四川省德阳市2012高考数学难点9 指数函数、对数函数问题

用心 爱心 专心 1 本难点本难点 9 9 指数函数 对数函数问题指数函数 对数函数问题 指数函数 对数函数是高考考查的重点内容之一 本节主要帮助考生掌握两种函数的指数函数 对数函数是高考考查的重点内容之一 本节主要帮助考生掌握两种函数的 概念 图象和性质并会用它们去解决某些简单的实际问题概念 图象和性质并会用它们去解决某些简单的实际问题 难点磁场难点磁场 设设f f x x log log2 2 F F x x f f x x x x 1 1 x 2 1 1 1 试判断函数试判断函数f f x x 的单调性 并用函数单调性定义 给出证明 的单调性 并用函数单调性定义 给出证明 2 2 若若f f x x 的反函数为的反函数为f f 1 1 x x 证明 对任意的自然数证明 对任意的自然数n n n n 3 3 都有都有f f 1 1 n n 1 n n 3 3 若若F F x x 的反函数的反函数F F 1 1 x x 证明 方程证明 方程F F 1 1 x x 0 0 有惟一解有惟一解 案例探究案例探究 例 例 1 1 已知过原点 已知过原点O O的一条直线与函数的一条直线与函数y y log log8 8x x的图象交于的图象交于A A B B两点 分别过点两点 分别过点 A A B B作作y y轴的平行线与函数轴的平行线与函数y y log log2 2x x的图象交于的图象交于C C D D两点两点 1 1 证明 点证明 点C C D D和原点和原点O O在同一条直线上 在同一条直线上 2 2 当当BCBC平行于平行于x x轴时 求点轴时 求点A A的坐标的坐标 命题意图 本题主要考查对数函数图象 对数换底公式 对数方程 指数方程等基础命题意图 本题主要考查对数函数图象 对数换底公式 对数方程 指数方程等基础 知识 考查学生的分析能力和运算能力知识 考查学生的分析能力和运算能力 属属 级题目级题目 知识依托 知识依托 1 1 证明三点共线的方法 证明三点共线的方法 k kOC OC k kODOD 2 2 第第 2 2 问的解答中蕴涵着方程思想 只要得到方程问的解答中蕴涵着方程思想 只要得到方程 1 1 即可求得 即可求得A A点坐标点坐标 错解分析 不易错解分析 不易考虑运用方程思想去解决实际问题考虑运用方程思想去解决实际问题 技巧与方法 本题第一问运用斜率相等去证明三点共线 第二问运用方程思想去求得技巧与方法 本题第一问运用斜率相等去证明三点共线 第二问运用方程思想去求得 点点A A的坐标的坐标 1 1 证明 设点证明 设点A A B B的横坐标分别为的横坐标分别为x x1 1 x x2 2 由题意知 由题意知 x x1 1 1 1 x x2 2 1 1 则则A A B B纵坐标分纵坐标分 别为别为 loglog8 8x x1 1 log log8 8x x2 2 因为因为A A B B在过点在过点O O的直线上 所以的直线上 所以 点点C C D D坐标分坐标分 2 28 1 18 loglog x x x x 别为别为 x x1 1 log log2 2x x1 1 x x2 2 log log2 2x x2 2 由于由于 loglog2 2x x1 1 3log3log8 8x x2 2 所所 2log log 8 18x 2log log log log3 8 28 2218 x xx 以以OCOC的斜率 的斜率 k k1 1 1 18 2 12 log3log x x x x ODOD的斜率 的斜率 k k2 2 由此可知 由此可知 k k1 1 k k2 2 即即O O C C D D在同一条直线上在同一条直线上 2 28 2 22 log3log x x x x 2 2 解 由解 由BCBC平行于平行于x x轴知 轴知 loglog2 2x x1 1 log log8 8x x2 2 即 即 loglog2 2x x1 1 loglog2 2x x2 2 代入代入 3 1 x x2 2loglog8 8x x1 1 x x1 1loglog8 8x x2 2得 得 x x1 13 3loglog8 8x x1 1 3 3x x1 1loglog8 8x x1 1 由于由于x x1 1 1 1 知知 loglog8 8x x1 1 0 0 x x1 13 3 3 3x x1 1 又又x x1 1 1 1 x x1 1 则点则点A A的坐标为的坐标为 loglog8 8 333 例 例 2 2 在 在xOyxOy平面上有一点列平面上有一点列P P1 1 a a1 1 b b1 1 P P2 2 a a2 2 b b2 2 P Pn n a an n b bn n 对每个自然数对每个自然数n n 点点P Pn n位于函数位于函数y y 2000 2000 x x 0 0 a a 1 1 的图象上 且点的图象上 且点P Pn n 点点 n n 0 0 与点与点 n n 1 0 1 0 构成一个以构成一个以 10 a 用心 爱心 专心 2 P Pn n为顶点的等腰三角形为顶点的等腰三角形 1 1 求点求点P Pn n的纵坐标的纵坐标b bn n的表达式 的表达式 2 2 若对于每个自然数若对于每个自然数n n 以以b bn n b bn n 1 1 b bn n 2 2为边长能构成一个三角形 求 为边长能构成一个三角形 求a a的取值范围 的取值范围 3 3 设设C Cn n lg lg b bn n n n N N 若若a a取取 2 2 中确定的范围内的最小整数 问数列中确定的范围内的最小整数 问数列 C Cn n 前多少项前多少项 的和最大 试说明理由的和最大 试说明理由 命题意图 本题把平面点列 指数函数 对数 最值等知识点揉合在一起 构成一个命题意图 本题把平面点列 指数函数 对数 最值等知识点揉合在一起 构成一个 思维难度较大的综合题目 思维难度较大的综合题目 本题主要考查考生对综合知识分析和运用的能力本题主要考查考生对综合知识分析和运用的能力 属属 级级 题目题目 知识依托 指数函数 对数函数及数列 最值等知识知识依托 指数函数 对数函数及数列 最值等知识 错解分析 考生对综合知识不易驾驭 思维难度较大 找不到解题的突破口错解分析 考生对综合知识不易驾驭 思维难度较大 找不到解题的突破口 技巧与方法 本题属于知识综合题 关键在于读题过程中对条件的思考与认识 并会技巧与方法 本题属于知识综合题 关键在于读题过程中对条件的思考与认识 并会 运用相关的知识点去解决问题运用相关的知识点去解决问题 解 解 1 1 由题意知 由题意知 a an n n n b bn n 2000 2000 2 1 10 a 2 1 n 2 2 函数函数y y 2000 2000 x x 0 0 a a 10 b bn n 1 1 b bn n 2 2 则以 则以 10 a b bn n b bn n 1 1 b bn n 2 2为边长能构成一个三角形的充要条件是 为边长能构成一个三角形的充要条件是b bn n 2 2 b bn n 1 1 b bn n 即 即 2 2 1 0 1 0 解得解得 10 a 10 a a a 5 5 1 5 1 5 1 1 a a 10 10 255 3 5 3 5 1 1 a a 10 10 a a 7 75 b bn n 2000 2000 数列数列 b bn n 是一个递减的正数数列 对每个自然数是一个递减的正数数列 对每个自然数n n 2 2 B Bn n b bn nB Bn n 1 1 10 7 2 1 n 于是当于是当b bn n 1 1 时 时 B Bn n B Bn n 1 1 当 当b bn n 1 1 时 时 B Bn n B Bn n 1 1 因此数列 因此数列 B Bn n 的最大项的项数的最大项的项数n n满足不等满足不等 式式b bn n 1 1 且且b bn n 1 1 1 1 1 时 函数时 函数y y log loga ax x和和y y 1 1 a a x x的图象只可能是的图象只可能是 二 填空题二 填空题 3 3 已知函数已知函数f f x x 则则f f 1 1 x x 1 1 02 log 0 2 2 xx x x 4 4 如图 开始时 桶如图 开始时 桶 1 1 中有中有a a L L 水 水 t t 分钟后剩余的水符合指数衰减曲线分钟后剩余的水符合指数衰减曲线y y aeae ntnt 那么桶 那么桶 2 2 中水就是中水就是y y2 2 a a aeae ntnt 假设过 假设过 5 5 分钟时 分钟时 桶桶 1 1 和桶和桶 2 2 的水相等 则再过的水相等 则再过 分钟桶分钟桶 1 1 中的水中的水 只有只有 8 a 三 解答题三 解答题 5 5 设函数设函数f f x x log loga a x x 3 3a a a a 0 0 且且a a 1 1 当点当点P P x x y y 是函数是函数y y f f x x 图象上的点时 点图象上的点时 点Q Q x x 2 2a a y y 是函数是函数y y g g x x 图象上的点图象上的点 1 1 写出函数写出函数y y g g x x 的解析式 的解析式 2 2 若当若当x x a a 2 2 a a 3 3 时 恒有 时 恒有 f f x x g g x x 1 1 试确定试确定a a的取值范围的取值范围 6 6 已知函数已知函数f f x x log loga ax x a a 0 0 且且a a 1 1 x x 0 0 若若x x1 1 x x2 2 0 0 判判 断断 f f x x1 1 f f x x2 2 与 与f f 的大小 并加以证明的大小 并加以证明 2 1 2 21 xx 7 7 已知函数已知函数x x y y满足满足x x 1 1 y y 1 log 1 loga a2 2x x log loga a2 2y y log loga a axax2 2 log loga a ayay2 2 a a 0 0 且且a a 1 1 求求 logloga a xyxy 的取值范围的取值范围 8 8 设不等式设不等式 2 log2 logx x 2 2 9 log 9 logx x 9 0 9 0 的解集为的解集为M M 求当 求当x x M M时函数时函数f f x x 2 1 2 1 log log2 2 log log2 2 的最大 最小值的最大 最小值 2 x 8 x 参考答案参考答案 难点磁场难点磁场 解 解 1 1 由由 0 0 且且 2 2 x x 0 0 得得F F x x 的定义的定义域为域为 1 1 1 1 设 设 1 1 x x1 1 x x2 2 1 1 则则 x x 1 1 F F x x2 2 F F x x1 1 12 2 1 2 1 xx 1 1 2 2 2 2 1 1 log 1 1 log x x x x 用心 爱心 专心 4 1 1 1 1 log 2 2 21 21 2 21 12 xx xx xx xx x x2 2 x x1 1 0 2 0 2 x x1 1 0 2 0 2 x x2 2 0 0 上式第上式第 2 2 项中对数的真数大于项中对数的真数大于 1 1 因此因此F F x x2 2 F F x x1 1 0 0 F F x x2 2 F F x x1 1 F F x x 在在 1 1 1 1 上是增函数 上是增函数 2 2 证明 由证明 由y y f f x x 得 得 2 2y y x x 1 1 log2 12 12 1 1 y y x x x f f 1 1 x x f f x x 的值域为的值域为 R R f f 1 1 x x 的定义域为 的定义域为 R R 12 12 x x 当当n n 3 3 时 时 f f 1 1 n n 122 1 1 1 12 2 1 112 12 1 n nn n n n n nn n 用数学归纳法易证用数学归纳法易证 2 2n n 2 2n n 1 1 n n 3 3 证略证略 3 3 证明 证明 F F 0 0 F F 1 1 0 0 x x 是是F F 1 1 x x 0 0 的一个根的一个根 假设假设F F 1 1 x x 0 0 还有还有 2 1 2 1 2 1 一个解一个解x x0 0 x x0 0 则则F F 1 1 x x0 0 0 0 于是于是F F 0 0 x x0 0 x x0 0 这是不可能的 故这是不可能的 故F F 1 1 x x 0 0 有惟一有惟一 2 1 2 1 解解 歼灭难点训练歼灭难点训练 一 一 1 1 解析 由题意 解析 由题意 g g x x h h x x lg 10 lg 10 x x 1 1 又又g g x x h h x x lg 10 lg 10 x x 1 1 即 即 g g x x h h x x lg 10 lg 10 x x 1 1 由由 得 得 g g x x h h x x lg 10 lg 10 x x 1 1 2 x 2 x 答案 答案 C C 2 2 解析 当解析 当a a 1 1 时 函数时 函数y y log loga ax x的图象只能在的图象只能在 A A 和和 C C 中选 又中选 又a a 1 1 时 时 y y 1 1 a a x x 为减函数为减函数 答案 答案 B B 二 二 3 3 解析 容易求得解析 容易求得f f 1 1 x x 从而 从而 1 2 1 log2 x xx x f f 1 1 x x 1 1 2 2 2 1 log 1 2 x xx x 答案 答案 2 2 2 1 log 1 2 x xx x 4 4 解析 由题意 解析 由题意 5 5 分钟后 分钟后 y y1 1 aeae ntnt y y2 2 a a aeae ntnt y y1 1 y y2 2 n n l ln n2 2 设再过设再过t t分钟桶分钟桶 5 1 1 1 中的水只有中的水只有 则则y y1 1 aeae n n 5 5 t t 解得解得t t 10 10 8 a 8 a 用心 爱心 专心 5 答案 答案 1010 三 三 5 5 解 解 1 1 设点设点Q Q的坐标为的坐标为 x x y y 则则x x x x 2 2a a y y y y 即即 x x x x 2 2a a y y y y 点点P P x x y y 在函数在函数y y log loga a x x 3 3a a 的图象上 的图象上 y y log loga a x x 2 2a a 3 3a a 即即y y log loga a g g x x log loga a ax 2 1 ax 1 2 2 由题意得由题意得x x 3 3a a a a 2 2 3 3a a 2 2a a 2 0 2 0 0 0 又又a a 0 0 且且 ax 1 aa 3 1 a a 1 0 1 0 a a 1 1 f f x x g g x x log loga a x x 3 3a a logloga a log loga a x x2 2 4 4axax 3 3a a2 2 f f x x ax 1 g g x x 1 1 1 log1 loga a x x2 2 4 4axax 3 3a a2 2 1 0 1 0 a a 1 1 a a 2 2 2 2a a f f x x x x2 2 4 4axax 3 3a a2 2在在 a a 2 2 a a 3 3 上为减函数 上为减函数 x x log loga a x x2 2 4 4axax 3 3a a2 2 在 在 a a 2 2 a a 3 3 上为减函 上为减函数 从而数 从而 x x max max a a 2 log 2 loga a 4 4 4 4a a x x mi min n a a 3 log 3 loga a 9 9 6 6a a 于是所求问题转于是所求问题转 化为求不等式组化为求不等式组的解的解 1 44 log 1 69 log 10 a a a a a 由由 logloga a 9 9 6 6a a 1 1 解得解得 0 0 a a 由由 logloga a 4 4 4 4a a 1 1 解得解得 0 0 a a 12 579 5 4 所求所求a a的取值范围是的取值范围是 0 0 a a 12 579 6 6 解 解 f f x x1 1 f f x x2 2 log loga ax x1 1 log loga ax x2 2 log loga ax x1 1x x2 2 x x1 1 x x2 2 0 0 x x1 1x x2 2 2 2 当且仅当当且仅当x x1 1 x x2 2时取时取 号号 2 21 xx 当当a a 1 1 时 有时 有 logloga ax x1 1x x2 2 log loga a 2 2 2 21 xx l l ogoga ax x1 1x x2 2 log loga a log loga ax x1 1 log loga ax x2 2 log loga a 2 1 2 21 xx 2 1 2 21 xx 即即f f x x1 1 f f x x2 2 f f 当且仅当当且仅当x x1 1 x x2 2时取时取 号号 2 1 2 21 xx 当当 0 0 a a 1 1 时 有时 有 logloga ax x1 1x x2 2 log loga a 2 2 2 21 xx log loga ax x1 1 log loga ax x2 2 log loga a 即即 f f x x1 1 f f x x2 2 f f 当且仅当当且仅当 2 1 2 21 xx 2 1 2 21 xx x x1 1 x x2 2时取时取 号 号 7 7 解 由已知等式得 解 由已知等式得 logloga a2 2x x log loga a2 2y y 1 2log 1 2loga ax x 1 2log 1 2loga ay y 即即 log loga ax x 1 1 2 2 log loga ay y 1 1 2 2 4 4 令令u u log loga ax x v v log loga ay y k k log loga axyxy 则则 u u 1 1 2 2 v v 1 1 2 2 4 4 uvuv 0 0 k k u u v v 在直在直 角