九年级数学中考第一轮复习⑴ 数与式华东师大版知识精讲

用心 爱心 专心 九年级数学中考第一轮复习九年级数学中考第一轮复习 数与式华东师大版数与式华东师大版 本讲教育信息本讲教育信息 一 教学内容 中考第一轮复习 数与式 二 重点 难点扫描 1 有理数的意义 数轴 相反数 倒数 绝对值 近似数与有效数字 2 有理数的运算 加减乘除 乘方 有理数的大小比较 3 数的开方 平方根 立方根 实数 4 二次根式 二次根式的乘除法 性质 运算 5 代数的初步知识 代数式的概念 列代数式 求代数式的值 6 整式的概念 单项式 系数 次数 多项式 项数 次数 同类项 降 升幂排列 7 整式的加减 合并同类项 去 添括号 8 幂的运算性质 同底数幂的乘法 幂的乘方 积的乘方 同底数幂的除法 零指数与 负整指数幂 科学记数法 9 整式的乘除 单项式乘以单项式 多项式乘以单项式 多项式乘以多项式 乘法公 式 因式分解 单项式除以单项式 多项式除以单项式 10 分式 分式的有关概念 分式 有理式 最简分式 最简分母 分式的基本性 质 分式的运算 三 知识梳理 有理数 1 有理数的有关概念 要准确把握有理数的概念 特别是负数和绝对值的概念是难点 要深刻理解 并结合 数轴理解这两个概念 用数形结合的思想 使抽象的概念具体化 再就是近似数的有效数 字的概念也是非常重要的 要理解透彻 2 有理数的运算 灵活运用有理数的运算法则 运算律 运算顺序以及有理数的混合运算 利用运算律 简化运算一定要熟练掌握 运算中的符号问题是易出错的地方 要特别注意 再就是要掌 握好减法转化成加法 除法转化成乘法这种转化思想 实数 1 掌握平方根 立方根的概念和性质 学好本章的关键是深刻理解平方根和立方根的概念 再就是懂得平方根和立方根的符 号所表示的含义 注意区分平方根和算术平方根 2 掌握实数的分类 掌握实数可按性质和正负两种方法分类 用心 爱心 专心 或 正整数 整数零 负整数有理数 实数正分数 分数 负分数 正无理数 无理数 负无理数 正整数 正有理数 正实数正分数 正无理数 实数零 负整数 负有理数 负实数负分数 负无理数 代数式 1 正确列代数式 首先要注意审题 弄清问题中的基本数量关系 然后把数量关系用代数式表示出来 再就是要把代数式和等式区分开 书写代数式要注意格式 2 迅速求代数式的值 求代数式的值通常要先化简再求值比较简便 当所代的数是负数时 要特别注意符号 3 公式的探求与应用 探求公式时要先观察其中的规律 通过尝试 归纳出公式 再加以验证 这几个环节 都是必不可少的 再就是灵活运用公式解决实际问题 整式 1 正确理解整式的有关概念 整式的系数 次数 项 同类项等概念必须清楚 是学习方程 整式乘除 分式和二 次函数的基础 2 掌握合并同类项 去 添 括号法则 要处理好合并同类项及去 添 括号中各项符号处理 式的运算是数的运算的深化 加强式与数的运算对比与分析 体会其中渗透的转化思想 3 熟练地运用幂的运算性质进行计算 幂的运算是整式的乘法的基础 也是考试的重点内容 要求熟练掌握 运算中注意 符 号 问题和区分各种运算时指数的不同运算 4 熟练运用整式的乘法法则进行计算 整式运算常以混合运算出现 其中单项式乘法是关键 其他乘除都要转化为单项式乘 法 乘法公式的运用是重点也是难点 计算时 要注意观察每个因式的结构特点 经过适 当调整后 表面看来不能运用乘法公式的式子就可以运用乘法公式 从而使计算大大简化 5 区分因式分解与整式的乘法 它们的关系是意义上正好相反 结果的特征是因式分解是积的形式 整式的乘法是和 的形式 抓住这一特征 就不容易混淆因式分解与整式的乘法 对于给出的多项式 首先要 观察是否有公因式 有公因式的话 首先要提公因式 然后再观察运用公式还是分组 分解 因式要分解到不能分解为止 6 幂的除法运算性质的计算以及整式的混合运算 同底数幂的除法公式是进行除法运算的基础 也是中考的必考内容 运算时要注意符 号问题 同时系数 指数也要分清 整式的混合运算是考查的重点 多项式除以单项式通 常转化为单项式除以单项式 整式的乘除要与整式的加减区分开来 切勿混淆 因此要牢记运 算法则 用心 爱心 专心 7 零次幂与科学记数法 理解零次幂的意义 会判定零次幂的底数的取值范围 会求非零代数式的零次幂 会用 科学记数法表示一个绝对值较大或较小的有理数 这也是中考的常考内容 分式 1 弄清分式有意义 无意义和值为零的条件 分式有意义的条件是分母不为零 无意义的条件是分母为零 值为零的条件是分子为 零且分母不为零 弄懂这几个条件是做分式题很重要的一点 2 分式基本性质 利用分式的基本性质熟练进行约分和通分 这是分式运算的基础 利用分式的基本性 质时 要注意分子 分母同乘以和除以不为零的整式 3 分式的四则运算 分式的四则运算主要出现在化简中 与通分 约分 分式的基本性质联合 要保证最 后结果为最简分式 4 可化为一元一次方程的分式方程的应用 会根据具体情景列出分式方程 并会求解 注意验根这一步不可少 典型例题典型例题 例 1 将下列各数填入相应的集合内 并用 号将下列各数连接起来 2 1 28 3 30sin4 有理数集合 无理数集合 分析 分析 实数的分类关键是要理解相关概念 实数的大小比较可借助大小比较法则进行 比较 并能估计无理数的大致范围 解 解 有理数集合 2 30sin 2 1 4 无理数集合 8 3 8 4 2 1 30sin 3 2 说明 说明 实数的分类和大小比较要看它化简的结果 但结果应保留原有形式 如 30sin 2 1 4 2 2 1 2 1 实数的大小比较还可借助于数轴直观地进行比较 例 2 已知 0 求的相反数的倒数 2 3 2 30aba ba 11 分析 分析 两个非负数的和为零 即组成算式的每一部分均为零 由此可求出 a b 的值 解 解 由题意得解得 3 6 20 30 ab a ab 它的相反数为 ba 11 2 1 6 1 3 1 2 1 它的相反数的倒数是 2 用心 爱心 专心 说明 说明 完全平方式和绝对值均为非负数 要充分理解其意义 并运用这一特征解题 本题涉及到的概念较多 有相反数 倒数 绝对值等 例 3 计算 5 1 2 1 3 2 2 1 1 3 2 222 01 12007 2 1 2 30cos3 分析 分析 式中因为 所以可提取再进行运算 9 4 5 1 1 3 2 3 2 2 22 9 4 式中将各部分分别求值 再将它们求和 解 解 5 1 2 1 3 2 2 1 1 3 2 222 43414 92929 431 1 922 4 2 9 8 9 01 12007 2 1 2 30cos3 2 5 1 2 1 2 1 2 3 3 说明 说明 正确进行实数的运算是基本要求 其中涉及到实数的运算法则 幂的运算 特 殊三角函数值的计算等 例 4 计算 3 3 cbacba 222 11111 42424 xxxxx 分析 分析 中可将看作一个整体 先用平方差公式 再用完全平方公式进行运ba3 算 中先将化为 再用乘法公式运算更加方便 先退后进 是 4 1 2 x 2 1 2 1 xx 一种思想方法 解 解 原式 22222 96 3 cbabacab 原式 4 1 2 1 2 1 4 1 2 1 2 1 22 xxxxxx 64 1 8 1 8 1 633 xxx 用心 爱心 专心 说明 说明 整式运算时要注意能灵活运用乘法公式 例 5 若代数式的值为 8 求代数式的值 732 2 xx964 2 xx 若为实数 说明代数式大于 0 x863 2 xx 分析 分析 中由条件可知的值 可将作为整体求的132 2 xx132 2 xxxx64 2 值 就可得的值 中运用配方法可确定代数式值的正负 964 2 xx 解 解 8 732 2 xx863 2 xx 132 2 xx 2 3 21 38xx 2 xx64 2 5 1 3 2 x 7 为实数 964 2 xxx 2 3 1 5x 05 说明 说明 注意整体思想在代数式求值中的运用 配方法是常见的数学方法 在验证代数式的值 根的判别式 二次函数化成顶点式 等情形中有较为广泛的运用 例 6 图 1 是一个三角形 分别连结这个三角形三边的中点得到图 2 再分别连结图 2 中 间的小三角形三边的中点 得到图 3 按此方法继续下去 请你根据每个图中三角形个数 的规律 完成下列问题 将下表填写完整 图形编号12345 三角形个数159 在第 n 个图形中有 个三角形 用含 n 的式子表示 分析 分析 根据题目中的解题信息找规律是近年较流行的一类考题 解决这类问题 首先 要从简单的情形入手 其次抓住 编号 序号 等与其他数量之间的关系 从而寻找出 规律 本题中每一次连结最中间的三角形各边的中点 就多出四个小三角形区域 解 解 图形编号12345 三角形个数1591317 4n 3 说明 说明 本题还可从函数的角度去考虑 因为三角形个数 y 随着图形编号 x 的变化而变 化 可猜想它们之间存在一次函数关系 可设 y kx b 用待定系数法求 k b 再选出其他 组数的值代入验证 若猜想不成立 可再尝试用二次函数或反比例函数关系式 当两个变 量的积为常数时 例 7 在二次根式 是同类二次根式的是 12 3 2 3 2 327中与 A B C D 分析 分析 解答本题的关键是能正确化简题中的四个二次根式 然后根据被开方数是否相 用心 爱心 专心 同来选择与是否为同类二次根式 3 解 解 3327 6 3 1 3 2 222 3212 3 与是同类二次根式的是 故答案选 C 3 说明 说明 最简二次根式 同类二次根式是本节内容的两个重要概念 正确理解这两个概 念 是进行二次根式加减运算的前提 因此在总复习时 应加强二次根式的化简的习题训 练 例 8 把下列各式因式分解 22 bbaa 33 27 1 8yx 22 2076nmnm 分析 分析 本题在进行因式分解时 不能直接提公因式或用公式法来分解 因此考虑用 分组分解法 在分组时 尝试第一 第二两项分在一组 第三 第四两项分在另一组后不能 继续分解 因此把第一 第四两项结合 第二 第三两项结合 通过提公因式后来实现因 式分解 把化为 把化为 然后直接利用立方差公式来进行因式 3 8x 3 2 x 3 27 1 y 3 3 1 y 分解 对于二次三项式的因式分解 常常考虑用十字相乘法来分解 解 解 原式 1 22 bababababababa 原式 2x 3 2x 4x2 3 3 1 yy 3 1 xy 3 2 9 1 2 y 原式 52 43 nmnm 说明 说明 华师版义务教育新课标实验教材中的因式分解要求偏低 事实上 掌握十字相乘 法分解因式 对于灵活解一元二次方程 解一元二次不等式等非常有用 另外 分组是数学 中的一种重要的解题思想方法 对于不能直接提公因式 利用公式来分解因式的多项式 可以尝试用分组分解法来进行因式分解 对于立方和 差 公式 能直接运用即可 例 9 化简 23 1 4 2 1 22 2 aa a a aa a a a 分析 分析 在进行分式的加减乘除混合运算中 要注意运算顺序 先算乘除 再算加减 有括号先算括号里面的 对于分子 分母是多项式的分式 应先把分子 分母因式分解 然后再约分化简 解 解 原式 1 2 1 1 2 2 2 1 2 a a aa a aa aa a aaa 说明 说明 分式的加减乘除混合计算是考查学生因式分解 通分 约分等运算能力的经典 题型 是学生中考过关的重要题型之一 复习中要高度重视 例 10 某市为处理污水需要铺设一条长为 4000 米的管道 为了尽量减少施工对交通所造 成的影响 实际施工时每天比原计划多铺设 10 米 结果提前 20 天完成任务 设原计划每天 铺设管道 x 米 则可得方程 A B 40004000 20 10 xx 40004000 20 10 xx C D 40004000 20 10 xx 40004000 20 10 xx 用心 爱心 专心 解析 解析 设原计划每天铺设管道 x 米 则后来每天铺设管道 x 10 米 原计划时间为 后来所用的时间为 x 4000 10 4000 x 后来所用时间 原计划时间 20 即原时间 后来时间 20 所以正确方程为选项 D 例 11 已知 求代数式的值 21 1 21 1 ba 33 abba 分析 分析 由于 均为可化简的二次根式 应先将 进行化简 而多项式的次数较abab 高 且可以因式分解 因此 容易想到转化的思想方法 把比较复杂的计算问题简单化 解 解 21 21 1 21 21 1 ba 1 2 abba 6 24 2 22233 abbaabbaababba 说明 说明 本题考查学生的数学方法是 分母有理化 因式分解 配方法 运用的数学思 想是 转化思想 整体思想 在复习时要注意运用相关数学思想和数学方法 例 12 先化简 再求值 32 1 12 1 1 2 22 a aa aa a a 其中 分析 分析 化简本题时可先利用公式来化去根号 然后通过分子 0 2 aaaa 分母因式分解约分化简 解 解 32 32 1 a 32 1 a 0311 a 原式 5141 1 1 1 1 1 1 1 1 1 a a aa a a aa a a aa 说明 说明 本题是分式和二次根式的综合计算问题 难点是要判断 a 1 的正负性 另外 值 得注意的是化简结果后求值的方法技巧 不要用通分这种繁琐的方法去求值 1 1 a a 例 13 已知的值 0344 2 baabab求2 b a a b 分析 分析 有效利用配方法 由已知条件求出 a b ab 的值 然后通过通分把未知分式转 化为 a b ab 的代数式 从而由整体代入法来求出结果 解 解 0344 2 baabab 03 2 2 baab 2 ab3 ba 2 9 2 2 222 ab ba ab abab b a a b 说明 说明 利用因式分解的公式法 把已知等式化为两个非负数的和 再求出隐含结论 的值是解决此题的突破口 利用通分和完全平方公式来把未知分式转化为已知ba ab 的式子 体会整体思想方法和转化思想方法 ba ab 模拟试题模拟试题 答题时间 90 分钟 一 选择题 本题共 10 小题 每小题 3 分 共 30 分 1 如果与 2 的差为 0 那么是 aa 用心 爱心 专心 A 2B C D 2 2 1 2 1 2 已知分式的值是零 那么的值是 1 1 x x x A 1B 0C 1D 1 3 2007 年 中国月球探测工程的 嫦娥一号 卫星将发射升空 飞向月球 已知地球距离 月球表面约为 38400 千米 那么这个距离用科学记数法 保留三个有效数字 表示应为 A 千米 B 千米 4 1084 3 5 1084 3 C 千米 D 千米 6 1084 3 4 104 38 4 下列运算中 正确的是 A B 523 xxx xxx 23 C D 523 xxx 633 xx 5 实数0 1010010001 中 无理数有 11 2 34 7 0 3 A 1 个B 2 个 C 3 个 D 4 个 6 一批货物总重 下列可将其一次性运走的合适的运输工具是 7 1 4 10 kg A 一艘万吨级巨轮 B 一架飞机 C 一辆汽车 D 一辆板车 7 下列运算正确的是 A B 632 aaa 10 1 1 0 C D 235abab 22 ababba 8 二次三项式可在整数范围内因式分解 那么整式的取值可以有 2 5xxp p A 2 个B 4 个C 6 个D 无数个 9 已知为实数 且 1 设 则 M N 的 a bab 11 ab M ab 11 11 N ab 大小关系是 A M N B M N C M N D M N 10 若化简的结果为 则取值范围是 2 1816xxx 25x x A 为任意实数 B C D x14x 1x 4x 二 填空题 本题共 10 小题 每小题 3 分 共 30 分 11 当 m 3 时 3 2 m 12 计算 2 3 xx 13 方程的解是 0 1 1 2 xx 14 用 定义新运算 对于任意实数 都有 abab1 2 b 例如 7 4 4 17 那么 5 3 当 m 为实数时 m m 2 1 2 15 写出一个有理数和一个无理数 使它们都是大于 2 的负数 16 把分解因式的结果是 baaba 223 2 用心 爱心 专心 17 下列图案由边长相等的黑 白两色正方形按一定规律拼接而成 依此规律 第 5 个 图案中白色正方形的个数为 18 化简 7 77 19 依法纳税是公民应尽的义务 个人所得税法 规定 每月总收入减去 1600 元后的 余额为应纳税所得额 应纳税所得额不超过 500 元的按 5 纳税 超过 500 元但不超过 2000 元的部分按 10 纳税 若职工小王某月税前总收入为 2000 元 则该月他应纳税 元 20 已知 且 则的值等于 4x 1 2 y 0 xy x y 三 解答题 第 1 题每小题 5 分 第 2 题 6 分 第 3 题 4 题每题 7 分 第 5 题 10 分 共 40 分 1 1 计算 3 51 60tan2 1 2 化简 求值 其中 11 baa b bba 2 15 a 2 15 b 2 如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差 那么称这个正整数为 神秘数 如 因此 4 12 20 这三个数都是神秘数 22 024 22 2412 22 4620 1 28 和 2012 这两个数是神秘数吗 2 设两个连续偶数为和 其中取非负整数 由这两个连续偶数构造22 kk2k 的神秘数是 4 的倍数吗 为什么 3 两个连续奇数的平方差 取正数 是神秘数吗 为什么 3 老师在黑板上写出三个算式 王华接着又写了两个具有同样规2835 22 4879 22 278315 22 律的算式 128511 22 228715 22 1 请你再写出两个 不同于上面算式 具有上述规律的算式 2 用文字写出反映上述算式的规律 3 证明这个规律的正确性 4 已知 A B 2 C 其中 1 22 2 aa42 2 aaa 1 求证 A B 0 2 试比较 A B C 三者之间的大小关系 并说明理由 5 我国著名数学家华罗庚说过 数缺形时少直观 形少数时难入微 数形结合百般好 隔离分家万事休 数学中 数和形是两个最主要的研究对象 它们之间有着十分密切的 联系 在一定条件下 数和形之间可以相互转化 相互渗透 数形结合的基本思想 就是在研究问题的过程中 注意把数形结合起来考察 斟酌问 题的具体情形 把图形性质的问题转化为数量关系的问题 或者把数量关系的问题转化为 图形性质的问题 使复杂问题简单化 抽象问题具体化 化难为易 获得简便易行的成功 方案 例如 求 1 2 3 4 n 的值 其中 n 是正整数 用心 爱心 专心 对于这个求和问题 如果采用纯代数的方法 首尾两头加 问题虽然可以解决 但在 求和过程中 需对 n 的奇偶性进行讨论 如果采用数形结合的方法 即用图形的性质来说明数量关系的事实 那就非常的直观 现利用图形的性质来求 1 2 3 4 n 的值 方案如下 如图 斜线左边的三角形图案是 由上到下每层依次分别为 1 2 3 n 个小圆圈排列组成的 而组成整个三角形小圆圈 的个数恰为所求式子 1 2 3 4 n 的值 为求式子的值 现把左边三角形倒放于斜线右边 与原三角形组成一个平行四边形 此时 组成平行四边形的小圆圈共有 n 行 每行有 n 1 个小圆圈 所以组成平行四边形小圆圈的总个数为 n n 1 个 因此 组成一个 三角形小圆圈的个数为 即 1 2 3 n 2 1 nn 2 1 nn 1 依照上述数形结合的思想方法 设计相关图形 求 1 3 5 7 2n 1 的值 其中 n 是正整数 要求 画出图形 并利用图形做必要的推理说明 2 试设计另外一种图形 求 1 3 5 7 2n 1 的值 其中 n 是正整数 要 求 画出图形 并利用图形做必要的推理说明 用心 爱心 专心 试题答案试题答案 一 选择题 1 D2 C3 A 4 C5 C6 A7 B8 D9 B10 B 二 填空题 11 12 13 114 10 26m 3 2 6xx 15 1 答案不唯一16 17 282 2 baa 18 19 2020 817 三 解答题 1 1 解 原式