【志鸿优化设计】2014届高考数学一轮复习 第十二章 算法初步、推理与证明、复数12．6数系的扩充与复数的引入教学案 理 新人教A版

1 12 612 6 数系的扩充与复数的引入数系的扩充与复数的引入 考纲要求 1 理解复数的基本概念 理解复数相等的充要条件 2 了解复数的代数表示法及其几何意义 3 会进行复数代数形式的四则运算 了解复数代数形式的加 减运算的几何意义 1 数系扩充的脉络是 用集合符号表示为 实际上前者是后者的真子集 2 复数的有关概念 1 复数的概念 形如a bi a b R R 的数叫做复数 其中a b分别是它的 和 若 则a bi 为实数 若 则a bi 为虚数 若 则a bi 为纯虚数 2 复数相等 a bi c di a b c d R R 3 共轭复数 a bi 与c di 共轭 a b c d R R 4 复平面 建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面 叫做实轴 叫做虚 轴 实轴上的点表示 除原点外 虚轴上的点都表示 各象限内的点都 表示非纯虚数 复数集 C C 和复平面内 组成的集合是一一对应的 复数集 C C 与复 平面内所有以 为起点的向量组成的集合也是一一对应的 5 复数的模 向量的模r叫做复数z a bi 的模 记作 或 其中 OZ z a bi 3 复数的运算 1 复数的加 减 乘 除运算法则 设z1 a bi z2 c di a b c d R R 则 加法 z1 z2 a bi c di 减法 z1 z2 a bi c di 乘法 z1 z2 a bi c di 除法 c di 0 z1 z2 a bi c di a bi c di c di c di 2 复数加法的运算定律 复数的加法满足交换律 结合律 即对任何z1 z2 z3 C C 有 z1 z2 z1 z2 z3 1 下列命题中 正确命题的个数是 若x y C C 则x yi 1 i 的充要条件是x y 1 若a b R R 且a b 则a i b i 若x2 y2 0 则x y 0 A 0 B 1 C 2 D 3 2 2012 安徽高考 复数z满足 z i i 2 i 则z A 1 i B 1 i C 1 3i D 1 2i 3 2012 课标全国高考 复数z 的共轭复数是 3 i 2 i A 2 i B 2 i C 1 i D 1 i 4 2012 上海高考 若 1 i 是关于x的实系数方程x2 bx c 0 的一个复数根 2 则 2 A b 2 c 3 B b 2 c 1 C b 2 c 1 D b 2 c 3 5 i 为虚数单位 1 i 1 i3 1 i5 1 i7 A 0 B 2i C 2i D 4i 一 复数的分类 例 1 已知m R R 复数z m2 2m 3 i 当m为何值时 1 m m 2 m 1 z R R 2 z是纯虚数 3 z对应的点位于复平面的第二象限 4 z对应的点在直线 x y 3 0 上 方法提炼方法提炼 1 判断一个含有参数的复数在什么情况下是实数 虚数 纯虚数 首先要保证含参数 的式子有意义 忽略这一要求会酿成根本性的错误 其次对参数值的取舍 是取 并 还 是 交 非常关键 因此 解答后进行验算是很有必要的 2 对于复数z a bi a b R R 既要从整体的角度去认识它 把复数z看成一个整 体 又要从实部与虚部的角度将其分解成两部分去认识它 这是解复数问题的重要思路之 一 请做演练巩固提升 1 二 复数的代数运算 例 2 1 2012 浙江高考 已知 i 是虚数单位 则 3 i 1 i A 1 2i B 2 i C 2 i D 1 2i 例 2 2 2012 山东高考 若复数z满足z 2 i 11 7i i 为虚数单位 则z 为 A 3 5i B 3 5i C 3 5i D 3 5i 方法提炼方法提炼 1 复数的加法 减法 乘法运算可以类比多项式运算 除法关键是分子分母同乘以分 母的共轭复数 注意要把 i 的幂写成最简形式 2 记住以下结论 可提高运算速度 1 1 i 2 2i 2 i 3 i 4 b ai 5 1 i 1 i 1 i 1 i a bi i i4n 1 i4n 1 i i4n 2 1 i4n 3 i n N N 请做演练巩固提升 2 3 三 复数的几何意义 例 3 2012 北京高考 在复平面内 复数对应的点的坐标为 10i 3 i A 1 3 B 3 1 C 1 3 D 3 1 方法提炼方法提炼 复数实部 虚部的符号与其对应点所在象限密切相关 实数 纯虚数的对应点分别在 实轴和虚轴上 若实部为正且虚部为正 则复数对应点在第一象限 若实部为负且虚部为 正 则复数对应点在第二象限 若实部为负且虚部为负 则复数对应点在第三象限 若实 部为正且虚部为负 则复数对应点在第四象限 此外 若复数的对应点在某些曲线上 还 可写出代数形式的一般表达式 如 若复数z的对应点在直线x 1 上 则z 1 bi b R R 若复数z的对应点在直线y x上 则z a ai a R R 这在利用复数的代数形式解题中 能起到简化作用 请做演练巩固提升 4 易因复数概念不清而致误 3 典例 2012 陕西高考 设a b R R i 是虚数单位 则 ab 0 是 复数a 为 b i 纯虚数 的 A 充分不必要条件B 必要不充分条件 C 充分必要条件D 既不充分也不必要条件 解析 解析 由a 为纯虚数可知a 0 b 0 所以ab 0 而ab 0a 0 且b 0 故选 b i B 答案 答案 B 答题指导 答题指导 1 掌握好复数的有关概念 复数运算的有关规则是解答复数题目的关键 2 对于复数与其他部分知识的综合题 只要明确复数在其中的作用即可 1 设复数z1 1 i z2 2 bi 若为实数 则实数b z2 z1 A 2 B 1 C 1 D 2 2 2012 济南调研 设a是实数 且 是实数 则a a 1 i 1 i 2 A B 1 C 1 D 2 1 2 3 2012 天津高考 i 是虚数单位 复数 5 3i 4 i A 1 i B 1 iC 1 i D 1 i 4 复数z i 是虚数单位 在复平面内对应的点所在的象限为 2 i 2 i A 第一象限 B 第二象限C 第三象限 D 第四象限 5 2012 上海高考 计算 i 为虚数单位 3 i 1 i 4 参考答案参考答案 基础梳理自测基础梳理自测 知识梳理知识梳理 1 自然数集 有理数集 实数集 N N Q Q R R 2 1 实部 虚部 b 0 b 0 a 0 且b 0 2 a c b d 3 a c b d 4 x轴 y轴 实数 纯虚数 所有的点 原点O 5 z a bi a2 b2 3 1 a c b d i a c b d i ac bd ad bc i i 2 z2 z1 z1 z2 z3 ac bd c2 d2 bc ad c2 d2 基础自测基础自测 1 A 解析 解析 由于x y C C 所以x yi 不一定是复数的代数形式 不符合复数相 等的充要条件 是假命题 由于两个虚数不能比较大小 是假命题 当 x 1 y i 时 x2 y2 0 成立 是假命题 2 B 解析 解析 由题意可得 z i 1 2i 2 i i 2 i i i2 所以z 1 i 3 D 解析 解析 z 1 i 故z的共轭复数为 3 i 2 i 3 i 2 i 2 i 2 i 5 5i 5 1 i 4 D 解析 解析 由x1 1 i 知x2 1 i 22 则x1 x2 2 b 即b 2 x1x2 1 i 1 i 1 2i2 3 c 22 5 A 解析 解析 0 1 i 1 i3 1 i5 1 i7 1 i 1 i2 i 1 i4 i 1 i4 i2 i 1 i 1 i 1 i 1 i 考点探究突破考点探究突破 例 1 解 1 当z为实数时 则有m2 2m 3 0 且m 1 0 得m 3 故当m 3 时 z R R 2 当z为纯虚数时 则有Error 解得m 0 或m 2 当m 0 或m 2 时 z为纯虚数 3 当z对应的点位于复平面的第二象限时 则有Error 解得m 3 或 1 m 2 故当m 3 或 1 m 2 时 z对应的点位于复平面的第二象限 4 当z对应的点在直线x y 3 0 上时 则有 m2 2m 3 3 0 m m 2 m 1 得 0 解得m 0 或m 1 m m2 2m 4 m 15 当m 0 或m 1 时 z对应的点在直线x y 3 0 上 5 例 2 1 D 解析 解析 3 i 1 i 3 i 1 i 1 i 1 i 1 2i 3 3i i i2 2 选 D 例 2 2 A 解析 解析 设z a bi a b R R 则z 2 i a bi 2 i 2a b 2b a i 所以Error 解得Error 所以z 3 5i 故选 A 例 3 A 解析 解析 1 3i 10i 3 i 10i 3 i 3 i 3 i 10 30i 10 对应的点的坐标为 1 3 10i 3 i 5 演练巩固提升演练巩固提升 1 D 解析 解析 R R b 2 z2 z1 2 bi 1 i 2 bi 1 i 1 i 1 i 2 b b 2 i 2 2 B 解析 解析 由 是实数得 a 1 0 a 1 i 1 i 2 a 1 i