专题一、独立性检验题型归纳

专题一 独立性检验专题一 独立性检验 题型一 独立事件的判断题型一 独立事件的判断 1 独立事件的定义 独立事件的定义 对于两个事件 A B 如果有 P AB P A P B P AB P A P B 就称事件 A 与 B 互相独 立 简称 A 与 B 独立 2 当事件 A 与 B 独立时 事件 与与B B A A与与 与与 也独立 A AB BA AB B 例例 1 1 从一副 52 张扑克牌 不含大小王 中 任意抽一张出来 设事件 A 抽到黑桃 B 抽到皇后 Q 试用 P AB P A P B 验证事件 A 与 B 及 与 是否独立 AB 变式变式 1 1 设两个独立事件 A 和 B 都不发生的概率为 A 发生 B 不发生的概率与 B 发生 A 1 9 不发生的概率相同 则事件 A 发生的概率 P A 是 A B C D 2 9 1 18 1 3 2 3 变式变式 2 2 掷一枚硬币 记事件 A 出现正面 B 出现反面 则有 A A 与 B 相互独立 B P AB P A P B C A 与 不相互独立D P AB B 1 4 变式变式 3 3 坛子中放有 3 个白球 2 个黑球 从中进行不放回地摸球 用 A 表示第一次摸 到 白球 B 表示第二次摸到白球 则 A 与 B 是 A 互斥事件B 相互独立事件 C 对立事件D 不相互独立事件 变式变式 4 4 假设生男孩和生女孩是等可能的 设事件 A 为 一个家庭中既有男孩 又有女 孩 事件 B 为 一个家庭中最多有一个女孩 某一家庭有三个小孩 则事 件 A 与 B 是否独立 变式变式 5 5 1 甲 乙两名射手同时向一目标射击 设事件 A 甲击中目标 事件 B 乙击中目标 则事件 A 与事件 B A 相互独立但不互斥B 互斥但不相互独立 C 相互独立且互斥 D 既不相互独立也不互斥 2 掷一颗骰子一次 设事件 A 出现偶数点 事件 B 出现 3 点或 6 点 则事 件 A B 的关系是 A 互斥但不相互独立 B 相互独立但不互斥 C 互斥且相互独立 D 既不相互独立也不互斥 题型二 独立性检验题型二 独立性检验 1 1 2 22 2 列联表列联表 判断两个事件A B是否有关 我们可以把A发生 A不发生 B发生 B不发生 的 AB 数据列成以下表格 B B 合计 A11 n 12 n 1 n A 21 n 22 n 2 n 合计 1 n 2 n n 这个表格称为 2 2 列联表 注意注意 1 1 作独立性检验时 要求作独立性检验时 要求 2 22 2 列联表中的列联表中的 4 4 个数据都要大于等于个数据都要大于等于 5 5 2 2 对于同一样本对于同一样本 越大 说明越大 说明 A A 与与 B B 之间的关系越强 反之越弱 之间的关系越强 反之越弱 11 n 22 n 12 n 21 n 2 2 统计量统计量 K K2 2 读作读作 卡方卡方 用它的大小可以判断事件A B是否有关 2121 2 21122211 2 nnnn nnnnn K 3 3 独立性检验思想 独立性检验思想 1 用 H0表示事件 A 与 B 独立的决定式 即 H0 P AB P A P B 称 H0为统计假设 统计假设 2 用 K K2 2与其临界值 3 8413 841 与 6 6356 635 的大小关系来决定是否拒绝统计假设 H0 如表 大小比较结论 K2 3 841 事件 A 与 B 是无关的 K2 3 841 有 95 的把握说事件 A 与 B 有关 K2 6 635 有 99 的把握说事件 A 与 B 有关 例例 2 某人研究中学生的性别与成绩 视力 智商 阅读量这 4 个变量的关系 随机抽 查 52 名中学生 得到统计数据如表 1 至表 4 则与性别有关联的可能性最大的变量是 A 成绩 B 视力 C 智商 D 阅读量 变式变式 1 1 假设两个分类变量X与Y 它们的取值分别为 x1 x2 y1 y2 其 2 2 列联表如 图 所示 对于以下数据 对同一样本能说明X与Y有关的可能性最大的一组为 Y1Y2 总计 X1aba b X2cdc d 总计 a cb da b c d A a 5 b 4 c 3 d 2 B a 5 b 3 c 2 d 4 C a 5 b 2 c 4 d 3 D a 2 b 3 c 5 d 4 变式变式 2 2 某防疫站对屠宰场及肉食零售点的猪肉检查沙门氏菌带菌情况 结果如下表 试 检验屠宰场与零售点猪肉带菌率有无差异 带菌头数不带菌头数合计 屠宰场 83240 零售点 141832 合计 225072 变式变式 3 3 为观察药物A B治疗某病的疗效 某医生将 100 例该病病人随机地分成两组 一组 40 人 服用A药 另一组 60 人 服用B药 结果发现 服用A药的 40 人 中 有 30 人治愈 服用B药的 60 人中有 11 人治愈 问A B两药对该病的治愈率之 间 是否有显著差别 变式变式 4 有甲 乙两个班级进行数学考试 按照大于等于 85 分为优秀 85 分以下为非优 秀统计成绩 得到如下所示的列联表 优秀非优秀总计 甲班10b 乙班c30 总计105 已知在全部 105 人中随机抽取 1 人 成绩优秀的概率为 则下列说法正确的是 A 列联表中 c 的值为 30 b 的值为 35 B 列联表中 c 的值为 15 b 的值为 50 C 根据列联表中的数据 若按 95 的可靠性要求 能认为 成绩与班级有关系 D 根据列联表中的数据 若按 95 的可靠性要求 不能认为 成绩与班级有关系 变式变式 5 在一次对性别与是否说谎的调查中 得到如下数据 根据表中数据得到如下结 论 中正确的是 说谎不说谎合计 男6713 女8917 合计141630 A 在此次调查中有 95 的把握认为是否说谎与性别有关 B 在此次调查中有 99 的把握认为是否说谎与性别有关 C 在此次调查中有 99 5 的把握认为是否说谎与性别有关 D 在此次调查中没有充分证据显示说谎与性别有关 变式变式 6 为了调查中学生近视情况 某校 150 名男生中有 80 名近视 140 名女生中有 70 名近视 在检验这些中学生眼睛近视是否与性别有关时用什么方法最有说服力 A 平均数 B 方差C 回归分析 D 独立性检验 变式变式 7 7 某校团对 学生性别与是否喜欢韩剧有关 作了一次调查 其中女生人数是男生 人数的 男生喜欢韩剧的人数占男生人数的 女生喜欢韩剧的人数占女生人 2 1 6 1 数的 若在犯错误的概率不超过 0 05 的前提下认为是否喜欢韩剧和性别有关 3 2 则男生至少有多少人 题型三 独立性检验思想的综合应用题型三 独立性检验思想的综合应用 例例 3 3 某大学餐饮中心为了解新生的饮食习惯 在全校一年级学生中进行了抽样调查 调 查结果如下表所示 喜欢甜品不喜欢甜品合计 南方学生 602080 北方学生 101020 合计 7030100 根据表中数据 问是否有 95 的把握认为 南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习 惯 方面有差异 已知在被调查的北方学生中有 5 名数学系的学生 其中 2 名喜欢甜品 现在从这 5 名 学 生中随机抽取 3 人 求至多有 1 人喜欢甜品的概率 附 2121 2 21122211 2 nnnn nnnnn K P x2 k 0 1000 0500 010 k2 7063 8416 635 分析 根据表中数据 利用公式 即可得出结论 利用古典概型概率公式 即可求解 变式变式 1 某高校共有学生 15 000 人 其中男生 10 500 人 女生 4500 人 为调查该校学 生每周平均体育运动时间的情况 采用分层抽样的方法 收集 300 位学生每周平均体育运 动时间的样本数据 单位 小时 1 应收集多少位女生的样本数据 2 根据这 300 个样本数据 得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图 其中样本 数据的分组区间为 0 2 2 4 4 6 6 8 8 10 10 12 估计该校 学 生每周平均体育运动时间超过 4 小时的概率 3 在样本数据中 有 60 位女生的每周平均体育运动时间超过 4 小时 请完成每周平均体 育运动时间与性别列联表 并判断是否有 95 的把握认为 该校学生的每周平均体育运动 时间与性别有关 P K2 k0 0 100 050 0100 005 K02 7063 8416 6357 879 变式变式 2 微信是现代生活进行信息交流的重要工具 距据统计 某公司 200 名员工中 90 的 人使用微信 其中每天使用微信时间在一小时以内的有 60 人 其余每天使用微信在一小时以 上 若将员工年龄分成青年 年龄小于 40 岁 和中年 年龄不小于 40 岁 两个阶段 使用微信 的人中 75 是青年人 若规定 每天使用微信时间在一小时以上为经常使用微信 经常使用 微信的员工中 23 是青年人 若要调查该公司使用微信的员工经常使用微信与年龄的关系 列出 2 2 列联表 2 2 列联表 青年人中年人合计 经常使用微信 不经常使用微信 合计 由列联表中所得数据 是否有 99 9 的把握认为 经常使用微信与年龄有关 采用分层抽样的方法从 经常使用微信 中抽取 6 人 从这 6 人中任选 2 人 求事件 A 选出的 2 人均是青年人 的概率 附 2 2 dbdccaba bcadn k P K2 k 0 010 0 001 k 6 635 10 828 变式变式 3 3 某企业有甲 乙两个分厂生产某种零件 按规定内径尺寸 单位 mm 的值落在 29 94 30 06 的零件为优质品 从甲 乙两个分厂生产的零件中各抽出 500 件 量其内径 尺寸的结果如下表 甲厂的零件内径尺寸 分 组 29 86 29 90 29 90 29 94 29 94 29 98 29 98 30 02 30 02 30 06 30 06 30 10 30 10 30 14 频 数 1530125198773520 乙厂的零件内径尺寸 分 组 29 86 29 90 29 90 29 94 29 94 29 98 29 98 30 02 30 02 30 06 30 06 30 10 30 10 30 14 频 数 407079162595535 由以上统计数据填下面 2 2 列联表 并问是否有 99 9 的把握认为 生产的零件是否 为优质品与在不同分厂生产有关 甲厂乙厂合计 优质品 非优质品 合计 附 2 2 dbdccaba bcadn k P K2 k0 0 100 0 050 0 010 0 025 0 001 k 2 706 3 841 5 024 6 635 10 828 现用分层抽样方法 按优质品和非优质品分两层 从乙厂中抽取 5 件零件 求从这 5 件 零件中任意取出 2 件 至少有 1 件非优质品的概率 达标训练达标训练 1 事件A B相互独立 下列四个式子 P AB P A P B P B P P B AA P A P A P P P P 其中正确的有 个 BBA BAB A 1 B 2 C 3 D 4 2 某甲上大学前把手机号码抄给同学乙 后来同学乙给他打电话时 发现号码的最后一个 数字被撕掉了 于是乙在拨号时随意地添上最后一个数字 且用过了的数字不再重复 则拨号不超过 2 次而拨对甲的手机号码的概率是 A B C D 3 10 1 5 1 10 1 3 3 在 2 2 列联表中 四个变量的取值n11 n12 n21 n22应是 A 任意实数 B 正整数 C 不小于 5 的整数 D 非负整数 4 在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中 下列说法正确的是 A 若 2 6 635 我们有 99 的把握认为吸烟与患肺病有关系 那么在 100 个吸烟的人 中 必有 99 人患有肺病 B 从独立性检验可知 有 99 的把握认为吸烟与患肺病有关系时 我们说某人吸烟 那么他有 99 的可能患有肺病 C 若从 2统计量中得出有 95 的把握认为吸烟与患肺病有关系 是指有 5 的可能性 使 得推断出现错误 D 以上三种说法都不正确 5 对于分类变量 A 与 B 的统计量 2 下列说法正确的是 A 2越大 说明 A 与 B 有关系 的可信度越小 B 2越大 说明 A 与 B 无关 的程度越大 C 2越小 说明 A 与 B 有关系 的可信度越小 D 2接近于 0 说明 A 与 B 无关 的程度越小 6 在使用独立性检验时 下列说法正确的个数为 对事件 A 与 B 的检验无关时 两个事件互不影响 事件 A 与 B 关系越密切 则 2就越大 2的大小是判定事件 A 与 B 是否相关的唯一根据 若判定两事件 A 与 B 有关 则 A 发生 B 一定发生 7 为研究某新药的疗效 给 50 名患者服用此药 跟踪调查后得下表中的数据 无效有效合计 男性患者153550 女性患者64450 合计2179100 计算 2 从而得出结论 服用此药的效果与患者的性别有关 这种判断出错的 可能性为 8 在研究吸烟与患肺癌的关系中 通过收集数据 整理分析数据得 吸烟与患肺癌有关 的结论 并有 99 以上的把握认为这个结论是成立的 下列说法中正确的是 A 100 个吸烟者中至少有