点线面位置关系练习题

点线面位置关系知识点总结点线面位置关系知识点总结 空间中的平行问题空间中的平行问题 1 直线与平面平行的判定及其性质 直线与平面平行的判定及其性质 线面平行的判定定理 平面外一条直线与此平面内一条直线平行 则该直线与此平面平行 线线平行 线面平行 线面平行的性质定理 如果一条直线和一个平面平行 经过这条直线的平面和这个平面 相交 那么这条直线和交线平行 线面平行 线线平行 2 平面与平面平行的判定及其性质 平面与平面平行的判定及其性质 两个平面平行的判定定理 如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面 那么这两个平面平行 线面平行 面面平行 如果在两个平面内 各有两组相交直线对应平行 那么这两个平面平行 线线平行 面 面平行 垂直于同一条直线的两个平面平行 两个平面平行的性质定理 如果两个平面平行 那么某一个平面内的直线与另一个平面平行 面面平行 线面平行 如果两个平行平面都和第三个平面相交 那么它们的交线平行 面面平行 线线平行 空间中的垂直问题空间中的垂直问题 1 线线 面面 线面垂直的定义 线线 面面 线面垂直的定义 两条异面直线的垂直 如果两条异面直线所成的角是直角 就说这两条异面直线互相垂 直 线面垂直 如果一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直 就说这条直线和这个平面 垂直 平面和平面垂直 如果两个平面相交 所成的二面角 从一条直线出发的两个半平面所 组成的图形 是直二面角 平面角是直角 就说这两个平面垂直 2 垂直关系的判定和性质定理 垂直关系的判定和性质定理 线面垂直判定定理和性质定理 判定定理 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直 那么这条直线垂直这个平 面 性质定理 如果两条直线同垂直于一个平面 那么这两条直线平行 面面垂直的判定定理和性质定理 判定定理 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线 那么这两个平面互相垂直 性质定理 如果两个平面互相垂直 那么在一个平面内垂直于他们的交线的直线垂直于另 一个平面 空间角问题空间角问题 1 直线与直线所成的角 直线与直线所成的角 两平行直线所成的角 规定为 两条相交直线所成的角 两条直线相交其中不大于直角的角 叫这两条直线所成的角 两条异面直线所成的角 过空间任意一点 O 分别作与两条异面直线 a b 平行的直 0 ab 线 形成两条相交直线 这两条相交直线所成的不大于直角的角叫做两条异面直线所成的 角 2 直线和平面所成的角 直线和平面所成的角 平面的平行线与平面所成的角 规定为 平面的垂线与平面所成的角 规定为 平面的斜线与平面所成的角 平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角 叫做这 条直线和这个平面所成的角 求斜线与平面所成角的思路类似于求异面直线所成角 一作 二证 三计算 在 作角 时依定义关键作射影 由射影定义知关键在于斜线上一点到面的垂线 解题时 注意挖掘题设中两个信息 斜线上一点到面的垂线 过斜线上的一点或过斜 线的平面与已知面垂直 由面面垂直性质易得垂线 3 二面角和二面角的平面角 二面角和二面角的平面角 二面角的定义 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角 这条直线叫做 二面角的棱 这两个半平面叫做二面角的面 二面角的平面角 以二面角的棱上任意一点为顶点 在两个面内分别作垂直于棱的两条 射线 这两条射线所成的角叫二面角的平面角 直二面角 平面角是直角的二面角叫直二面角 两相交平面如果所组成的二面角是直二 面角 那么这两个平面垂直 反过来 如果两个平面垂直 那么所成的二面角为直二面角 求二面角的方法 定义法 在棱上选择有关点 过这个点分别在两个面内作垂直于棱的射线得到平面角 垂面法 已知二面角内一点到两个面的垂线时 过两垂线作平面与两个面的交线所成的角 为二面角的平面角 0 90 练习题 一 选择题 每小题 4 分 共 52 分 1 已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱 其底面是正方形 且侧棱垂直于底面 高为 4 体积为 则这个球的表面积是 16 16 20 24 32 2 已知在四面体中 分别是的中点 若 则与ABCD E F AC BD2 4 ABCDEFAB EF 所成CD 的角的度数为 9045 6030 3 三个平面把空间分成部分时 它们的交线有 7 条 条 12 条 条或条312 4 在长方体 底面是边长为的正方形 高为 则点到截面 1111 ABCDABC D 24 1 A 的距离为 11 AB D A B 8 3 3 8 C D 4 3 3 4 5 直三棱柱中 各侧棱和底面的边长均为 点是上任意一点 连 111 ABCABC aD 1 CC 接 则三棱锥的体积为 11 AB BD AD AD 1 AABD A B 3 6 1 a 3 12 3 a C D 3 6 3 a 3 12 1 a 6 下列说法不正确的是 A 空间中 一组对边平行且相等的四边形是一定是平行四边形 B 同一平面的两条垂线一定共面 C 过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直 且这些直线都在同一个平面内 D 过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直 7 设是两条不同的直线 是三个不同的平面 给出下列四个命题 m n 若 则 若 则m n nm m m 若 则 若 则m n mn 其中正确命题的序号是 A 和 B 和 C 和 D 和 8 若长方体的三个面的对角线长分别是 则长方体体对角线长为 a b c A B 222 abc 222 1 2 abc C D 222 2 2 abc 222 3 2 abc 9 在三棱锥中 底面 ABCD AC 0 30BCD BDDC BDDC ACaABC 则点到平面的距离是 CABD A B C D 5 5 a 15 5 a 3 5 a 15 3 a 10 在正方体中 若是的中点 则直线垂直于 1111 ABCDABC D E 11 ACCE A B C D ACBD 1 AD 11 AD 11 三棱锥的高为 若三个侧面两两垂直 则为 的 PABC PHHABC A 内心 B 外心 C 垂心 D 重心 12 在四面体中 已知棱的长为 其余各棱长都为 则二面角ABCDAC21 的余弦值为 ACDB A B C D 1 2 1 3 3 3 2 3 13 四面体中 各个侧面都是边长为的正三角形 分别是和的中SABC a E FSCAB 点 则异面直线与所成的角等于 EFSA A B C D 0 90 0 60 0 45 0 30 二 填空题 每小题 4 分 共 20 分 1 点到平面的距离分别为和 则线段的中点到平面的距离为 A B 4cm6cmABM 2 从正方体的八个顶点中任取三个点为顶点作三角形 其中直角三角形的个数为 3 一条直线和一个平面所成的角为 则此直线和平面内不经过斜足的所有直线所成的 0 60 角中最大的角是 4 正四棱锥 顶点在底面的射影是底面正方形的中心 的体积为 底面对角线的长为12 则侧面与底面所成的二面角等于 2 6 5 在正三棱锥 顶点在底面的射影是底面正三角形的中心 中 PABC 过作与分别交于和的截面 则截面的周长的最4 8ABPA A PB PCDE ADE 小值是 三 解答题 1 已知直线 且直线与都相交 求证 直线共面 15 分 bca b c a b c 2 如图 是平行四边形平面外一点 分别是上的点 且 SABCD M N SA BD SM AM 求证 平面 15 分 ND BN MNSBC 3 正方体中 是的中点 求证 平面平 1111 ABCDABC D M 1 AAMBD 面 15 分 BDC 4 求证 三个两两垂直的平面的交线两两垂直 15 分 5 在三棱锥中 是边长为的正三角形 平面平面SABC ABC4SAC 分别为的中点 18 分 2 3ABC SASC MN AB SB 证明 ACSB 求二面角 的大小 NCMB 求点到平面的距离 BCMN 参考答案参考答案 一 选择题 1 C 正四棱柱的底面积为 正四棱柱的底面的边长为 正四棱柱的底面的对角线为42 正四棱柱的对角线为 而球的直径等于正四棱柱的对角线 即2 22 6 22 6R 2 6 424RSR 球 2 D 取的中点 则则与所成的角BCG1 2 EGFGEFFG EFCD 0 30EFG 3 C 此时三个平面两两相交 且有三条平行的交线 4 C 利用三棱锥的体积变换 则 111 AAB D 1111 11 AAB DA A B D VV 11 2 46 33 h 5 B 11 22 1133 332212 A A BDD A BA aaa VVSh 6 D 一组对边平行就决定了共面 同一平面的两条垂线互相平行 因而共面 这些直线 都在同一个平面内即直线的垂面 把书本的书脊垂直放在桌上就明确了 7 A 若 则 而同平行同一个平面的两条直线有三种位置关m n mn 系 若 则 而同垂直于同一个平面的两个平面也可以相交 8 C 设同一顶点的三条棱分别为 则 x y z 222222222 xyayzbxzc 得 则对角线长为 222222 1 2 xyzabc 222222 12 22 abcabc 9 B 作等积变换 A BCDC ABD VV 10 B 垂直于在平面上的射影BDCEABCD 11 C BCPABCAH 12 C 取的中点 取的中点 ACECDF 123 222 EFBEBF 3 cos 3 EF BF 13 C 取的中点 则 在 中 SBG 2 a GEGF SFC 2 2 EFa 0 45EFG 二 填空题 1 或 分在平面的