解答椭圆中最值问题策略

解答椭圆中最值问题策略解答椭圆中最值问题策略 椭圆是圆锥曲线这一章节中的重要内容 而与椭圆有关的最值问题则是解析几何中最 值问题的一个组成部分 与椭圆有关的最值问题具有综合性强 涉及知识面广等特点 是学 习中的一个难点 要解决这类问题往往利用函数与方程思想 数形结合思想 转化与化归等 数学思想方法 将它转化为解不等式或求函数值域 以及利用函数单调性 各种平面几何 中最值的思想来解决 一 建立目标函数 利用函数性质一 建立目标函数 利用函数性质 例例 1 设 P x y 是椭圆 1 上的一点 F1为椭圆的左焦点 求 PF1 的最大值和 x2 64 y2 28 最小值 分析 分析 由于点 F 的坐标为 6 0 因此只须设出点 P 的坐标 x y 结合椭圆方程即 可建立 PF1 关于横坐标 x 的目标函数 再结合函数的即可求解 解解 椭圆的左焦点 F1坐标为 6 0 根据两点的距离公式 得 PF1 x x 6 2 y2 3 4 32 3 由已知 得 x 8 8 函数 x 在 8 8 上为增函数 3 4 32 3 故 PF1 max 8 14 PF1 min 8 2 3 4 32 3 3 4 32 3 点拨点拨 函数法是探求最值问题的常用方法 尤其是二次函数 值得注意的是函数自变 量取值范围的确定不容忽视 同时通过本题的解答 可得结论 椭圆上的点到焦点的距离取 得最大值和最小值的点就是椭圆的两个端点 二 利用定义转化 结合平面几何性质二 利用定义转化 结合平面几何性质 例例 2 已知 A 4 0 B 2 2 M 是椭圆 9x2 25y2 225 上的动点 求 MA MB 的最 大与最小值 分析 分析 由于 A 4 0 是椭圆的焦点 因此可以利用椭圆的定义对 MA MB 转化 转化 为求解椭圆上一动点到定直线上两定点的距离之差的最值问题 解析解析 如图所示 由题意 知点 A 4 0 恰为椭圆右焦点 则 A 关于 O 的对称 点 A1 4 0 左焦点 由椭圆的第一定义 得 MA MA1 2a MA 2a MA1 MA MB 2a MA1 MB 2a MB MA1 在 A1BM 中 MB MA1 A1B 2 2 MB MA1 2 101010 又 2a 10 故 MA MB 的最大值是 10 2 最小值为 10 2 1010 点评点评 1 涉及椭圆的焦点问题 一般都可以利用定义引导思维 同时常起着转化的作 用 2 注重使用平面几何知识 三角形中的三边关系 三点共线为特例 从而确定最值 三 巧妙设角 利用三角函数有界性三 巧妙设角 利用三角函数有界性 例例 3 已知椭圆 C 1 a b 0 两个焦点为 F1 F2 如果曲线 C 上存在一点 x2 a2 y2 b2 Q 使 F1Q F2Q 求椭圆离心率的最小值 分析 分析 根据条件可采用多种方法求解 但是若借用三角函数 的有界性求解 会有不错的效果 由于 F1Q F2Q 因此可设 PF1F2 然后表示出相应的焦半径 QF1 QF2 结合定义即 可建立离心率关于 的三角函数 解 设 QF1F2 则 QF1 F1F2 cos 2ccos QF2 F1F2 sin 2csin 由椭圆定义知 QF1 QF2 2a 即 2ccos 2csin 2a 故 e Error 当 45 时取 c a 故椭圆离心率的最小值为 点评 点评 本题建立离心率 e 关于 的目标函数的关键是利用三角函数处理 Rt QF1F2边 角的关系 另外 利用三角函数的有界性求最值时 一定要注意角的范围 四 利用椭圆的几何性质 建立变量不等式四 利用椭圆的几何性质 建立变量不等式 例例 4 若 A B 为椭圆 1 a b 0 的长轴两端点 Q 为椭圆上一点 使 x2 a2 y2 b2 AQB 120 求此椭圆离心率的最小值 分析 分析 建立 a b c 之间的不等式是解决离心率最值问题常规思路 此题也就要将角转 化为边的思想 但条件又不是与焦点有关 很难使用椭圆的定义 故考虑使用到角公式转 化为坐标形式运用椭圆中 x y 的取值进行求解离心率的最值 解 解 不妨设 A a 0 B a 0 Q x y 则 kAQ kBQ y x a y x a 利用到角公式及 AQB 120 得 tan120 x a 即 2ay x2 y2 a23 又点 A 在椭圆上 故 x2 a2 消去得 y a2y2 b2 x 又 y b 即 b 则 4a2 a2 c2 3c4 从而转化为关于 e 的高次不等式 3e4 4e2 4 0 解得 e 1 故椭圆离心率的最小值为 点评 点评 对于此类最值问题关键是如何建立 a b c 之间的关系 常用椭圆上的点 x y 表示成 a b c 并利用椭圆中 x y 的取值来求解范围问题或用数形结合进行求解 五 利用均值不等式 建立不等式五 利用均值不等式 建立不等式 根据题设条件建立不等式 再根据均值不等式转化为不等式 建立 a c 的不等式 求 e 的范围 例例 5 设椭圆 1 a b 0 的两焦点为 F1 F2 问当离心率 e 在什么范围取值时 x2 a2 y2 b2 当椭圆上恒存在点 P 使 F1PF2 120 时 求离心率最小值 分析 利用余弦定理建立 F1F2 与 PF1 PF2 的等式 利用均值定理 解解 设椭圆的焦点为 2c 由椭圆定义 PF1 PF2 2a 在 F1PF2中 由余弦定理得建 立 a c 的不等式 通过解不等式可求得离心率的最小值 F1F2 2 PF1 2 PF2 2 2 PF1 PF2 cos F1PF2 PF1 2 PF2 2 2 PF1 PF2 cos120 PF1 PF2 2 PF1 PF2 所以 4a2 4c2 PF1 PF2 2 a2 3a2 4c2 0 即 PF1 PF2 2 3a2 4c2 c2 a2 3 4 c a 又 0 e 1 所以 e 1 故离心率最小值 点评 点评 本题所涉及的三角形是一个一般的三角形 因此利用了余弦定理进行转化 另外 本题还可以利用一条直线到另一条直线到角公式求解 不过过程要较为复杂些 例例 6 已知椭圆 C y2 1 设直线 l 与椭圆 C 交于 A B 两点 坐标原点 O 到直 x2 3 线 l 的距离为 求 AOB 面积的最大值 分析 分析 AOB 的高是已知的 因此只要用直线的斜率 k 结合弦长公式表示线段 AB 的 长 即可将 AOB 面积 S 表示为 k 的函数 再利用求函数值域方法就可求得最大值 解 解 当 AB x 轴时 AB 3 当 AB 与 x 轴不垂直时 设直线 AB 的方程为 y kx m 由已知 得 m2 k2 1 3 4 把 y kx m 代入椭圆方程 整理得 3k2 1 x2 6kmx 3m2 3 0 AB 2 1 k2 x2 x1 2 1 k2 36k2m2 3k2 1 2 12 m2 1 3k2 1 12 k2 1 3k2 1 m2 3k2 1 2 3 3 k 0 3 4 3 k2 1 9k2 1 3k2 1