李正元高等数学强化讲义

1 第一讲第一讲 极限 无穷小与连续性极限 无穷小与连续性 一 知识网络图一 知识网络图 二 重点考核点二 重点考核点 这部分的重点是 掌握求极限的各种方法 掌握无穷小阶的比较及确定无穷小阶的方法 判断函数是否连续及确定间断点的类型 本质上是求极限 2 复合函数 分段函数及函数记号的运算 1 极限的重要性质极限的重要性质 1 不等式性质 设 且 A B 则存在自然数 N 使得当 n N 时有 xn yn ByAx n n n n limlim 设 且存在自然数 N 当 n N 时有 xn yn 则 A B ByAx n n n n limlim 作为上述性质的推论 有如下的保号性质 设 且 A 0 则存在自然数 N 使Axn n lim 得当 n N 时有 xn 0 设 且存在自然数 N 当 n N 时有 xn 0 则 A 0 Axn n lim 对各种函数极限有类似的性质 例如 设 且 A B 则存在BxgAxf xxxx lim lim 00 0 使得当 有 f x g x 设 且存在 0 0 0 xx BxgAxf xxxx lim lim 00 使得当 0 x x0 时 f x g x 则 A B 2 有界或局部有界性性质 设 则数列 xn 有界 即存在 M 0 使得 xn M n 1 2 3 Axn n lim 设则函数 f x 在 x x0的某空心邻域中有界 即存在 0 和 M 0 使 Axf xx lim 0 得当 0 x x0 时有 f x M 对其他类型的函数极限也有类似的结论 2 求极限的方法求极限的方法 1 极限的四则运算法则及其推广 设 则BxgAxf xxxx lim lim 00 BAxgxf xx lim 0 ABxgxf xx lim 0 0 lim 0 B B A xg xf xx 只要设存在或是无穷大量 上面的四则运算法则可以推广到除 glim lim 00 xxf xxxx 0 0 0 四种未定式以外的各种情形 即 1 设 则 又 B 0 则Bxxf xxxx glim lim 00 lim 0 xgxf xx lim 0 xg xf xx 0g x 2 设 当 x x0时局部有界 即 使得 lim 0 xgxf xx lim 0 xf xx g x0 0M 时 则 0 0 xx g xM lim 0 xgxf xx 3 设 当 x x0时 g x 局部有正下界 即 0 b 0 使得 0 x lim 0 xf xx x0 时 g x b 0 则 lim 0 xgxf xx 3 设 则 又 0 使得 0 x lim 0 xf xx lim 0 xg xx lim 0 xgxf xx x0 时 f x g x 0 则 lim 0 xgxf xx 4 设 x x0时 g x 局部有界 则 无穷小量与有界0 lim 0 xf xx 0 lim 0 xgxf xx 变量之积为无穷小 2 幂指函数的极限及其推广 设 AxfBxgAxf Bxg xxxxxx lim lim 0 lim 000 则 0 00 lim ln ln ln lim lim xx g xf x g xg xf xBAB xxxx f xeeeA 只要设存在或是无穷大量 上面的结果可以推广到除 1 00 及 00 lim lim xxxx f xg x 0 三种未定式以外的各种情形 这是因为仅在这三个情况下是 0 ln lim 0 xfxg xx 型未定式 1 设 0 0 x 时 f x 0 则 lim 0 xf xx 0 x0 lim 0 Bxg xx 0 0 0 lim 0 g x xx B f x B 2 设 A 0 A 1 则 lim 0 xf xx lim 0 xg xx 0 0 0 1 lim 1 g x xx A f x A 3 设 则 lim 0 xf xx 0 lim 0 Bxg xx 0 0 0 lim 0B B xf xg xx 例例 1 设 则 又 lim0 glim lim 000 xfxA xg xf xxxxxx 分析分析 00 lim lim 00 Axg xg xf xf xxxx 例例 2 设 an bn cn 均为非负数列 且则必有 n n n n n n cbalim1lim0lim 4 A an bn对任意 n 成立 B bn cn对任意 n 成立 C 极限不存在 D 不存在 nn n ca lim nn n cb lim 用相消法求用相消法求或或型极限型极限 0 0 例例 1 求 cos1 sin1tan1 lim 0 xx xx I x 解解 作恒等变形 分子 分母同乘得xxsin1tan1 0 tansin lim 1 cos 1tan1 sin x xx I xxxx xxxx xx xx sin1tan1 1 lim cos1 cos1 tan lim 00 2 1 2 1 1 例例 2 求 2 2 411 lim sin x xxx I xx 解解 作恒等变形 分子 分母同除得 0 2 xxx 2 0 2 111 41 401 0 lim1 sin1 0 1 x xxx I x x 利用洛必达法则求极限利用洛必达法则求极限 例例 1 设 f x 在 x 0 有连续导数 又 2 sin lim 2 0 x xf x x I x 求 0 0 f f 与 例例 2 求 1ln cos1 1 cossin2 lim 2 0 xx x xx x 5 例例 3 求 x x I x x e 1 lim 1 0 例例 4 求 xx I xx x sin ee lim sin 0 例例 5 若 则 3 0 6sin lim0 x xxf x x 6 lim 2 0 x xf x 例例 6 求 1ln 0 tanlim x x xI 例例 7 设 0 0 为常数且 则 1 22 lim aa a x Ixxx 分析分析 型极限 2 1 0 1 2 1 1 lim 1 t 1 1lim t t x xxI a a t a a x t tat a a a a t 2 1 1 lim 1 1 1 0 2 0 2 2 1 2 0 1 2 1 lim 2 1 1 0 a a a tt a a a t 因此 2 1 2 分别求左 右极限的情形 分别求分别求左 右极限的情形 分别求的情形的情形 n n n n xx 212 limlim 与 例例 1 设 求 例例 2 求 sin e1 e2 4 1 x x xf x x 0 lim x f x n n n I n 1 1 lim 利用函数极限求数列极限利用函数极限求数列极限 例例 1 求 例例 2 求 1 lima a n I n n 21 lim tan n n In n 解解 1 1 1 tan 1 1 tan 1 2 1 1 tan 1lim n nn n n n n nI 6 转化为求 2 23 0 0 2 1 tan 1 1tan 1 1tan lim tan1 limlimlim 1 nnx x n x xx nx n n nxx n 12 3 2 0 1cos1 lime 33 x x I x 解解 2 用求指数型极限的一般方法 转化为求 n n n n I 1 1 tan ln 2 elim 等价无穷小因子替换 余下同前 2 0 2 1 tan tan 1 ln lim lnlim 1 nx n x x n x n 2 0 1 tan lim x x x x 3 无穷小和它的阶无穷小和它的阶 1 无穷小 极限 无穷大及其联系 无穷小 极限 无穷大及其联系 1 无穷小与无穷大的定义 2 极限与无穷小 无穷小与无穷大的关系 0 lim xx f xAf xAx 其中 0 0 lim 0 1 xx xf xAoxx o 1 表示无穷小量 在同一个极限过程中 u 是无穷小量 u 0 是无穷大量 反之若 u 是无穷大量 则 u 1 是无穷小量 u 1 2 无穷小阶的概念 无穷小阶的概念 1 定义定义 同一极限过程中 x x 为无穷小 7 设 0 1 lim 0 lxx lxx x lxx x lxx xox 为有限数 称与为同阶无穷小 时 称与为等价无穷小 记为 极限过程 时 是比高阶的无穷小 记为 极限过程 定义定义 设在同一极限过程中 x x 均为无穷小 x 为基本无穷小 若存在正 数 k 与常数 使得 称 x 是 x 的 k 阶无穷小 特别有l0 lim l x x k 称 x x0时 x 是 x x0 的 k 阶无穷小 0 lim 0 0 l xx x k xx 2 重要的等价无穷小 x 0 时 sinx x tanx x 1 x x ex 1 x ax 1 xlna arcsinx x arctanx x 1 x a 1 ax 1 cosx 2 2 1 x 3 等价无穷小的重要性质 在同一个极限过程中 1 若 2 o 3 在求 型与 0 型极限过程中等价无穷小因子可以替换 0 0 例例 1 求 1 3 cos21 lim 3 0 x x x x I 例例 2 设 lim5 13 2sin 1ln lim 2 00 x xf x xf x x x 则 分析分析 由已知条件及 又在 x 0 某空心邻域 f x 0 2sin lim0 2sin 1ln lim0 13 lim 000 x xf x xf xx x x 0 又 3x 1 xln3 于是 ln 1 0 sin2sin22 f xf xf x x xxx 22 000 2 limlim5lim10ln3 ln32ln3 xxx f xxf xf x xxx 例例 3 设 x a 时 x x 分别是 x a 的 n 阶与 m 阶无穷小 又 则 x a 时0 lim Axh ax 8 1 x h x 是 x a 的 阶无穷小 2 x x 是 x a 的 阶无穷小 3 n m 时 x x 是 x a 的 阶无穷小 4 n m 时是 x a 的 阶无穷小 x x 5 k 是正整数时 k是 x a 的 阶无穷小 以上结论容易按定义证明 例如 已知 0 lim A ax xf n ax f x g x 是 x lim0limlim0 mn mnm xaxaxa g xf x g xf xg x BA B xaxaxaxa a 的 n m 阶无穷小 例例 4 设 f x 连续 x a 时 f x 是 x a 的 n 阶无穷小 求证 是 x x a dttf a 的 n 1 阶无穷小 例例 5 x 0 时 是 x 的 阶无穷小 是 x 的 阶无 2 3 1 1 x xx 332 xx 穷小 是 x 的 阶无穷小 是 x 的 阶无穷小 1ln sin 3 x x x dtt 0 2 sin 例例 6 x 0 时 下列无穷小中 比其他三个的阶高 A x2 B 1 cosx C D x tanx11 2 x 例例 7 当 x 0 时 与比较是 的无穷小 x dttxf sin 0 2 sin 43 xxxg A 等价 B 同阶非等价 C 高阶 D 低阶 4 连续性及其判断连续性及其判断 1 连续性概念 连续性概念 1 连续的定义 函数 f x 满足 则称 f x 在点 x x0处连续 f x 满足 lim 0 0 xfxf xx 或 则称 f x 在 x x0处右 或左 连续 0 0 lim xx f xf x lim 0 0 xfxf xx 若 f x 在 a b 内每一点连续 则称 f x 在 a b 内连续 若 f x 在 a b 9 内连续 且在 x a 处右连续 在点 x b 处左连续 则称 f x 在 a b 上连续 2 单双侧连续性 f x 在 x x0处连续 f x 在 x x0处既左连续 又右连续 3 间断点的分类 设 f x 在点 x x0的某一空心邻域内有定义 且 x0是 f x 的间断点 若 f x 在点 x x0处的左 右极限 f x0 0 与 f x0 0 存在并相等 但不等于函数值 f x0 或 f x 在 x0无定义 则称点 x0是可去间断点 若 f x 在点 x x0处的左 右极限 f x0 0 与 f x0 0 存在但不等 则称点 x0是跳跃间断点 它们统称为第一类间断点 若 f x 在点 x x0处的左 右极限 f x0 0 与 f x0 0 至少有一个不存在 则称点 x0 为第二类间断点 2 函数连续性与间断点类型的判断 函数连续性与间断点类型的判断 若 f x 为初等函数 则 f x 在其定义域区间 D 上连续 即当开区间 a b D 则 f x 在 a b 内连续 当闭区间 c d D 则 f x 在 c d 上连续 若 f x 是非初等 函数或不清楚它是否为初等函数 则用连续的定义和连续性运算法则 四则运算 反函数运算 与复合运算 来判断 当 f x 为分段函数时 在其分界点处则需按定义或分别判断左 右连 续性 判断 f x 的间断点的类型 就是求极限 0 0 lim xx f x 3 有界闭区间 有界闭区间 a b 上连续函数的性质 上连续函数的性质 最大值和最小值定理 设 f x 在闭区间 a b 上连续 则存在 和 a b 使得 f f x f a x b 有界性定理 设 f x 在闭区间 a b 上连续 则存在 M 0 使得 f x M a x b 介值定理 设函数 f x 在闭区间 a b 上连续 且 f a f b 则对 f a 与 f b 之间的任意一个数 c 在 a b 内至少存在一点 使得 f c 推论推论 1 零值定理 设 f x 在闭区间 a b 上连续 且 f a f b 0 则在 a b 内至少存在一点 使得 f 0 推论推论 2 设 f x 在闭区间 a b 上连续 且 m 和 M 分别是 f x 在 a b 上最小值和最 大值 若 m M 则 f x 在 a b 上的值域为 m M 例例 1 函数在下列哪个区间内有界 2 2 1 2sin xxx xx xf A 1 0 B 0 1 C 1 2 D 2 3 分析一分析一 这里有界 只须考察 g x 是初等函数 它在定义 x x 2 2 1 2sin xx x xg 域 x 1 x 2 上连续 有界闭区间上连续函数有界 1 0 定义域 g x 在 1 0 有 界 选 A 分析二分析二 设 h x 定义在 a b 上 10 若或 则 h x 在 a b 无界 因 lim 0 xh ax lim 0 xh bx lim 1 xf x 在 0 1 1 2 2 3 均无界 选 A lim 2 xf x f x 例例 2 设 1 1 1 2 xx xx xf xx xx xx xg 53 5 2 1 2 2 讨论 y f g x 的连续性 若有间断点并指出类型 分析与解法分析与解法 1 先求 f g x 的表达式 2 1 1 1 gxg x f g x g xg x 5 3 1 5 2 1 21 2 1 1 1 2 xx xx xx xx xgf 在 1 1 2 2 5 5 f g x 分别与初等函数相同 故连续 x 2 或 5 时可添加等号 左 右连接起来 即左连续又右连续 f g x 在 x 2 或 5 连续 x 1 时 x 1 是 f g x 的第一类间断点 跳跃间断点 1lim lim 0 1 lim lim 2 0101 0101 xxgf xxgf xx xx 分析与解法分析与解法 2 不必求出 f g x 的表达式 g x 的表达式中 x 2 或 5 处可添加等号 左 右连接起来 g x 在 处 处连续 u 1 时连续 1 1 1 2 uu uu uf u g x 1 x 1 因此 x 1 时由连续函数的复合函数是连续的 f g x 连续 x 1 时 1lim lim lim 0 1 lim lim lim 2 010101 010101 xxfxgf xxfxgf xxx xxx x 1 是 f g x 的第一类间断点 11 第二讲第二讲 一元函数微分学的概念 计算及简单应用一元函数微分学的概念 计算及简单应用 一 知识网络图一 知识网络图 12 二 重点考核点二 重点考核点 这部分的重点是 导数与微分的定义 几何意义 讨论函数的可导性及导函数的连续性 特别是分段函数 可导与连续的关系 按定义或微分法则求各种类型函数的一 二阶导数或微分 包括 初等函数 幂指数函 数 反函数 隐函数 变限积分函数 参数式 分段函数及带抽象函数记号的复合函数 求 n 阶导数表达式 求平面曲线的切线与法线 描述某些物理量的变化率 导数在经济领域的应用如 弹性 边际 等 只对数三 数四 1 一元函数微分学中的基本概一元函数微分学中的基本概 念及其联系念及其联系 13 1 可导与可微的定义及其联系 可导与可微的定义及其联系 f 2 几何意义与力学意义 几何意义与力学意义 是曲线 y f x 在点 x0 f x0 处切线的斜 0 x f 率 是相应于 x 该切线上纵坐标的增xxfxdf xx 0 0 量 质点作直线运动 t 时刻质点的坐标为 x x t 是 t t0时刻的速度 0 t x 3 单侧导数与双侧导数 单侧导数与双侧导数 f x 在 x x0可导均存在且相等 00 fxfx 此时 000 fxfxfx 00 0 0 lim x f xxf x fx x 00 0 0 lim x f xxf x fx x 例例 1 说明下列事实的几何意义 1 xgxfxgxf 0000 2 f x g x 在 x x0处有连续二阶导数 0000 f xg xfxg x xgxf0 00 0 0 000 0 0 0 00 0 limlim 1 0 1 xxx f xx f xf xf xxf x fx xxx f xxf x Aoxo x Afx 在可导 即无穷小量 0 0 00 000 0 x x f xx f xxf xA xoxx f xxxf xA xfxxfx dx 在可微 在的微分d 0 f xxx 在连续 0 f xxx 在连续 14 3 f x 在 x x0处存在 但 00 fxfx 00 fxfx 4 y f x 在 x x0处连续且 0 0 0 lim xx f xf x xx 例例 2 0 为某常数 设 g x f x h x 00 00 xxx xxx 000 g xh xgx 均存在且 求证 0 hx 00 gxhx 0000 fxfxgxhx 存在且 例例 3 请回答下列问题 1 设 y f x 在 x x0可导 相应于 x 有 y f x0 x f x0 xxfdy 0 x 0 时它们均是无穷小 试比较下列无穷小 y 是 x 的 无穷小 y dy 是 x 的 无穷小 时 y 与 dy 是 无穷小 0 0 x f 2 du 与 u 是否相等 例例 4 设 f x 连续 试讨论的存在性与的存在性之间的关系 0 x f 0 xx xf 1 考察下列两个函数图形 由导数的几何意义来分析存在与存在 0 x f 0 xx xf 之间的关系 2 f x0 0 时 求证 存在 存在 0 x f 0 xx xf 证明证明 因 0 由连续性 0 使得当 x x0 时有 f x 0 或 0 f x f x 0 于是在 x0该邻域内必有 f x f x 或 f x f x 之一成立 故在点 x x0处两个函数的可导性是等价的 3 f x0 0 时 求证 存在 0 0 0 xx xfxf 证明证明 设 f x0 0 15 存在 0 xx xf x xfxxf x xfxxf xx lim lim 00 0 00 0 00 00 lim 0 lim 0 xx f xxf xx xx 0 lim lim 0 0 0 0 x xxf x xxf xx xf x xfxxf x 0 0 lim 0 00 0 综合可得 题目中结论 2 和 3 成立 也可以概括为 点 x x0是可导函数的绝 f x 对值函数 的不可导点的充分必要条件是它使得 f x0 0 但 f x0 0 x f 评注评注 论证中用到显然的事实 lim 0lim 0 xaxa f xf x 例例 5 设函数 f x 连续 且 则存在 0 使得 0 0 f A 在 0 内单调增加 B 在 0 内单调减少 f x f x C 对任意的 x 0 有 f 0 D 对任意的 x 0 有 f x f 0 f x 2 一元函数求导法一元函数求导法 反函数求导法 反函数求导法 设 f x 在区间 Ix可导 值域区间为 Iy 则它的反函数 x y 在 Iy可导且 0fx 1d1 d d d xy x y y fxy x 例例 设 y y x 满足 求它的反函数的二阶导数 x ye2 2 2 d d y x 解解 xxx y x xy x xyy x 2 2 2 e 4 1 d d e 2 1 d d d d e 2 1 1 d d 变限积分求导法 变限积分求导法 设函数 f x 在 a b 上连续 则在 a b 上可导 且 x a ttfxFd 16 a x b F xf x 设在 c d 上连续 当 x a b 时函数 u x v x 可导 且的值域 f x u xv x和 不超出 c d 则在 a b 上可导 且 d xu xv ttfxF a x b xuxvfxuxufxF 例例 1 设 f x 在 连续且 求 1 0 s d x nnn xsf xs x 例例 2 设 f x 在 连续 又 x ttftxx 0 2 d 2 1 求 x x 例例 3 设 求 yt t t x yx d d 1 sin 2 0 2 2 0 x 例例 4 设 f x 为连续函数 则等于 tt y xxfytF 1 d d 2 F A 2f 2 B f 2 C f 2 D 0 分析一分析一 先用分部积分法将 F t 化为定积分 1 11 d d d d d ttttt y t y yyy F tf xxyyf xxyf xx ttt xxfxyyyfxxf 111 d 1 d d 选 B 2 2 1 fFtfttF 分析二分析二 转化为可以用变限积分求导公式的情形 ttt y tt y xxftyxxfyxxfyxxftF 111 1 11 1 d 1 d d d d d d 1 1 1 1 d d t t tfttftxxfxxftF 选 B 2 2 fF 分析三分析三 交换积分顺序化为定积分 分顺序 交换积 D xt yxfxyxxftF 11 d ddd t xxfx 1 d 1 17 分析四分析四 特殊选取法 取 f x 1 满足条件 tt y t tt y t y tytyytxyxxfytF 11 2 1 2 1 1 2 1 2 1 d d1dd d 选 B fFttF 2 1 2 1 隐函数求导法 隐函数求导法 例例 1 y y x 由所确定 则0e sin 222 xyyx x x y d d 例例 2 y y x 由下列方程确定 求 x y x y 2 2 d d d d 1 x arctany y 解解 对 x 求导 yy y 2 1 1 1 解出 再对 x 求导得 2 1 1 y yy 得 5 2 3 1 22 y y y y y 2 其中 yyf ex e1 xfxf存在 解解 对 x 求导得 yeyyfx yyfyf ee 利用方程化简得 1 1 1 yfx yyyyf x 再将的方程对 x 求导得 y yyyfyyf x 1 2 2 解出 并代入表达式 y y 32 2 1 1 yfx yfyf y 若先取对数得 lnx f y y 然后再求导 可简化计算 例例 3 设 y y x 由方程 y xey 1 确定 求的值 0 2 2 d d x x y 解解 原方程中令 x 0 y 0 1 将方程对 x 求导得 0ee yxy yy 令 将上述方程两边再对 x 求导得e 0 0 yx 2 e2 0 0 e2 yyexyy x yy 分段函数求导法 分段函数求导法 18 例例 1 设 f x x2 x 则使处处存在的最高阶数 n 为 n fx 例例 2 设 0 dsin 1 0 00 0 1 sin 1ln 1 2 0 3 xtt x xxf x x x x x xf x 处在则 A 不连续 B 连续 但不可导 C 可导但导函数不连续 D 可导且导函数连续 分析分析 先按定义讨论 f x 在 x 0 的可导性问题 3 2 00 0 11 0 limlimln 1 sin0 xx f xf fx xxx 2 2 2 0000 0 1sin2 0 limlimsin dlim0 2 x xxx f xfxx ft t xxx 0 0 0 0 0fff 进一步考察在 x 0 的连续性 x f 当 x 0 时 xx x xxx x xx x x x x xf 1 cos 1ln 1 sin 1 31 sin 1ln 1 sin 1ln 1 3 3 3 2 2 3 3 由此可知 在 x 0 不连续 因此 选 C lim 0 xfxf x 不 例例 3 求常数 a b 使函数处处可导 并求出导数 3 3 2 xb ax xx xf 分析与求解分析与求解 对常数 a b x 3 时 f x 均可导 现要确定 a b 使存 3 f 在 f x 在 x 3 必须连续且 由这两个条件求出 a 与 b 3 3 ff 由 babaxxfxxf xxxx 3 lim lim9lim lim 0303 2 0303 f x 在 x 3 连续 a b 满足 f 3 0 f 3 0 f 3 即 3a b 9 在此条件下 2 3 3 xx f x axbx 19 2 3 3 fxx xfxax 3 3 26 3 x fxfa 即 a 6 代入 3a b 9 b 9 3 3 3 fff 因此 仅当 a 6 b 9 时 f x 处处可导且 3 6 3 2 x xx xf 评注评注 求解此类问题常犯以下错误 1 没说明对常数 a b x 3 时 f x 均可导 2 先由 x 3 处可导求出 a 值 再由连续性求出 b 值 请看以下错误表达 因 33 3 26 3 xx fxfaxba 由得 a 6 再由连续性 f 3 0 f 3 0 3 3 ff 即 9 3a b b 9 错误在于 当 3a b 9 时不存在 也不可能有 3 f 3 3 x faxb f 3 0 f 3 0 不能保证 f x 在 x 3 连续 仅当 f 3 0 f 3 0 f 3 时才能保证 x 3 连续 必须先由连续性定出 3a b 9 在此条件下就可得 3 fa 高阶导数与高阶导数与 n 阶导数的求法阶导数的求法 常见的五个函数的 n 阶导数公式 baxnnbax a e e 2 sin sin n baxabax nn 2 cos cos n baxabax nn 1 1 1 ln nn n n na axb axb 1 1 nnn axbnaaxb 3 一元函数导数 微分 概念的简单应用一元函数导数 微分 概念的简单应用 例例 1 设 在点处的切线 n xxf 1 1 20 与轴的交点为 则x 0 n lim n n f 例例 2 若周期为 4 的函数 f x 可导且1 2 1 1 lim 0 x xff x 则曲线 y f x 在点 5 f 5 处的切线斜率 k 例例 3 设 y f x 由方程 e2x y cos xy e 1 所确定 则曲线 y f x 在点 0 1 处的法线方程为 例例 4 已知曲线 的极坐标方程为 2sin 点 M0的极坐标为 1 则点 M0 6 处 的切线的直角坐标方程为 分析一分析一 数学一 二 点 M0在 上 直角坐标为 0 1 6 3 cos 2 x 2 1 sin 6 1 0 y 的参数方程为 2cos1sinsin2 2sincossin2 y x 在 M0点处的切线的斜率 3 3 tan 2cos2 2sin2 d d 6 6 x y 在 M0处的切线方程 13 2 3 3 2 1 xyxy 即 分析二分析二 的方程可化为 2 于是 的隐式方程为 x2 y2 2y 由隐函数2 sin 求导法 得 y x yyyyx 1 222 于是切线方程为3 2 3 2 1 2 3 00 yyx代入得 13 3 31 22 yxyx 即 21 第三讲第三讲 一元函数积分学一元函数积分学 一 知识网络图一 知识网络图 22 二 重点考核点二 重点考核点 这部分的重点是 23 不定积分 原函数及定积分概念 特别是定积分的主要性质 两个基本公式 牛顿 莱布尼兹公式 变限积分及其导数公式 熟记基本积分表 掌握分项积分法 分段积分法 换元积分法和分部积分法计算各类积 分 反常积分敛散性概念与计算 定积分的应用 1 一元函数积分学的基本概念与基本定理一元函数积分学的基本概念与基本定理 1 原函数与不定积分的概念及性质 原函数与不定积分的概念及性质 1 定义 若 F x 的导函数在某区间上成立 则称 F x 是 f x 在该区间上的一 xfxF 个原函数 f x 的全体原函数称为 f x 的不定积分 记为 xxfd 2 原函数与不定积分的关系 若已知 F x 是 f x 的一个原函数 则 其中 C 是任意常数 CxFxxf d 3 求不定积分与求导是互为逆运算的关系 即 xxfxxfxfxxfd d d d 或 CxFxFCxFxxF d d 或 其中 C 也是任意常数 4 不定积分的基本性质 0 d kdxxfkxxkf常数 xxgxxfxxgxfd d d 2 定积分的概念与性质 定积分的概念与性质 1 定义 设 若对任何 max 1 1210i ni iiin x xxxb xxxxa 令 存在 则称 f x 在 a b 上可积 并称此极限值为 f x 在 1 0 1 lim n iiiii i xxfx 有 a b 上的定积分 记为 n i ii b a xfxxf 1 0 limd 定积分的值与积分变量的名称无关 即把积分变量 x 换为 t 或 u 等其他字母时 有 b a b a b a uufttfxxfd d d 24 另外 约定 b a a b a a xxfxxf xxfd d 0d 2 可积性条件 可积的必要条件 若 f x 在 a b 上可积 则 f x 在 a b 上有界 可积函数类 可积的充分但非必要的条件 1 f x 在 a b 上连续 则 f x 在 a b 上可积 2 f x 在 a b 上有界且仅有有限个间断点 则 f x 在 a b 上可积 3 定积分的几何意义 设 f x 在 a b 上连续 则表示界于 x 轴 曲线 y f x 以及直线 x a x b a xxfd b 之间的平面图形面积的代数和 其中在 x 轴上方部分取正号 在 x 轴下方部分取负号 特别 若 f x 在 a b 上连续且非负 则表示 x 轴 曲线 y f x 以及直线 x b a xxfd a x b 围成的曲边梯形的面积 4 定积分有以下性质 1 线性性质 若 f x g x 在 a b 上可积 且 A B 为两个常数 则 Af x Bg x 也在 a b 上可积 且 xxgBxxfAxxBgxAf b a b a b a d d d 2 对积分区间的可加性 若 f x 在由 a b c 三数构成的最大区间上可积 则 xxfxxfxxf b c c a b a d d d 3 改变有限个点上的函数值不改变可积性与积分值 4 比较性质 若 f x g x 在 a b 上可积 且 f x g x 在 a b 上成立 则 xxgxxf b a b a d d 进一步又有 若 f x g x 在 a b 上连续 且 f x g x f x g x 在 a b 上成立 则 xxgxxf b a b a d d 若 f x 在 a b 可积 则 f x 在 a b 可积且 xxfxxf b a b a d d 5 积分中值定理 若 f x 在 a b 上连续 则存在 a b 使得 d b a f xxfba 3 变限积分 原函数存在定理 牛顿 变限积分 原函数存在定理 牛顿 莱布尼兹公式 莱布尼兹公式 1 变限积分的连续性 若函数 f x 在 a b 上可积 则函数在 a b x a dttfx 上连续 2 变限积分的可导性 原函数存在定理 若函数 f x 在 a b 上连续 则函数 就是 f x 在 a b 上的一个 x a dttfx 原函数 即 x a b xfx 25 3 不定积分与变限积分的关系 由原函数存在定理可得 若 f x 在 a b 上连续 则不定积分 其中 x0 a b 为一个定值 C 为任意常数 x x Cdttfdxxf 0 4 牛顿 莱布尼兹公式 设在上连续 是在上的任一原函 f x a b F x f x a b 数 则 这个公式又称微积分基本公式 aFbF a b xFdxxf b a 推广形式 设函数 f x 在 a b 上连续 F x 是 f x 在 a b 内的一个原函数 又极限 F a 0 和 F b 0 存在 则 0 0 0 0 aFbF a b xFdxxf b a 5 初等函数的原函数 4 周期函数与奇偶函数的积分性质 周期函数与奇偶函数的积分性质 1 周期函数的积分性质 设 f x 在 连续 以 T 为周期 则 1 a 为任意实数 xxfxxf TTa a d d 0 2 x Tttf 0 d 为周期以 0d 0 T xxf 3 即 f x 的全体原函数 为 T 周期的 xxfd 0d 0 T xxf 证明证明 1 证法证法 1 d 0 d a T a f x dxf aTf a a 0 d d d 0 a Ta TT aa f xxf xxf xx a 证法证法 2 其中 aT Ta TTa a xxfxxfxxfxxfd d d d 0 0 00 d d d TaTaaa TT sxT f xxf xTxf s dsf xx 代入上式得 Ta a aTT a xxfxxfxxfxxfxxf 000 0 d d d d d 此种证法不必假定 f x 连续 只须假定 f x 在 0 T 可积 2 xTxTxTx x ttfttfttfttfTttf 0000 0d 1 d d d d 题 为周期以 26 3 只须注意 xfttfC ttfxxf xx 00 d d d 的一个原函数是 例 08 数三 数四 设 f x 是周期为 2 的连续函数 证明对任意的实数 t 有 22 t to dxxfdxxf 证明 G x 是周期为 2 的周期函数 dtdssftf x o t t 2 2 分析与证明分析与证明 它是结论 1 的特例 a 2 见证明 1 由题 的结论 G x x oo dssfxdttf 2 2 由于对x G x 2 G x x ooo x o dssfxdttfdssfxdttf 222 2 2 2 22 2 2 x xo dttfdttf 22 0 2 2 oo dttfdttf G x 是周期为 2 的周期函数 2 奇偶函数的积分性质 设 f x 在 a a 连续 且为奇函数或偶函数 1 d 2 0 d 0 为偶函数 为奇函数 xfxxf xf xxf a a a 2 令 0 dt xf x F xf xF x f x 为偶函数若为奇函数 则 为奇函数若为偶函数 3 若 f x 为奇函数 则在 a a 上 f x 的全体原函数为偶函数 若 f x 为偶函数 则在 a a 上 f x 只有惟一的一个原函数为奇函数 证明证明 2 设 f x 为奇函数 证法证法 1 考察 a a xxfxfxFxFx xFxFx 0 则 F x F x x a a 即 F x 为偶函数 0 0 x 常数 证法证法 2 x a a 即 xxx xFssf ts ttfttfxF 000 d d d F x 为偶函数 此种证法只须假设 f x 在 a a 可积 3 只须注意2 的结论 x Cttfdxxf 0 d 并利用 例例 1 d 1 arcsin x xf C xdxxxf则 27 例例 2 且 f 1 0 则 f x xx xeef 例例 3 设 f x 的导数是 sinx 则 f x 的原函数是 例例 4 设 f x 连续 f x x 2 则 f x xxfd 1 0 例例 5 下列命题中有一个正确的是 A 设 f x 在 a b 可积 f x 0 0 则 0 b a xxfd B 设 f x 在 a b 可积 a b 则 d d xxfxxf b a C 设在 a b 可积 则 f x 在 a b 可积 xf D 设 f x 在 a b 可积 g x 在 a b 不可积 则 f x g x 在 a b 不可 积 分析分析 1 f x 在 a b 可积 g x 在 a b 不可积 f x g x 在 a b 不可积 反证 法 若不然 则 f x g x 在 a b 可积 由线性性质 g x f x g x f x 在 a b 可积 得矛盾 选 D 分析分析 2 举例说明 A B C 不正确 由 A 的条件只能得 0 如 x0 a b b a xxfd 0 0 1 0 xx xxbax xf f x 0 0 x a b 但 b a xxfd 0 A 不正确 关于 B 请看右图 由定积分的几何意义知 0 0 B 不正确 b a xxfd xxfd 这里 a b 但 xxfd b a xxfd 关于 C 是 f x 与的可积性的关系 xf f x 在 a b 可积 在 a b 可积 xf 如 1 在 a b 可积 但 f x 在 a b 不可积 C 不 x x xf 为无理数 为有理数 1 1 xf 正确 因此选 D 28 例 例 判断积分值的大小 222 22 0 cosd cosd xx Iex xJex x 例例 7 把积分值 b a xax ab afbf afd b a xxfd 按大小排序 其中 f x 在 a b 上满足 0 0 0 b a xafd xf x f x f 例例 8 设 则 x 2 sin dsin x x t ttex A 为正数 B 为负数 C 为 0 D 不为常数 例例 9 设 g x 则 g x 在区间 x x x x x xfuuf 0 2 21 1 3 1 1 0 1 2 1 d 若 若 其中 0 2 内 A 无界 B 递减 C 不连续 D 连续 分析分析 这是讨论变限积分的性质 已知结论可以用 若 f x 在 a b 可积 则 g x 在 a b 连续 这里 f x 在 0 2 可积 有界 只有一个间断点 则 x a uufd 在 0 2 连续 选 D x uufxg 0 d 5 利用定积分求某些 利用定积分求某些 n 项和式的极限项和式的极限 例例 10 n n nn n n 1 2 1 1 1 lnlim 222 2 基本积分表与积分计算法则基本积分表与积分计算法则 3 积分计算技巧积分计算技巧 例例 1 求 2 0 dcossinxxxI 例例 2 求 b a b a xxbaxxId 例例 3 求 n 为自然数 2 0 dsinxxI n 例例 4 对实数 求 2 0 d tan1 1 x x I 29 解解 2 0 2 0 2 0 d tan1 tan cot1 d d 2 tan1 1 2 x x x x x t t I tx 4 2 d12 2 0 IxI 例例 5 求 xxI xd earctansin 2 2 解解 2 2 dearctansinttI ttx 2 0 2 2 2 dsin2 2 dearctanearctansin2IxxxxI xx 4 反常反常 广义广义 积分积分 1 基本概念 基本概念 1 若 称收敛 并记 A aA xxfd lim a xxfd 否则称发散 xxfxxf A aAa d limd a xxfd 若 称收敛 并记 b BB xxfd lim b xxfd 否则称发散 b BB b xxfxxfd limd b xxfd 若 均收敛 称收敛 a xxfd a xxfd xxfd 且 否则称发散 xxfd a xxfd a xxfd xxfd 2 设 f x 在 a b 内闭子区间可积 在 a 点右邻域无界 若极限 称收敛 并记 b a xxf d lim 0 b a xxfd 否则称发散 这里 x a 称为瑕点 b a xxfd b a xxf d lim 0 b a xxfd 若 b 为瑕点 类似定义 b a xxfd 设 f x 在 a c c b 内闭子区间可积 在 x c 邻域无界 30 若 均收敛 称收敛 且 c a xxfd b c xxfd b a xxfd 否则称发散 b a xxfd c a xxfd b c xxfd b a xxfd 3 几个重要的反常积分 1 a 0 a x x 1 1 d 发散 收敛 2 a 1 a xx x 1 1 ln d 发散 收敛 3 b a ax x 1 1 d 发散 收敛 4 de 2 de 22 0 xx xx 5 均发散 a xxdsin 0 dcosxx xxdsin xxdcos 例例 1 反常积分 发散 A B C D 1 1sin d x x 1 12 1 d x x x x de 0 2 2 2 d ln 1 x xx 例例 2 下列命题中正确的有 个 1 设 f x 在 连续为奇函数 则 0 xxfd 2 设 f x 在 连续 存在 则收敛 R RR xxfd lim xxfd 3 若与均发散 则不能确定是否收敛 a xxfd a xxgd a xxgxfd 4 若均发散 则不能确定是否收敛 与 0 d xxf 0 d xxf xxfd 分析分析 要逐一分析 1 f x 在 连续 收敛 例如 f x sinx 在 xxfd 连续 为奇函数 但发散 1 是错的 xxdsin 2 f x 在 连续 31 收敛存在 xxfd R RR xxfd lim 如 f x sinx 0 但发散 R RR xxdsinlim xxdsin 故 2 是错误的 3 正如两个函数的极限均不存在 但它们相加后的极限可能存在 也可能不存在一样 若 均发散 则不能确定是否收敛 如 f x a xxfd a xxgd a xxgxfd 均发散 但 则 x xg xx 1 11 2 1 df xx 1 d xxg 1 d xxgxf 收敛 1 2 d x x 若取 g x 发散 因此 3 是正确的 则 1 x 1 d xxgxf 1 2 d 21 x xx 4 按敛散性的定义 仅当 均收敛时 xxfd 0 d xxf 0 d xxf 才是收敛的 否则为发散 因此 均发散时是 xxfd 0 d xxf 0 d xxf xxfd 发散的 4 也不正确 共有 1 个是正确的 2 广义积分的计算 例例 3 1 求 2 求 1 2 1 d xx x I 0 2 d 1 x e xe I x x 3 求 4 求 1 1 d xx x I 0 1 1 d nnn xx x I 5 一元函数积分学的应用一元函数积分学的应用 1 一元