山东省滨州市无棣县埕口中学2013届中考数学复习 知识点15 二次函数概念、性质和图像

1 知识点知识点 1515 二次函数概念 性质和图像 二次函数概念 性质和图像 一 选择题 1 2011 年安次区一模 11 2 抛物线 2 0yxxp p 的图象与 x 轴一个交点的横坐标是 P 那 么该抛物线的顶点坐标是 A 0 2 B 19 24 C 1 9 2 4 D 19 24 答案 D 2 2011 年北京市解密预测中考模拟试题 1 6 3 已知二次函数 13123 2 xxy 则函数值 y 的 最小值是 A 3B 2C 1D 1 答案 C 3 2011 年北京市解密预测中考模拟试题 2 10 3 从右图所示的二次函数 y ax2 bx c 的图象中 观察得出了下面五条信息 c 0 abc 0 a b c 0 2a 3b 0 c 4b 0 你认为其中正确的信息个数有 A 2 个 B 3 个 C 4 个 D 5 个 答案 C 4 2011 年北京市解密预测中考模拟试题 4 9 3 若抛物线 2 2yxxc 与 y 轴的交点坐标为 0 3 则下列说法不正确的是 抛物线的开口向上 抛物线的对称轴是直线 1x 当 1x 时 y 的最大值为 4 抛物线与x轴的交点坐标为 1 0 3 0 答案 C 5 2011 年北京市解密预测中考模拟试题 5 10 3 二次函数 2 yaxbxc 的图像如图所示 则点 c Q a b 在 A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限 答案 C 6 2011 年江苏省盐城市射阳春季摸底考试 7 3 已知抛物线 y ax2 bx c 的开口向下 顶点坐标 为 3 2 那么该抛物线有 A 最小值 3 B 最大值 3 C 最小值 2 D 最大值 2 答案 D 第 10 题图 y x O 2 7 2011 张家港市二中一模 一 9 3 二次函数 y ax2 bx c a 0 的图像如图所示 下列结论正确的是 A ac 0 B 当 x 1 时 y 0 C 方程 ax2 bx c 0 a 0 有两个大于 1 的实数根 D 存在一个大于 1 的实数 x0 使得当 x x0 时 y 随 x 的增大而减小 当 x x0 时 y 随 x 的增大而增大 答案 D 8 2011 泰顺七中模拟卷 9 4 将二次函数 2 xy 的图象向右平移 1 个单位 再向上平移 2 个单位 后 所得图象的函数表达式是 A 2 1 2 xy B 2 1 2 xy C 2 1 2 xy D 2 1 2 xy 答案 A 9 2011 年河北省模拟考试 7 2 如图是二次函数 2 1 2 xay 图象的一部分 该图象在 y 轴右 侧部分与x轴交点的坐标是 A 2 1 0 B 1 0 C 2 0 D 3 0 O 1 x y y Ox 1 2 12 3 3 1 1 2 2 第 7 题图 3 答案 B 10 2011 潍坊中考一模 11 3 二次函数 y ax2 bx c 的图象如图所示 则一次函数 y ax b2 4ac 与反比例函数 y x cba 在同一坐标系内的图象大 致为 4 答案 D 11 2011 江苏省启东中学二模 10 4 根据下表中的二次函数 y ax2 bx c 的自变量 x 与函数 y 的 对应值 可判断该二次函数的图像与 x 轴 A 只有一个交点 B 有两个交点 且它们分别在 y 轴两侧 C 有两个交点 且它们均在 y 轴同侧 D 无交点 答案 B 12 2011 年兰州市一模 14 4 二次函数 cbxaxy 2 图象如图所示 下列结论错误的是 A 0 ab B 0 ac C 当 2 x 时 函数值随 x 增大而增大 当 2 x 时 函数值随 x 增大而减小 D 二次函数 cbxaxy 2 的图象与 x 轴交点的横坐标就是方程 0 2 cbxax 的根 答案 B 13 2011 兰州市三模 2 3 抛物线 2 11yx 的顶点坐标是 A 1 1 B 1 1 C 1 1 D 1 1 答案 C 14 2011 兰州市二模 14 4 二次函数 y x2 3x 6 的顶点坐标是 A 3 6 B 3 6 C 3 15 24 D 3 15 24 答案 D 15 2011 兰州市二模 15 4 若二次函数 y ax2 bx c 经过原点和第一 二 三象限 则 A a 0 b 0 c 0 B a 0 b 0 c 0 C a 0 b 0 c 0 D a 0 b 0 c 0 5 O 图 5 答案 A 16 2011 镇江市外国语学校 3 月模拟题 16 3 已知抛物线 2 yaxbxc a 0 过 A 2 0 O 0 0 B 3 y1 C 3 y2 四点 则 y1 与 y2 的大小关系是 A 1 y 2 y B 1 y 2 y C 1 y 2 y D 不能确定 答案 A 17 2011 安徽省淮北市五校联考四模 8 4 关于 x 的函数 y a 5 x2 4x 1 与 x 轴有交点 则 a 满足 A a 1 B a 1 且 a 5 C a 1 且 a 5 D a 5 答案 A 18 2011 石家庄市 42 中中考模拟数学试题 10 2 已知二次函数 y ax2 bx c a 0 的图象如图 5 所示 下列结论 a 0 函数的对称轴为直线 1x 当 13xx 或 时 函数 y 的值都等于 0 其中正确结论的个数是 A 3 B 2 C 1 D 0 答案 B 19 2011 深圳市初中毕业生学业考试模拟题一 5 3 已知二次函数 y ax2 bx c a 0 的图象如图 3 所示 给出以下结论 a b c 0 a b c 0 b 2a0 其中所有正确结论的序号是 A B C D 答案 B 20 2011 昆山市第二学期调研测试试卷 10 3 已知二次函数 y ax2 bx c 中 其函数 y 与自变量 x 之间的部分对应值如下表所示 点 A x1 y1 B x2 y2 在函数的图象上 则当 0 x1 1 2 x2y2 C y10 则 N R 1 R 代入抛物线的表达式 解得 2 171 R 当直线 MN 在 x 轴下方时 设圆的半径为 r r 0 C D 2 R R r r 1 1 N N M M AB D Ox y 18 则 N r 1 r 代入抛物线的表达式 解得 2 171 r 圆的半径为 2 171 或 2 171 4 过点 P 作 y 轴的平行线与 AG 交于点 Q 易得 G 2 3 直线 AG 为 1 xy 设 P x 32 2 xx 则 Q x x 1 PQ 2 2 xx 3 2 2 1 2 xxSSS GPQAPQAPG 当 2 1 x 时 APG 的面积最大 此时 P 点的坐标为 4 15 2 1 8 27 的最大值为 APG S 4 2011 年杭州市第一次中考模拟考试 24 12 已知 如图 直线l 1 3 yxb 经过点 1 0 4 M 一组抛物线的顶点 112233 1 2 3 nn ByByByB ny n为正整数 依次是 直线l上的点 这组抛物线与x轴正半轴的交点依次是 11223311 0 0 0 0 nn A xA xA xAx n为正整数 设 1 01xdd 1 求b的值 2 求经过点 112 ABA 的抛物线的解析式 用含d的代数式表示 3 定义 若抛物线的顶点及抛物线与x轴的两个交点构成的三角形是直角三角形 则这种抛物线就称 为 美丽抛物线 探究 当 01dd 的大小变化时 这组抛物线中是否存在美丽抛物线 若存在 请你求出相应的d的值 y O M x n l 123 1 B 2 B 3 B n B 1 A 2 A 3 A 4 A n A 1n A 19 答案 解 1 1 0 4 M 在 1 3 yxb 上 11 0 43 b 1 4 b 2 由 1 得 11 34 yx 11 1 By 在l上 当 1x 时 1 117 1 3412 y 1 7 1 12 B 解法一 设抛物线表达式为 2 7 1 0 12 ya xa 又 1 xd 1 0 A d 2 7 0 1 12 a d 2 7 12 1 a d 经过点 112 ABA 的抛物线的解析式为 2 2 77 1 12 1 12 yx d 解法二 1 xd 1 0 A d 2 2 0 Ad 设 2 0 ya xdxd a A 把 1 7 1 12 B 代入 7 1 1 2 12 add A 得 2 7 12 1 a d 抛物线的解析式为 2 7 2 12 1 yxdxd d A 3 存在美丽抛物线 由抛物线的对称性可知 所构成的直角三角形必是以抛物线顶点为直角顶点的等腰直角三角形 此等 腰直角三角形斜边上的高等于斜边的一半 又 0 1d 等腰直角三角形斜边的长小于 2 等腰 直角三角形斜边上的高必小于 1 即抛物线的顶点的纵坐标必小于 1 当 1x 时 1 117 11 3412 y 当 2x 时 2 1111 21 3412 y 当 3x 时 3 111 311 344 y y O M x n l 123 1 B 2 B 3 B n B 1 A 2 A 3 A 4 A n A 1n A 20 美丽抛物线的顶点只有 12 BB 若 1 B 为顶点 由 1 7 1 12 B 则 75 1 1212 d 若 2 B 为顶点 由 2 11 2 12 B 则 1111 121 1212 d 5 2011 年江苏省盐城市射阳春季摸底考试 28 12 已知 在平面直角坐标系中 xOy 中 一次函数 y kx 6k 的图象与 x 轴交于点 A 抛物线 y ax bx c 经过 O A 两点 2 1 试用含 a 的代数式表示 b 2 设抛物线的顶点为 D 以 D 为圆心 DA 长为半径的圆被 x 轴分为劣弧和优弧两部分 若将劣弧沿 x 轴 翻折 翻折后的劣弧落在 D 内 它所在的圆恰好与 OD 相切 求 D 的半径长及抛物线的解析式 3 设点 B 是满足 2 中条件的优弧上的一个动点 抛物线在 x 轴上方的部分上是否存在这样的点 P 使得 POA 2 3 OBA 若存在 求出点 P 的坐标 若不存在 请说明理由 答案 1 A 6 0 b 6a 2 当 a 0 解得 OD 3 解得抛物线解析式为 y x 2x 2 1 3 2 当 a 0 解得 OD 3 解得抛物线的解析式为 y x 2x 2 1 3 2 综上 D 的半径为 3 抛物线的解析式为 y x 2x 或 y x 2x 2 1 3 2 1 3 2 3 抛物线在 x 轴上方的部分存在点 P 使 PDA 2 3 OBA 设点 P 的坐标为 x y 且 y 0 当点 P 在抛物线 y x 2x 上时 P 6 2 1 1 3 2 33 4 3 2 1 1 2 3 4 1 2 3 412345 6 O x y 21 当点 P 在抛物线 y x 2x 上时 P 6 2 1 1 3 2 33 综上 存在满足条件的点 P 点 P 的坐标为 6 2 1 或 6 2 1 3333 6 2011 年桂林市中考适应性检测题 26 12 如图所示 在平面直角坐标系 xoy 中 矩形 OABC 的边 长 OA OC 分别为 12cm 6cm 点 A C 分别在 y 轴的负半轴和 x 轴的正半轴上 抛物线 y ax2 bx c 经过 点 A B 且 18a c 0 1 求抛物线的解析式 2 如果点 P 由点 A 开始沿 AB 边以 1cm s 的速度向终点 B 移动 同时 点 Q 由点 B 开始沿 BC 边以 2cm s 的速度向终点 C 移动 移动开始后第 t 秒时 设 PBQ 的面积为 S 试写出 S 与 t 之间的函 数关系式 并写出 t 的取值范围 当 S 取得最大值时 在抛物线上是否存在点 R 使得以 P B Q R 为顶点的四边形是平行四边形 如果存在 求出 R 点的坐标 如果不 存在 请说明理由 答案 1 设抛物线的解析式为 cbxaxy 2 由题意知点 A 0 12 所以 12 c 又 18a c 0 3 2 a AB OC 且 AB 6 抛物线的对称轴是 3 2 a b x 4 b 所以抛物线的解析式为 124 3 2 2 xxy 2 9 3 6 6 2 2 1 22 tttttS t 的取值范围 60 t 当 3 t 时 S 取最大值为 9 这时点 P 的坐标 3 12 点 Q 坐标 6 6 若以 P B Q R 为顶点的四边形是平行四边形 有如下三种情况 当点 R 在 BQ 的左边 且在 PB 下方时 点 R 的坐标 3 18 将 3 18 代入抛物线的解析 式中 满足解析式 所以存在 点 R 的坐标就是 3 18 当点 R 在 BQ 的左边 且在 PB 上方时 点 R 的坐标 3 6 将 3 6 代入抛物线的解析式 中 不满足解析式 所以点 R 不满足条件 当点 R 在 BQ 的右边 且在 PB 上方时 点 R 的坐标 9 6 将 9 6 代入抛物线的解析式 中 不满足解析式 所以点 R 不满足条件 综上所述 点 R 坐标为 3 18 7 2011 齐齐哈尔中考数学一模 22 6 二次函数 y x2 bx c 的图象经过坐标原点 且与 x 轴交于 O APB Q x C y 22 A 2 0 1 求此二次函数解析式及顶点 B 的坐标 2 在抛物线上有一点 P 满足 S AOP 3 直接写出点 P 的坐标 答案 1 解 将 A O 两点坐标代入解析式 有 c 0 4 2b c 0 c 0 b 2 解析式是 y x2 2x 顶点 B 坐标 1 1 2 P1 3 3 P2 1 3 8 2011 张家港市二中一模 三 11 9 如图 二次函数 2 yxpxq 0p 的图象与x轴交于 AB 两点 与 y 轴交于点 01 C ABC 的面积为 5 4 1 求该二次函数的关系式 2 过y轴 上的一点 0 Mm 作 y 轴的垂线 若该垂线与 ABC 的外接圆有公共点 求m的取值范围 3 在 该二次函数的图象上是否存在点D 使四边形ACBD为直角梯形 若存在 求出点D的坐标 若不存 在 请说明理由 答案 1 2 3 1 2 yxx 2 5 4 m 5 4 3 存在 D 5 2 3 2 或 D 5 2 9 9 2011 年大田二中中考模拟 22 12 如图 1 Rt ABC 中 90A 3 tan 4 B 点P在线段 AB上运动 点Q R分别在线段BC AC上 且使得四边形APQR是矩形 设AP的长为x 矩形 APQR 的面积为 y 已知 y 是x的函数 其图象是过点 12 36 的抛物线的一部分 如图 2 所示 y x BA C O 23 1 求AB的长 2 当AP为何值时 矩形 APQR 的面积最大 并求出最大值 为了解决 1 这个问题 孔明和研究性学习小组的同学作了如下讨论 张明 图 2 中的抛物线过点 12 36 在图 1 中表示什么呢 李明 因为抛物线上的点 x y 是表示图 1 中AP的长与矩形 APQR 面积的对应关系 那么 12 36 表示当 12AP 时 AP的长与矩形 APQR 面积的对应关系 赵明 对 我知道纵坐标 36 是什么意思了 孔明 哦 这样就可以算出AB 问题 1 就可以解决了 请你完成问题 1 和问题 2 图 2 答案 1 16 2 AP 8 时 矩形 APQR 的面积最大 最大值为 48 10 2011 江苏省常州市中考模拟题 30 12 如图 在平面直角坐标系中 已知矩形 ABCD 的三个顶点 B 4 0 C 8 0 D 8 8 抛物线 y ax2 bx 过 A C 两点 1 直接写出点 A 的坐标 并求出抛物线的解析式 2 动点 P 从点 A 出发 沿线段 AB 向终点 B 运动 同时点 Q 从点 C 出发 沿线段 CD 向终点 D 运动 速度均为每秒 1 个单位长度 运动时间为 t 秒 过点 P 作 PE AB 交 AC 于点 E 过点 E 作 EF AD 于点 F 交抛物线于点 G 当 t 为何值时 线段 EG 最长 连接 EQ 在点 P Q 运动的过程中 判断有几个时刻使得 CEQ 是等腰三角形 请直接写出相应的 t 值 答案 1 点 A 的坐标为 4 8 将 A 4 8 C 8 0 两点坐标分别代入 y ax2 bx 8 16a 4b 得 0 64a 8b 解 得 a 1 2 b 4 抛物线的解析式为 y 1 2x2 4x R Q P C BA x y 12 36 O 24 2 在 Rt APE 和 Rt ABC 中 tan PAE PE AP BC AB 即 PE AP 4 8 PE 1 2AP 1 2t PB 8 t 点 的坐标为 4 1 2t 8 t 点 G 的纵坐标为 1 2 4 1 2t 2 4 4 1 2t 1 8t2 8 EG 1 8t2 8 8 t 1 8t2 t 1 8 0 当 t 4 时 线段 EG 最长为 2 共有三个时刻 t1 16 3 t2 40 13 t3 40 16 5 11 2011 潍坊中考一模 24 14 已知 抛物线 y ax2 bx c 的对称轴为 x 1 与x轴交于 A B 两点 与 y 轴交于点C 其中 A 3 0 C 0 2 1 求这条抛物线的函数表达式 2 已知在对称轴上存在一点 P 使得 PBC 的周长最小 请求出点 P 的坐标 3 若点 D 是线段 OC 上的一个动点 不与点 O 点 C 重合 过点 D 作 DE PC 交 x 轴于点 E 连接 PD PE 设 CD 的长为 m PDE 的面积为 s 求 s 与 m 之间的函数关系式 试说明 s 是否存在最大值 若 存在 请求出最大值 若不存在 请说明理由 答案 解 1 由题意知 B 1 0 可设 y a x 3 x 1 a x2 2x 3 ax2 2ax 3a a 0 3a 2 a 3 2 A C x y B O 25 从而 y 3 2 x2 3 4 x 2 2 连接 AC 交对称轴于点 P 由 A 3 0 C 0 2 得直线 AC y 3 2 x 2 令 x 1 得 y 3 4 点 P 1 3 4 3 S存在最大值 理由 DE PC 即DE AC OEDOAC ODOE OCOA 即 2 23 mOE OE 3 2 3 m 连结OP OEDPOEPODOEDPDOE SSSSSS 四边形 134113 32132 223222 mmmm 2 33 42 mm 3 0 4 当 1m 时 333 424 S 最大 12 2011 兰州市一模 25 12 已知 如图 抛物线 cbxaxy 2 的顶点 C 在以 D 2 2 为 圆心 4 为半径的圆上 且经过 D 与x轴的两个交点 A B 连结 AC BC OC 1 求点 C 的坐标 2 求图中阴影部分的面积 3 在抛物线上是否存在点 P 使 DP 所在直线平分线段 OC 若存在 求出点 P 的坐标 若不存在 请 说明理由 第 24 题图 O A C x y B E P D y x 图 13 O D C B A 26 答案 1 如图 作 CH x轴 垂足为 H 直线 CH 为抛物线对称轴 H 为 AB 的中点 CH 必经过圆心 D 2 2 DC 4 CH 6 C 点的坐标为 2 6 2 连结 AD 在 Rt ADH 中 AD 4 DH 2 30HAD 22 2 3AHADDH 6 分 120ADC 2 120416 3603 S 扇形D AC 11 2 344 3 22 DAC SAH CD A A 阴影部分的面积 16 4 3 3 DACDAC SSS A扇形 3 又 2 3AH H 点坐标为 2 0 H 为 AB 的中点 A 点坐标为 2 2 3 0 B 点坐标为 2 3 2 0 又 抛物线顶点 C 的坐标为 2 6 设抛物线解析式为 2 2 6ya x B 2 3 2 0 在抛物线上 2 2 322 60a 解得 1 2 a 抛物线的解析式为 2 1 2 6 2 yx 设 OC 的中点为 E 过 E 作 EF x轴 垂足为 F 连结 DE CH x轴 EF x轴 CH EF E 为 OC 的中点 11 3 1 22 EFCHOFOH 即点 E 的坐标为 1 3 设直线 DE 的解析式为 0 ykxb k 22 3 kb kb 解得 1 4kb 直线 DE 的解析式为 4yx 若存在 P 点满足已知条件 则 P 点必在直线 DE 和抛物线上 设点 P 的坐标为 m n 4nm 即点 P 坐标为 m 4m 2 1 4 2 6 2 mm 解这个方程 得 1 0m 2 6m 点 P 的坐标为 0 4 和 6 2 13 2011 兰州市四模 25 22 已知 抛物线 y ax2 bx c 与 x 轴交于 A B 两点 与 y 轴交于点 27 C 其中点 B 在 x 轴的正半轴上 点 C 在 y 轴的正半轴上 线段 OB OC 的长 OB OC 是方程 x2 10 x 16 0 的两个根 且抛物线的对称轴是直线 x 2 1 求 A B C 三点的坐标 2 求此抛物线的表达式 3 求 ABC 的面积 4 若点 E 是线段 AB 上的一个动点 与点 A 点 B 不重合 过点 E 作 EF AC 交 BC 于点 F 连接 CE 设 AE 的长为 m CEF 的面积为 S 求 S 与 m 之间的函数关系式 并写出自变量 m 的取值范围 5 在 4 的基础上试说明 S 是否存在最大值 若存在 请求出 S 的最大值 并求出此时点 E 的坐标 判断此时 BCE 的形状 若不存在 请说明理由 答案 解 1 解方程 x2 10 x 16 0 得 x1 2 x2 8 点 B 在 x 轴的正半轴上 点 C 在 y 轴的正半轴上 且 OB OC 点 B 的坐标为 2 0 点 C 的坐标为 0 8 又 抛物线 y ax2 bx c 的对称轴是直线 x 2 由抛物线的对称性可得点 A 的坐标为 6 0 A B C 三点的坐标分别是 A 6 0 B 2 0 C 0 8 2 点 C 0 8 在抛物线 y ax2 bx c 的图象上 c 8 将 A 6 0 B 2 0 代入表达式 y ax2 bx 8 得 Error Error 解得Error Error 所求抛物线的表达式为 y x2 x 8 2 3 8 3 3 AB 8 OC 8 S ABC 8 8 32 1 2 4 依题意 AE m 则 BE 8 m OA 6 OC 8 AC 10 EF AC BEF BAC 即 EF EF AC BE AB EF 10 8 m 8 40 5m 4 过点 F 作 FG AB 垂足为 G 则 sin FEG sin CAB 4 5 28 FG 8 m FG EF 4 5 4 5 40 5m 4 S S BCE S BFE 8 m 8 8 m 8 m 1 2 1 2 8 m 8 8 m 8 m m m2 4m 1 2 1 2 1 2 自变量 m 的取值范围是 0 m 8 5 存在 理由 S m2 4m m 4 2 8 且 0 1 2 1 2 1 2 当 m 4 时 S 有最大值 S 最大值 8 m 4 点 E 的坐标为 2 0 BCE 为等腰三角形 14 2011 兰州市三模 19 6 已知二次函数 2 23yaxaxa 的图象与x轴交于 A B 两点 且经过 C 1 2 求点 A B 的坐标和a的值 答案 令 0y 得 2 230axaxa 0a 2 12 2301 3xxxx A 1 0 B 3 0 再将点 C 的坐标代入函数式可得 1 2 a 15 2011 兰州市三模 25 12 已知 在 Rt ABO 中 OAB 90 BOA 30 AB 2 若以 O 为坐标原 点 OA 所在直线为x轴 建立如图所示平面直角坐标系 点 B 在第一象限内 将 Rt ABO 沿 OB 折叠后 点 A 落在第一象限内的点 C 处 1 求点 C 的坐标 2 若抛物线 2 0yaxbx a 经过 C A 两点 求此抛物线的解析式 3 若上述抛物线的对称轴与 OB 交于点 D 点 P 为线段 DB 上一动点 过 P 作 y 轴的平行线 交抛物线于点 29 M 问 是否存在这样的点 P 使得四边形 CDPM 为很等腰梯形 若存在 请求出此时点 P 的坐标 若不存在 请说明理由 答案 1 点 C 3 3 2 抛物线的解析式为 2 2 3yxx 3 存在 此时点 P 为 44 3 33 16 2011 兰州市二模 29 10 一名篮球运动员传球 球沿抛物线 y x2 2x 4 运行 传球时 球的 出手点 P 的高度为 1 8 米 一名防守队员正好处在抛物线所在的平面内 他原地竖直起跳的最大高度为 3 2 米 问 1 球在下落过程中 防守队员原地竖直起跳后在到达最大高度时刚好将球断掉 那么传球时 两人相距多少米 2 要使球在运行过程中不断防守队员断掉 且仍按抛物线 y x2 2x 4 运行 那么两人间的距 离应在什么范围内 结果保留根号 答案 当 y 1 8 米时则有 2 1 824xx 2 22 20 xx 解得 1 4 5 1 5 x 2 4 5 1 5 x 当 y 3 2 米时则有 2 3 224xx 2 20 80 xx 解得 1 3 5 1 5 x 2 3 5 1 5 x 所以两人的距离为 C B A y Ox P A B C 30 AC 1 3 5 1 5 x 4 5 1 5 7 5 5 2 由 1 可知 当 y 1 8 米时 有 1 4 5 1 5 x 2 4 5 1 5 x 当 y 3 2 时 有 1 3 5 1 5 x 2 3 5 1 5 x 3 54 55 11 555 3 54 57 5 11 555 57 5 55 BC 两人之间的距离在 5 5 到 7 5 5 之间 17 2011 杭州市上城区一模 24 12 如图所示 在平面直角坐标系 xOy 中 正方形 OABC 的边长为 2cm 点 A C 分别在 y 轴的负半轴和 x 轴的正半轴上 抛物线 y ax2 bx c 经过点 A B 和 D 2 4 3 1 求抛物线的解析式 2 如果点 P 由点 A 出发沿 AB 边以 2cm s 的速度向点 B 运动 同 时点 Q 由点 B 出发沿 BC 边以 1cm s 的速度向点 C 运动 当其中一点到达终点时 另一点也随之停止运动 设 S PQ2 cm2 试求出 S 与运动时间 t 之间的函数关系式 并写出 t 的取值范围 当 S 取 5 4时 在抛物线上是否存在点 R 使得以 P B Q R 为顶点的四边形是平行四边形 如果存在 求出 R 点的坐标 如果不存在 请说明理由 3 在抛物线的对称轴上求点 M 使得 M 到 D A 的距离之差 最大 求出点 M 的坐标 答案 1 据题意知 A 0 2 B 2 2 D 4 3 2 则 解得 抛物线的解析式为 2 3 1 6 1 2 xxy 3 分 三个系数中 每对 1 个得 1 分 2 由图象知 PB 2 2t BQ t S PQ2 PB2 BQ2 2 2t 2 t2 即 S 5t2 8t 4 0 t 1 2 分 解析式和 t 取值范围各 1 分 假设存在点 R 可构成以 P B R Q 为顶点的平行四边形 第 24 题 31 S 5t2 8t 4 0 t 1 当 S 4 5 时 5t2 8t 4 4 5 得 20t2 32t 11 0 解得 t 2 1 t 10 11 不合题意 舍去 此时点 P 的坐标为 1 2 Q 点的坐标为 2 2 3 若 R 点存在 分情况讨论 A 假设 R 在 BQ 的右边 这时 QRPB 则 R 的横坐标为 3 R 的纵坐标为 2 3 即 R 3 2 3 代入 2 3 1 6 1 2 xxy 左右两边相等 这时存在 R 3 2 3 满足题意 B 假设 R 在 BQ 的左边 这时 PRQB 则 R 的横坐标为 1 纵坐标为 2 3 即 1 2 3 代入 2 3 1 6 1 2 xxy 左右两边不相等 R 不在抛物线上 C 假设 R 在 PB 的下方 这时 PRQB 则 R 1 2 5 代入 2 3 1 6 1 2 xxy 左右不相等 R 不在抛物线上 综上所述 存点一点 R 3 2 3 满足题意 3 A 关于抛物线的对称轴的对称点为 B 过 B D 的直线与抛物线的对称轴的交点为所求 M M 的坐标 为 1 3 8 18 2011 海南省一模 24 13 已知 如图 8 等腰梯形 ABCD 的边 BC 在 x 轴上 点 A 在 y 轴的正方 向上 A 0 6 D 4 6 且 AB 2 10 1 求点 B 的坐标 2 求经过 A B D 三点的抛物线的解析式 3 在 2 中所求的抛物线上是否存在一点 P 使得 S PBC S 梯形 ABCD 若存在 请求出该点坐标 若不存在 请说明理由 1 2 32 答案 1 B 2 0 2 62 2 1 2 xxy 3 存在 当 y 0 时 062 2 1 2 xx 6 2 21 xx D 6 0 设点 P 的纵坐标为 y BC 8 AD 4 6 48 2 1 8 2 1 y y 9 当 y 9 时 962 2 1 2 xx 此方程无实数解 当 y 9 时 962 2 1 2 xx 解得 342 x 所以 P 点的坐标为 9 342 或 9 342 19 2011 宁波七中 3 月模拟题 26 12 如图 抛物线 y ax2 bx 4 与 x 轴的两个交点分别为 A 4 0 B 2 0 与 y 轴交于点 C 顶点为 D E 1 2 为线段 BC 的中点 BC 的垂直平分线与 x 轴 y 轴分别交于 F G 1 求抛物线的函数解析式 并写出顶点 D 的坐标 2 在直线 EF 上求一点 H 使 CDH 的周长最小 并求出最小周长 3 若点 K 在 x 轴上方的抛物线上运动 当 K 运动到什么位置时 EFK 的面积最大 并求出最大面积 答案 1 由题意 得 0424 04416 ba ba 解得 2 1 a b 1 所以抛物线的解析式为 4 2 1 2 xxy 顶点 D 的坐标为 1 2 9 2 设抛物线的对称轴与 x 轴交于点 M 因为 EF 垂直平分 BC 即 C 关于直线 EG 的对称点为 B 连结 BD 交于 EF 于一点 则这一点为所求点 H 使 DH CH 最小 即最小为 DH CH DH HB BD 13 2 3 22 DMBM 而 2 5 4 2 9 1 22 CD CDH 的周长最小值为 CD DR CH 2 1335 图 8 C E D G A x y OBF 33 设直线 BD 的解析式为 y k1x b 则 2 9 02 11 11 bk bk 解得 2 3 1 k b1 3 所以直线 BD 的解析式为 y 2 3 x 3 由于 BC 2 5 CE BC 2 5 Rt CEG COB 得 CE CO CG CB 所以 CG 2 5 GO 1 5 G 0 1 5 同理可求得直线 EF 的解析式为 y 2 1 x 2 3 联立直线 BD 与 EF 的方程 解得使 CDH 的周长最小的点 H 4 3 8 15 3 设 K t 4 2 1 2 tt xF t xE 过 K 作 x 轴的垂线交 EF 于 N 则 KN yK yN 4 2 1 2 tt 2 1 t 2 3 2 5 2 3 2 1 2 tt 所以 S EFK S KFN S KNE 2 1 KN t 3 2 1 KN 1 t 2KN t2 3t 5 t 2 3 2 4 29 即当 t 2 3 时 EFK 的面积最大 最大面积为 4 29 此时 K 2 3 8 35 20 2011 安徽省淮北市五校联考四模 23 14 在平面直角坐标系中 已知 4 0 A 10 B 且以 AB为直径的圆交y轴的正半轴于点 0 2 C 过点C作圆的切线交x轴于点D 1 求过A BC 三点的抛物线的解析式 2 求点D的坐标 3 设平行于x轴的直线交抛物线于E F 两点 问 是否存在以线段EF为直径的圆 恰好与x轴相 切 若存在 求出该圆的半径 若不存在 请说明理由 答案 解 1 令二次函数 2 yaxbxc 则 1640 0 2 abc abc c y x O C DB A 4 1 2 34 1 2 3 2 2 a b c 过ABC 三点的抛物线的解析式为 2 13 2 22 yxx 2 以AB为直径的圆圆心坐标为 O 1 5 0 5 2 O C 3 2 O O CD 为圆 O 切线 O C CD O CO DCO 90 90CO OO CO CO ODCO O COCDO O O OCOC OD 3 22 2 OD 8 3 OD D 坐标为 8 3 0 3 存在 抛物线对称轴为直线 3 2 X 设满足条件的圆的半径为 r 则E的坐标为 3 2 rr 或 3 2 Frr 而E点在抛物线 2 13 2 22 yxx 上 2 1333 2 2222 rrr 1 29 1 2 r 2 29 1 2 r 故存在以EF为直径恰好与x轴相切的圆 该圆的半径为 29 1 2 或 29 1 2 21 2011 珠海市香洲区中考模拟试卷 22 9 如图 抛物线 kxxy 2 2 与 x 轴交于 A B 两点 与 y 轴交于点 C 0 3 图 14 2 图 14 3 为解答备用图 1 k 点 A 的坐标为 点 C 的坐标为 35 2 设抛物线 kxxy 2 2 的顶点为 M 求四边形 ABMC 的面积 3 在 x 轴下方的抛物线上是否存在一点 D 使四边形 ABDC 的面积最大 若存在 请求出点 D 的坐标 若 不存在 请说明理由 答案 解 1 3k A 1 0 B 3 0 2 如图 14 2 抛物线的顶点为 M 1 4 连结 OM 则 AOC 的面积 2 3 MOC 的面积 2 3 MOB 的面积 6 四边形 ABMC 的面积 AOC 的面积 MOC 的面积 MOB 的面积 9 说明 也可过点 M 作抛物线的对称轴 将四边形 ABMC 的面 积转化为求 1 个梯形与 2 个直角三角形面积的和 3 如图 14 3 设 D m 32 2 mm 连结 OD 则 0 m 3 32 2 mm 0 且 AOC 的面积 2 3 DOC 的面积 m 2 3 22 2011 岱山县中考一模 24 12 已知如图 矩形 OABC 的长 OA 3 宽 OC 1 将 AOC 沿 AC 翻折得 APC 1 求 PCB 的度数 2 若 P A 两点在抛物线 y 4 3x2 bx c 上 求 b c 的值 并说 明点 C 在此抛物线上 3 2 中的抛物线与矩形 OABC 边 CB 相交于点 D 与 x 轴相交于 另外一点 E 若点 M 是 x 轴上的点 N 是 y 轴上的点 以点 E M D N 为顶点的四边形是平行四边形 试求点 M N 的坐标 答案 1 PCB 30 图 14 3 36 2 13 3 4 2 xxy 点 C 0 1 满足上述函数关系式 所以点 C 在抛物线上 3 若 DE 是平行四边形的对角线 点 C 在 y 轴上 CD 平行 x 轴 过点 D 作 DM CE 交 x 轴于 M 则四边形 EMDC 为平行四边形 把 y 1 代入抛物线解析式得点 D 的坐标为 4 33 1 把 y 0 代入抛物线解析式得点 E 的坐标为 4 3 0 M 2 3 0 N 点即为 C 点 坐标是 0 1 若 DE 是平行四边形的边 则 DE 2 DEF 30 过点 A 作 AN DE 交 y 轴于 N 四边形 DANE 是平行四边形 M 3 0 N 0 1 同理过点 C 作 CM DE 交 y 轴于 N 四边形 CMDE 是平行四边形 M 3 0 N 0 1 23 2011 广东省模拟卷 23 12 如图 已知关于x的一元二次函数 2 yxbxc 0c 的图象与 x轴相交于A B两点 点A在点B的左侧 与y轴交于点C 且3OBOC 顶点为M 求出一元二次函数的关系式 点P为线段MB上的一个动点 过点P作x轴的垂线PD 垂足为D 若OD m PCD 的面积为 S 求S关于m的函数关系式 并写出m的取值范围 探索线段MB上是否存在点P 使得 PCD 为直角三角形 如果存在 求出P的坐标 如果不存在 请说明理由 答案 3 0 B 0 3 C 3 930 c bc 得 2 3 b c 所以 2 23yxx 第 23 题 Ox y B M C A P D 37 易得 1 4 M 设MB ykxd 则 30 4 kd kd 得 2 6 k d 所以 26yx 所以 26 P mm 2 1 26 3 2 Smmmm 1 3m 存在 在 PCD 中 PDC 是锐角 当 90DPC 时 CDODCP 得矩形CODP 由 263m 解得 3 2 m 所以 3 3 2 P 当 90PCD 时 CODDCP 此时 2 CDCO PD 即 2 93 26 mm 2 690mm 解 得 33 2m 因为1 3m 所以 3 21 m 所以 3 23 6 22 P 24 2011 盐城市九年级质量监测题 22 10 已知抛物线 cbxaxy 2 与 y 轴交于点 A 0 3 与 x 轴分别交于 B 1 0 C 5 0 两点 1 求此抛物线的解析式 2 若点 D 为线段 OA 的一个三等分点 求直线 DC 的解析式 3 若一个动点 P 自 OA 的中点 M 出发 先到达 x 轴上的某点 设为点 E 再到达抛物线的对称轴上某 点 设为点 F 最后运动到点 A 请直接写出使点 P 运动的总路径最短的点 E 点 F 的坐标 并直接写出 这个最短总路径的长 答案 1 设抛物线的解析式为 y ax2 bx c 它过点 A 0 3 B 1 0 C 5 0 c 3 a b c 0 25a 5b c 0 解得 a 3 5 18 5 3 2 xxy b 3 5 18 5 3 2 xxy c 3 38 抛物线的解析式为 3 5 18 5 3 2 xxy 2 线段 OA 的三等分点为 D 0 1 或 0 2 当点 D 为 0 1 时 利用待定系数法 略 可求得直线 DC 的解析式为 1 5 1 xy 当点 D 为 0 2 时 同理可得直线 DC 的解析式为 2 5 2 xy 3 点 E 2 0 点 F 3 4 3 最短总路径的长为 2 15 25 2011 盐城市初级中学一模 28 12 如图 在平面直角坐标系 xOy 中 半径为 1 的圆的圆心O在 坐标原点 且与两坐标 轴分别交于A BCD 四点 抛物线 2 yaxbxc 与 y 轴交于点D 与直 线 yx 交于点M N 且MA NC 分别与圆O相切于点A和点C 1 求抛物线的解析式 2 抛物线的对称轴交x轴于点E 连结DE 并延长DE交圆O于F 求EF的长 3 过点B作圆O的切线交DC的延长线于点P 在抛物线上找一点 Q 使 BDQ 的面积与 BDP 的面 积相等 求点 Q 的坐标 答案 1 1 2 xxy 2 10 53 3 2 5 25 2011 年石家庄市初中毕业班调研检测 22 9 如图 已知抛物线与 x 轴交于点 A 1 0 E 3 0 与 y 轴交于点 B 且该函数的最大值是 4 1 抛物线的顶点坐标是 2 求该抛物线的解析式和 B 点的坐标 3 设抛物线顶点是 D 求四边形 AEDB 的面积 4 若抛物线 2 ymxnxp 与上图中的 抛物线关于 x 轴对称 请直接写出 m 的值 O x y N C D E F B M A x y O D B A E 39 答案 1 1 4 2 设抛物线的解析式为 2 ya xhk 抛物线顶点坐标为 1 4 2 1 4ya x 又 抛物线过点 A 1 0 044 a 解得 a 1 2 23yxx 或 2 1 4yx 为所求 当 x 0 时 y 3 B 0 3 3 过点 D 作 DH x 轴于点 H A 1 0 B 0 3 OA 1 OB 3 S AOB 2 1 OA OB 2 3 又 D 1 4 E 3 0 DH 4 EH 2 S DHE 2 1 DH HE 4 又 B 0 3 D 1 4 S 梯形 BOHD 2 1 OB DH OH 2 7 S 四边形 AEDB S AOB S 梯形 BOHD S DHE 9 4 m 1 26 2011 石家庄市 42 中中考模拟数学试题 22 9 已知反比例函数 y 的图象与二次函数 k x y ax2 x 1 的图象相交于点 2 2 1 求 a 和 k 的值 2 反比例函数的图象是否经过二次函数图象的顶点 为什么 答案 1 4 1 4 ak 2 过顶点 27 2011 深圳市初中毕业生学业考试模拟题一 22 10 如图 已知抛物线的顶点坐标为 M 1 4 且 经过点 N 2 3 与 x 轴交于 A B 两点 点 A 在点 B 左侧 与 y 轴交于点 C 1 求抛物线的解析式及点 A B C 的坐标 2 若直线 y kx t 经过 C M 两点 且与 x 轴交于点 D 试证明四边形 CDAN 是平行四边形 3 点 P 在抛物线的对称轴 x 1 上运动 请探索 在 x 轴上方是否存在这样的 P 点 使以 P 为圆心的圆 经过 A B 两点 并且与直线 CD 相切 若存在 请求出点 P 的坐标 若不存在 请说明理由 M 40 答案 1 2 23yxx A 1 0 B 3 0 C 0 3 2 y x 3 证明 AD CN AD CN 可得 3 假设存在 设 PE m 则 PM 4 m 过点 P 作 PF DM 于点 F 则 PF PA 4 2 m M 45 度 222 4 2 2 m m 解得 m 2 6 4 存在 P 点的坐标为 1 2 6 4 28 2011 山西大学附中年 3 月九年级数学月考试题 24 10 已知 如图所示 关于x的抛物线 2 0 yaxxc a 与x轴交于点 2 0 A 点 6 0 B 与 y 轴交于点C 1 求出此抛物线的解析式 并写出顶点坐标 2 在抛物线上有一点D 使四边形ABDC为等腰梯形 写出点D的坐标 并求出直线AD的解析式 3 在 2 中的直线AD交抛物线的对称轴于点M 抛物线上有一动点P x轴上有一动点Q 是 否存在以 AMPQ 为顶点的平行四边形 如果存在 请直接写出点Q的坐标 如果不存在 请说 明理由 答案 29 2011 山东省青州市中考数学模拟试卷 25 12 如图 在平面直角坐标系中 顶点为 4 1 的抛物线交 y 轴于A点 交x轴于B C两点 点B在点C的左侧 已知A点坐标为 0 3 1 求此抛物线的解析式 2 过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D 如果以点C为圆心的圆与直线BD相切 请判断抛物 线的对称轴l与 C有怎样的位置关系 并给出证明 BAO C y x 41 3 已知点P是抛物线上的一个动点 且位于A C两点之间 问 当点P运动到什么位置时 PAC 的面积最大 并求出此时P点的坐标和 PAC 的最大面积 答案 1 解 设抛物线为 2 4 1ya x 抛物线经过点A 0 3 2 3 04 1a 1 4 a 抛物线为 22 11 4 123 44 yxxx 2 答 l与 C相交 证明 当 2 1 4 10 4 x 时 1 2x 2 6x B为 2 0 C为 6 0 22 3213AB 设 C与BD相切于点E 连接CE 则 90BECAOB 90ABD 90CBEABO 又 90BAOABO BAOCBE AOB BEC CEBC OB