MATLAB多项式运算

幻灯片 1 MATLAB R2007 基础教程 清华大学出版社 第第 5 章章 MATLAB 的多项式运算的多项式运算 幻灯片 2 多项式在数学中有着极为重要的作用 同时多项式的运算也是工程和应用中经常遇到多项式在数学中有着极为重要的作用 同时多项式的运算也是工程和应用中经常遇到 的问题 的问题 MATLABMATLAB 提供了一些专门用于处理多项式的函数 用户可以应用这些函数对多提供了一些专门用于处理多项式的函数 用户可以应用这些函数对多 项式进行操作 项式进行操作 MATLABMATLAB 中对多项式的操作包括多项式求根 多项式的四则运算及多项中对多项式的操作包括多项式求根 多项式的四则运算及多项 式的微积分 式的微积分 幻灯片 3 多项式的表示 在在 MATLABMATLAB 中多项式用一个行向量表示 向量中的元素为该多项式的系数 按照降序中多项式用一个行向量表示 向量中的元素为该多项式的系数 按照降序 排列 排列 nn nnn aXaXaXaXaXP 1 2 2 1 10 系数向量 系数向量 P a0 a1 a2 an 1 an 幻灯片 4 多项式的建立多项式的建立 1 1 直接输入法直接输入法 按照高次幂到低次幂的顺序 直接输入多项式的系数向量 如果多项式中某次幂缺项 按照高次幂到低次幂的顺序 直接输入多项式的系数向量 如果多项式中某次幂缺项 则该次项的系数为零 则该次项的系数为零 321 9743xxx 举例 举例 可以表示为向量 A 9 7 4 3 421 6891xxx 可以表示为向量 B 6 0 8 9 1 幻灯片 5 可以使用可以使用 poly2str poly2sym poly2str poly2sym 函数 将多项式系数向量转化成多项式字符串 观函数 将多项式系数向量转化成多项式字符串 观 察运算结果 察运算结果 举例 举例 1 1 A A 6 6 0 0 8 8 9 9 1 1 poly2str A x poly2str A x poly2sym A poly2sym A 2 2 A A 6 6 0 0 8 8 9 9 poly2str A x poly2str A x 3 3 A A 6 6 0 0 8 8 9 9 0 0 poly2str A t poly2str A t 幻灯片 6 2 2 使用使用 poly poly 函数创建函数创建 1 1 如果 如果 A A 为矩阵 则为矩阵 则 poly A poly A 将创建矩阵将创建矩阵 A A 的特征多项式 的特征多项式 举例 举例 A A 4 4 6 6 3 3 5 5 4 4 9 9 8 8 3 3 2 2 poly A poly A 2 2 如果 如果 A A 为行向量为行向量 b0 b0 b1b1 bn 1bn 1 bn bn 则创建 则创建 多项式多项式 x b0 x b1 x bn 1 x bn x b0 x b1 x bn 1 x bn 系数向量 系数向量 举例 举例 a 1a 1 1 1 2 2 poly a poly a 此种方式 实际上就是求 以 b0 b1 bn 1 bn 为根的多项式 幻灯片 7 多项式的四则运算多项式的四则运算 由于多项式是利用向量来表示 多项式的四则运算可以转化为向量的运算 由于多项式是利用向量来表示 多项式的四则运算可以转化为向量的运算 多项式的加减为对应项系数的加减 因此可以通过向量的加减来实现 但是在向量的多项式的加减为对应项系数的加减 因此可以通过向量的加减来实现 但是在向量的 加减中两个向量需要有相同的长度 因此在进行多项式加减时 需要将短的向量前面加减中两个向量需要有相同的长度 因此在进行多项式加减时 需要将短的向量前面 补补 0 0 幻灯片 8 多项式的四则运算多项式的四则运算 多项式的乘法实际上是多项式系数向量之间的卷积运算 可以通过多项式的乘法实际上是多项式系数向量之间的卷积运算 可以通过 MATLABMATLAB 中的卷积函中的卷积函 数数 convconv 来完成 来完成 举例 举例 a 1 1 a 1 1 b 1 1 b 1 1 c conv a b c conv a b poly2sym c poly2sym c 幻灯片 9 多项式的除法为乘法的逆运算 可以通过反卷积函数多项式的除法为乘法的逆运算 可以通过反卷积函数 deconvdeconv 来实现 来实现 举例 举例 c c 1 2 11 2 1 a a 1 11 1 b deconv c a b deconv c a 幻灯片 10 多项式的运算函数 rootsroots 函数函数 rootsroots 函数用于求解多项式的根 该函数的输入参数为多项式的系数组成的行向函数用于求解多项式的根 该函数的输入参数为多项式的系数组成的行向 量 返回值为由多项式的根组成的列向量 量 返回值为由多项式的根组成的列向量 rootsroots 函数和函数和 polypoly 函数为功能互逆的两个函数 函数为功能互逆的两个函数 举例 举例 a 1a 1 3 3 5 5 p poly a p poly a V roots p V roots p 幻灯片 11 polyvalpolyval 函数函数 polyvalpolyval 函数用于多项式求值 对于给定的多项式 利用该函数可以计算该多项函数用于多项式求值 对于给定的多项式 利用该函数可以计算该多项 式在任意点的值 式在任意点的值 举例 举例 a 2a 2 3 3 5 5 p1 polyval a 1 p1 polyval a 1 p2 polyval a 3 72 p2 polyval a 3 72 幻灯片 12 polyderpolyder 函数函数 函数函数 polyderpolyder 用于多项式求导 该函数可以用于求解一个多项式的导数 两个多用于多项式求导 该函数可以用于求解一个多项式的导数 两个多 项式乘积的导数和两个多项式商的导数 该函数的用法为 项式乘积的导数和两个多项式商的导数 该函数的用法为 q q polyder p polyder p 该命令计算多项式该命令计算多项式 p p 的导数 的导数 c c polyder a b polyder a b 该命令实现多项式该命令实现多项式 a a b b 的积的导数 的积的导数 q d q d polyder a b polyder a b 该命令实现多项式该命令实现多项式 a a b b 的商的导数 的商的导数 q dq d 为最后的结果 为最后的结果 举例 举例 a a 1 1 2 2 1 1 2 2 b b 1 1 2 2 y y polyder a b polyder a b q d q d polyder a b polyder a b 幻灯片 13 多项式拟合多项式拟合 曲线拟合是工程中经常要用到的技术之一 曲线拟合是工程中经常要用到的技术之一 MATLABMATLAB 提供了曲线拟合工具箱满足用户要提供了曲线拟合工具箱满足用户要 求 另外 还提供了多项式拟合函数 求 另外 还提供了多项式拟合函数 函数函数 polyfitpolyfit 给出在最小二乘意义下最佳拟合系数 给出在最小二乘意义下最佳拟合系数 该函数的调用格式为 该函数的调用格式为 p p polyfit x y n polyfit x y n 其中其中 x x y y 分别为待拟合数据的分别为待拟合数据的 x x 坐标和坐标和 y y 坐标 坐标 n n 用于指定返回多项式的次数 用于指定返回多项式的次数 幻灯片 14 举例 举例 对给定的对给定的 5 5 个点拟合三次曲线 个点拟合三次曲线 x x 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 y y 3 23 2 46 746 7 138 3138 3 278 6278 6 467 2467 2 p polyfit x y 3 p polyfit x y 3 poly2str p x poly2str p x 可以使用可以使用 fplot fplot 绘图观察绘图观察 fun fun 0 016667 0 016667 x 3x 3 24 0571 24 0571 x 2x 2 28 8595 28 8595 x x 8 8 fplot fun 0fplot fun 0 5 5 0 0 500 500 幻灯片 15 举例 举例 用用 5 5 阶多项式对阶多项式对 0 2 0 2 上的正弦函数进行最小二乘法拟合上的正弦函数进行最小二乘法拟合 x 0 x 0 pi 20pi 20 pi 2pi 2 y sin x y sin x a polyfit x y 5 a polyfit x y 5 x1 0 x1 0 pi 30pi 30 2 pi2 pi y1 sin x1 y1 sin x1 y2 a 1 x1 5 a 2 x1 4 a 3 x1 3 a 4 x1 2 a 5 x1 a 6 y2 a 1 x1 5 a 2 x1 4 a 3 x1 3 a 4 x1 2 a 5 x1 a 6 plot x1 y1 b x1 y2 r plot x1 y1 b x1 y2 r legend legend 原曲线原曲线 拟合曲线拟合曲线 axis axis 0 0 7 7 1 5 1 5 4 4 幻灯片 16 多项式插值多项式插值 在已知数据点之间 利用某种新算法估算出新的数据点称为插值 在已知数据点之间 利用某种新算法估算出新的数据点称为插值 插值命令有很多 如 插值命令有很多 如 interp1interp1 interp2interp2 interp3interp3 等 等