxb 依题意应有 解得 4 分 22 16 4 160bb 2b 设 则 5 分 1122 A x yB xy 2 1212 416 4xxbx xb 设圆心 则应有 00 Q xy 1212 00 4 22 xxyy xy 因为以为直径的圆与轴相切 得到圆半径为 6 分ABx 0 4ry 又 2222 1212121212 15 1 4 5 6432 44 ABxxyyxxxxx xb 又 所以有 7 分 28ABr 5 6432 8b 解得 8 8 5 b 分 所以 所以圆心为 12 48 5 xx 24 4 5 故所求圆的方程为 9 分 22 24 4 16 5 xy 因为直线 与轴负半轴相交 所以 ly0b 又 与抛物线交于两点 由 知 所以 10l2b 20b 2 分 直线 整理得 l 1 2 yxb 220 xyb 点到直线 的距离 11Ol 2 2 55 bb d 分 所以 12 32 1 42 24 22 2 AOB SAB dbbbb 分 令 32 2g bbb 20b 2 4 343 3 g bbbb b b 4 2 3 4 3 4 0 3 g b 0 g b 极大 由上表可得最大值为 13 分 g b 432 327 g 所以当时 的面积取得最大值 14 分 4 3 b AOB 32 3 9 3 2 2011 1 海淀期末海淀期末 文文 19 本小题满分 本小题满分 14 分 分 解 根据题意 设 4 Pt I 设两切点为 则 C D OCPC ODPD 由题意可知即 2 分 222 POOCPC 2222 42 2 3 t 解得 所以点坐标为 3 分0t P 4 0 在中 易得 所以 4Rt POC 60POC 120DOC 分 所以两切线所夹劣弧长为 5 分 24 2 33 II 设 1122 M x yN xy 1 0 Q 依题意 直线经过点 PA 2 0 4 APt 可以设 6 2 6 t AP yx 分 和圆联立 得到 22 4xy 22 2 6 4 t yx xy 代入消元得到 7 分 2222 36 441440txt xt 因为直线经过点 所以是方程的两个根 AP 11 2 0 AM x y 1 2 x 所以有 8 2 1 2 4144 2 36 t x t 2 1 2 722 36 t x t 分 代入直线方程得 9 分 2 6 t yx 2 1 22 72224 2 63636 ttt y tt 同理 设 联立方程有 2 2 t BP yx 22 2 2 4 t yx xy 代入消元得到 2222 4 44160txt xt 因为直线经过点 所以是方程的两个根 BP 22 2 0 BN xy 2 2 x 2 2 2 416 2 4 t x t 2 2 2 28 4 t x t 代入得到 11 分 2 2 t yx 2 2 22 288 2 244 ttt y tt 若 则 此时 1 1x 2 12t 2 2 2 28 1 4 t x t 显然三点在直线上 即直线经过定点 12 分 M Q N1x MNQ 1 0 若 则 1 1x 2 12t 2 1x 4 所以有 13 2 1 22 1 2 24 08 36 722112 1 36 MQ t yt t k txt t 2 2 22 2 2 8 08 4 28112 1 4 NQ t yt t k txt t 分 所以 所以三点共线 MQNQ kk M N Q 即直线经过定点 MNQ 1 0 综上所述 直线经过定点 14 分MNQ 1 0 3 2011 4 海淀一模海淀一模 理理 19 本小题共 本小题共 14 分 分 解 由已知可得 所以 1 分 22 2 2 1 4 ab e a 22 34ab 又点在椭圆上 所以 2 3 1 2 MC 22 19 1 4ab 分 由 解之 得 22 4 3ab 故椭圆的方程为 5 分C 22 1 43 xy 由 消化简整理得 22 1 43 ykxm xy y 222 34 84120kxkmxm 8 分 222222 644 34 412 48 34 0k mkmkm 设点的坐标分别为 则 A B P 112200 x yxyxy 9 分 01201212 22 86 2 3434 kmm xxxyyyk xxm kk 由于点在椭圆上 所以 10 分PC 22 00 1 43 xy 从而 化简得 经检验满足 式 11 分 222 2222 1612 1 34 34 k mm kk 22 434mk 又 222 22 00 2222 6436 34 34 k mm OPxy kk 12 222 222 4 169 169 34 43 mkk kk 2 3 4 43k 分 因为 得 有 故 1 2 k 2 3434k 2 33 1 443k 13 3 2 OP 即所求的取值范围是 14 分OP 13 3 2 另解 设点的坐标分别为 A B P 112200 x yxyxy 5 由在椭圆上 可得 6 分 A B 22 11 22 22 3412 3412 xy xy 整理得 7 分 12121212 3 4 0 xxxxyyyy 由已知可得 所以 8 分OPOAOB 120 120 xxx yyy 由已知当 即 9 分 12 12 yy k xx 1212 yyk xx 把 代入 整理得 10 分 00 34xky 与联立消整理得 11 分 22 00 3412xy 0 x 2 0 2 9 43 y k 由得 22 00 3412xy 22 00 4 4 3 xy 所以 12 分 222222 00000 2 413 444 3343 OPxyyyy k 因为 得 有 1 2 k 2 3434k 2 33 1 443k 故 13 13 3 2 OP 分 所求的取值范围是 14 分OP 13 3 2 4 2011 4 海淀一模海淀一模 文文 19 本小题共 本小题共 14 分 分 解 由已知 所以 1 22 2 2 1 4 ab e a 22 34ab 分 又点在椭圆上 所以 2 分 3 1 2 MC 22 19 1 4ab 由 解之 得 22 4 3ab 故椭圆的方程为 5 分C 22 1 43 xy 当直线 有斜率时 设时 l ykxm 则由 22 1 43 ykxm xy 消去得 6 分y 222 34 84120kxkmxm 7 分 222222 644 34 412 48 34 0k mkmkm 设 A B 点的坐标分别为 则 P 112200 x yxyxy 8 分 01201212 22 86 2 3434 kmm xxxyyyk xxm kk 6 由于点在椭圆上 所以 9 分PC 22 00 1 43 xy 从而 化简得 经检验满足 式 222 2222 1612 1 34 34 k mm kk 22 434mk 10 分 又点到直线 的距离为 Ol 11 分 2 2 22 3 113 4 11 4 1 42 11 k m d k kk 当且仅当时等号成立 12 分 0k 当直线 无斜率时 由对称性知 点一定在轴上 lPx 从而点为 直线 为 所以点到直线 的距离为 1 13 分 P 2 0 2 0 l1x Ol 所以点到直线 的距离最小值为 14 分 Ol 3 2 5 2011 5 海淀二模海淀二模 理理 19 本小题共本小题共 13 分 分 解 I 由题意可得 2OPOM 分 所以 即 4 分0OP OM 4 0 x y x 即 即动点的轨迹的方程为 5 分 2 40 xy PW 2 4xy II 设直线 的方程为 则 l4ykx 1122 A x yB xy 11 Ax y 由消整理得 6 分 2 4 4 ykx xy y 2 4160 xkx 则 即 7 分 2 16640k 2k 9 分 1212 4 16xxk x x 直线 21 22 21 yy A B yyxx xx 21 22 21 yy yxxy xx 22 2 21 22 12 1 4 4 xx yxxx xx 2 2 21212 2 1 444 xxxx x yxx 12 分 2112 y 44 xxx x x 即所以 直线恒过定点 13 分 21 4 4 xx yx A B 0 4 6 2011 5 海淀二模海淀二模 文文 19 本小题共 本小题共 14 分 分 解 1 分 2 2 22 a c ec 4 分2 1 ac1 22 cab 椭圆的标准方程是 5 分C1 2 2 2 y x 由已知可得 6 分 0 1 1 0 FB 7 设 则 00 yxA 1 1 1 00 BFyxBA 即 8 分 2 BFBA2 1 00 yx 00 1yx 代入 得 或 即或 10 分1 2 2 0 2 0 y x 1 0 0 0 y x 3 1 3 4 0 0 y x 1 0 A 3 1 3 4 A 当为时 的外接圆是以为圆心 以 1A 1 0 1 OFOBOAABF O 为半径的圆 该外接圆的方程为 121 22 yx 分 当为时 所以是直角三角形 其外接圆是A 3 1 3 4 1 1 AFBF kkABF 以线段为直径的圆 由线段的中点以及可得的BABA 3 2 3 2 3 52 BAABF 外接圆的方程为 14 9 5 3 2 3 2 22 yx 分 综上所述 的外接圆的方程为或 ABF 1 22 yx 9 5 3 2 3 2 22 yx 7 2011 1 西城期末西城期末 理理 18 18 本小题满分 本小题满分 1313 分 分 解 由题意得 得 2 分 3 3 2 c c a 2 3a 结合 解得 3 分 222 abc 2 12a 2 3b 所以 椭圆的方程为 4 分1 312 22 yx 由 得 22 22 1 xy ab ykx 222222 0ba kxa b 设 1122 A x yB xy 所以 6 分 22 1212 222 0 a b xxx x ba k 依题意 OMON 易知 四边形为平行四边形 2 OMF N 所以 7 分 22 AFBF 因为 211 3 F Axy 222 3 F Bxy 所以 8 分 2 22121212 3 3 1 90F A F Bxxy ykx x 即 9 分 222 222 9 1 90 9 aak a ka 将其整理为 10 分 422 2 4242 188181 1 1818 aa k aaaa 8 因为 所以 11 分 2 3 2 2 e2 33 2a 2 1218a 所以 即 13 分 2 1 8 k 22 44 k 8 2011 1 西城期末西城期末 文文 18 本小题满分 本小题满分 13 分 分 解 解 由题意得 21 2cab 分 又 所以 3 分 22 1ab 2 1b 2 2a 所以椭圆的方程为 4 分 2 2 1 2 x y 设 0 1 A 11 B x y 00 P xy 联立 消去得 6 分 22 22 1 xy ykx y 22 12 40kxkx 解得或 所以 0 x 2 4 12 k x k 1 2 4 12 k x k 所以 8 分 2 22 41 2 1212 kk B kk 22 21 1212 k P kk 因为直线的斜率为 所以 OP1 1 1 2k 解得 满足 式判别式大于零 10 1 2 k 分 到直线的距离为 11O 1 1 2 l yx 2 5 分 12 22 11 1 ABxy 2 5 3 分 所以 的面积为 13 分OAB 1222 5 2335 9 2011 4 西城一模西城一模 理理 19 本小题满分 本小题满分 14 分 分 解 解 由已知 设 则 0 2 p F 11 A x y 2 11 2ypx 圆心坐标为 圆心到轴的距离为 2 11 2 42 xp y y 1 2 4 xp 分 圆的半径为 4 1 1 21 2224 FAxpp x 分 所以 以线段为直径的圆与轴相切 5FAy 9 分 解法一 设 由 得 022 0 PyB xy 1 FAAP 2 BFFA 6 111101 2 p xyx yy 22211 22 pp xyxy 分 所以 11 11101 2 p xxyyy 8 221221 22 pp xxyy 分 由 得 221 yy 222 221 yy 又 2 11 2ypx 2 22 2ypx 所以 10 2 221 xx 分 代入 得 221 22 pp xx 2 2121 22 pp xx 2122 1 1 2 p x 整理得 12 分 1 2 2 p x 代入 得 11 1 2 p xx 1 22 222 ppp 所以 13 1 22 1 1 分 因为 所以的取值范围是 14 1 2 1 1 4 2 2 4 2 3 分 解法二 解法二 设 2211 yxByxA 2 p AB xmy 将代入 得 2 p xmy 2 2ypx 22 20ypmyp 所以 6 分 2 12 y yp 由 得 1 FAAP 2 BFFA 7 111101 2 p xyx yy 22211 22 pp xyxy 分 所以 11 11101 2 p xxyyy 8 分 221221 22 pp xxyy 将代入 式 得 10 122 yy 2 2 1 2 p y 分 10 所以 12 2 1 2 2 p px 1 2 2 p x 分 代入 得 13 11 1 2 p xx 1 22 1 1 分 因为 所以的取值范围是 14 1 2 1 1 4 2 2 4 2 3 分 10 2011 4 西城一模西城一模 文文 19 本小题满分 本小题满分 14 分分 解 由已知 不合题意 设直线 的方程为 4x l 4 yk x 由已知 抛物线的焦点坐标为 1C 1 0 分 因为点到直线 的距离为 所以 3Fl3 2 3 3 1 k k 分 解得 所以直线 的斜率为 5 2 2 k l 2 2 分 设线段中点的坐标为 AB 00 N xy 2211 yxByxA 因为不垂直于轴 ABx 则直线的斜率为 直线的斜率为 7MN 0 0 4 y x AB 0 0 4x y 分 直线的方程为 8AB 0 00 0 4 x yyxx y 分 联立方程 0 00 0 2 4 4 x yyxx y yx 消去得 10 分x 22 0 0000 1 4 0 4 x yy yyx x 所以 11 0 12 0 4 4 y yy x 分 因为为中点 所以 即 13 分NAB 12 0 2 yy y 0 0 0 2 4 y y x 所以 即线段中点的横坐标为定值 14 分 0 2x AB2 11 2011 4 西城二模西城二模 理理 19 本小题满分 本小题满分 14 分 分 解 因为椭圆上一点和它的两个焦点构成的三角形周长为 M246 所以 1 分24622 ca 11 又椭圆的离心率为 即 所以 2 2 2 3 2 2 3 c a 2 2 3 ca 分 所以 43a 2 2c 分 所以 椭圆的方程为 51b M1 9 2 2 y x 分 方法一 不妨设的方程 则的方程为 BC 3 0 yn xn AC 3 1 x n y 由得 6 2 2 3 1 9 yn x x y 0196 9 1 2222 nxnxn 分 设 11 yxA 22 yxB 因为 所以 7 2 2 2 819 3 91 n x n 19 327 2 2 2 n n x 分 同理可得 8 2 2 1 9 327 n n x 分 所以 10 分 19 6 1 2 2 n nBC 2 22 9 61 n n n n AC 12 9 64 1 1 2 2 1 2 n n n n ACBCS ABC 分 设 2 1 n nt 则 13 分 2 223 6464 8 99 t S tt t 当且仅当时取等号 3 8 t 所以面积的最大值为 14 分ABC 8 3 方法二 不妨设直线的方程 ABxkym 由 消去得 6 2 2 1 9 xkym x y x 222 9 290kykmym 分 设 11 yxA 22 yxB 12 则有 7 12 2 2 9 km yy k 2 12 2 9 9 m y y k 分 因为以为直径的圆过点 所以 ABC0CA CB 由 1122 3 3 CAxyCBxy 得 8 分 1212 3 3 0 xxy y 将代入上式 1122 xkym xkym 得 22 1212 1 3 3 0ky yk myym 将 代入上式 解得 或 舍 10 12 5 m 3m 分 所以 此时直线经过定点 与椭圆有两个交点 12 5 m AB 12 0 5 D 所以 12 1 2 ABC SDCyy 12 分 2 2 1212 22 13925 9 144 4 25525 9 k yyy y k 设 则 2 11 0 99 tt k 2 9144 525 ABC Stt 所以当时 取得最大值 14 分 251 0 2889 t ABC S 8 3 12 2011 4 西城二模西城二模 文文 19 本小题满分 本小题满分 14 分 分 解 由已知 2 分22 3c 3 2 c a 解得 4 分2 3ac 所以 222 1bac 椭圆的方程为 5 分 2 2 1 4 x y 由 得过点的直线为 B1ykx 由 得 6 分 2 2 1 4 1 x y ykx 22 41 80kxkx 所以 所以 8 分 2 8 14 D k x k 2 2 1 4 14 D k y k 依题意 0k 1 2 k 因为成等比数列 所以 9 BDBEDE 2 BEBD DE 分 所以 即 10 分 2 1 DD byy 1 1 DD yy 当时 无解 11 分0 D y 2 10 DD yy x y O D B E 13 当时 解得 120 D y 2 10 DD yy 15 2 D y 分 所以 解得 2 2 1 415 142 k k 2 25 4 k 所以 当成等比数列时 14 BDBEDE 2 25 4 k 分 2008 北京理北京理 19 本小题共 本小题共 14 分 分 标准答案标准答案 由题意得直线的方程为 BD1yx 因为四边形为菱形 所以 ABCDACBD 于是可设直线的方程为 ACyxn 由得 22 34xy yxn 22 46340 xnxn 因为在椭圆上 AC 所以 解得 2 12640n 4 34 3 33 n 设两点坐标分别为 AC 1122 xyxy 则 12 3 2 n xx 2 12 34 4 n x x 11 yxn 22 yxn 所以 12 2 n yy 所以的中点坐标为 AC 3 44 n n 由四边形为菱形可知 点在直线上 ABCD 3 44 n n 1yx 所以 解得 3 1 44 nn 2n 所以直线的方程为 即 AC2yx 20 xy 因为四边形为菱形 且 ABCD60ABC 所以 ABBCCA 所以菱形的面积 ABCD 23 2 SAC 由 可得 2 2 22 1212 316 2 n ACxxyy 所以 2 34 34 3 316 433 Snn 所以当时 菱形的面积取得最大值 0n ABCD4 3 2008 北京文北京文 19 本小题共 本小题共 14 分 分 解 因为 且边通过点 所以所在直线的方程为 ABl AB 0 0 AByx 14 设两点坐标分别为 AB 1122 xyxy 由 得 22 34xy yx 1x 所以 12 22 2ABxx 又因为边上的高等于原点到直线 的距离 ABhl 所以 2h 1 2 2 ABC SAB h A 设所在直线的方程为 AByxm 由得 22 34xy yxm 22 46340 xmxm 因为在椭圆上 AB 所以 2 12640m 设两点坐标分别为 AB 1122 xyxy 则 12 3 2 m xx 2 12 34 4 m x x 所以 2 12 326 2 2 m ABxx 又因为的长等于点到直线 的距离 即 BC 0 m l 2 2 m BC 所以 222 22 210 1 11ACABBCmmm 所以当时 边最长 这时 1m AC12640 此时所在直线的方程为 AB1yx 09 北京理北京理 19 本小题共 本小题共 14 分 分 解法解法 1 1 本题主要考查双曲线的标准方程 圆的切线方程等基础知识 考查曲线和方程 的关系等解析几何的基本思想方法 考查推理 运算能力 由题意 得 解得 w w w k s 5 u c o m 2 3 3 3 a c c a 1 3ac 所求双曲线的方程为 222 2bca C 2 2 1 2 y x 点在圆上 w w w k s 5 u c o m 0000 0P xyx y 22 2xy 圆在点处的切线方程为 00 P xy 0 00 0 x yyxx y 化简得 w w w k s 5 u c o m 00 2x xy y 由及得 2 2 00 1 2 2 y x x xy y 22 00 2xy 222 000 344820 xxx xx 切线 与双曲线 C 交于不同的两点 A B 且 l 2 0 02x 15 且 w w w k s 5 u c o m 2 0 340 x 222 000 164 34820 xxx 设 A B 两点的坐标分别为 1122 x yxy 则 w w w k s 5 u c o m 2 00 1212 22 00 482 3434 xx xxx x xx 且cos OA OB AOB OA OB 1212120102 2 0 1 22OA OBx xy yx xx xx x y w w w k s 5 u c o m 2 12012012 2 0 1 42 2 x xxxxx x x x 22 22 00 00 2222 0000 82 8281 4 3423434 xx xx xxxx 的大小为 w k s 5 u c o m 22 00 22 00 8282 0 3434 xx xx AOB 90 解法解法 2 2 同解法 1 点在圆上 w w w k s 5 u c o m 0000 0P xyx y 22 2xy 圆在点处的切线方程为 00 P xy 0 00 0 x yyxx y 化简得 由及得w w w k s 5 u c o m 00 2x xy y 2 2 00 1 2 2 y x x xy y 22 00 2xy 222 000 344820 xxx xx 222 000 348820 xyy xx 切线 与双曲线 C 交于不同的两点 A B 且 l 2 0 02x 设 A B 两点的坐标分别为 2 0 340 x 1122 x yxy 则 w w w k s 5 u c o m 22 00 1212 22 00 8228 3434 xx x xy y xx 的大小为 w k s 5 u c o m 1212 0OA OBx xy y AOB 90 且 从而当时 方程 和 22 00 2xy 00 0 x y 22 00 02 02xy 2 0 340 x 方程 的判别式均大于零 2009 北京文北京文 19 本小题共 本小题共 14 分 分 由题意 得 解得 w w w k s 5 u c o m 2 3 3 3 a c c a 1 3ac 所求双曲线的方程为 222 2bca C 2 2 1 2 y x 16 设 A B 两点的坐标分别为 线段 AB 的中点为 1122 x yxy 00 M xy 由得 判别式 2 2 1 2 0 y x xym 22 220 xmxm 0 12 000 2 2 xx xm yxmm 点在圆上