高中数学 空间向量的直角坐标运算教案 新人教版

用心 爱心 专心1 高二数学教学案高二数学教学案 课题课题两个向量的数量积两个向量的数量积课型课型新授 目标目标 要求要求 1 掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法 2 掌握两个向量的数量积的计算方法 并能利用两个向量的数 量积解决立体几何中的一些简单问题 重点重点空间数量积的计算方法 难点难点几何意义 立体几何问题的转化 一 预习提纲 1 空间向量的夹角及其表示 异面直线 2 向量的数量积 3 空间向量数量积的性质 4 空间向量数量积运算律 二 预习达标 1 3 则 0 cbaa2b4 c a b A B C D 3 4 2 3 2 2 空间向量 满足 4 8 求abab a b 3 2 1 2 aba 2 2 2 abab 三 学案导学 1 空间向量的夹角及其表示 已知两非零向量 在空间任取一点 作 则 a b O OAa OBb 叫做向量与的夹角 记作 且规定 显然有AOB a b a b 0 a b a bb a 若 则称与互相垂直 记作 2 a b a b ab 异面直线 2 向量的模 用心 爱心 专心2 设 则有向线段的长度叫做向量的长度或模 记作 OAa OA a a 3 向量的数量积 已知向量 则叫做的数 a b cos aba b a b 量积 记作 即 a b a b cos aba b 已知向量和轴 是 上与 同方向的单位ABa le ll 向量 作点在 上的射影 作点在 上的射影 Al A Bl B 则叫做向量在轴 上或在上的正射影 可以证A B AB le 明的长度 A B cos A BABa ea e 4 空间向量数量积的性质 1 cos a eaa e 2 0aba b 3 2 aa a 5 空间向量数量积运算律 1 aba bab 2 交换律 a bb a 3 分配律 abca ba c 四 典例剖析 例 1 用向量方法证明 直线和平面垂直的判定定理 已知 是平面内的两条相交直线 直线 与平面的交点为 且 m n l B lm ln 求证 l 证明 在内作不与重合的任一直线 m ng 在上取非零向量 相交 l m n g l m n g m n 向量不平行 由共面定理可知 存在 m n 唯一有序实数对 使 x ygxmyn 又 l gxl myl n 0 0l ml n 0l g lg lg 所以 直线 垂直于平面内的任意一条直线 即得 ll 例 2 已知空间四边形中 求证 ABCDABCD ACBD ADBC 证明 法一 AD BCABBDACAB 2 AB ACBD ACABAB BD 0ABACABBDAB DC 法二 选取一组基底 设 ABa ACb ADc AC B A B e l m n m n g g l 用心 爱心 专心3 即 ABCD 0acb a cb a 同理 a bb c a cb c 即 0cba 0AD BC ADBC 说明 用向量解几何题的一般方法 把线段或角度转化为向量表示 并用已 知向量表示未知向量 然后通过向量运算取计算或证明 例 3 如图 在空间四边形中 OABC8OA 6AB 4AC 5BC 求与的夹角的余弦值 45OAC 60OAB OABC 解 BCACAB OA BCOA ACOA AB cos cos OAACOA ACOAABOA AB 8 4 cos1358 6 cos12024 16 2 24 16 232 2 cos 8 55 OA BC OA BC OABC 所以 与的夹角的余弦值为 OABC 32 2 5 说明 由图形知向量的夹角时易出错 如易错写成 135OA AC 切记 45OA AC 五 当堂达标 课本 88 页练习 A 1 2 3 六 课堂小结 七 课后巩固 O A B C 用心 爱心 专心4 1 若 是两个非零向量 且 则 的关系是 ab 2 ab 2 baab A 相等 B 共线不一定相等 C 不共线 D 为任意非零向量ab 2 求实数的值 b am ban a b 4 3 nm 3 已知向量 向量 与的夹角都是 且 ab c a