等差数列前n项和教案

1 等差数列前 n 项和 一 目标分析 1 教学目标 依据教学大纲的教学要求 渗透新课标理念 并结合以上学情分析 我制定了如下 教学目标 知识技能知识技能 1 掌握等差数列前 n 项和公式 2 掌握等差数列前 n 项和公式的推导过程 3 会简单运用等差数列的前 n 项和公式 数学思考数学思考 1 通过对等差数列前 n 项和公式的推导过程 渗透倒序相加求和的数学方法 2 通过公式的运用体会方程的思想 3 通过运用公式的过程 提高学生类比化归 数形结合的能力 解决问题解决问题 创设由探索 1 2 3 100 的和 推广到探索一般的等差数列前 n 项和 的求和公式的情景 使学生进一步体会从特殊到一般的数学 nn aaaas 321 研究方法 并使学生在反馈练习的过程中 进一步提高问题解决的能力 情感态度情感态度 结合具体模型 将教材知识和实际生活联系起来 使学生感受数学的实用性 有效激发学 习兴趣 并通过对等差数列求和历史的了解 渗透数学史和数学文化 2 2 教学重点 难点 教学重点 难点 重点重点 等差数列前 n 项和公式的推导和应用 难点难点 等差数列前 n 项和公式的推导过程中渗透倒序相加的思想方法 重 难点解决的方法策略重 难点解决的方法策略 本课在设计上采用了由特殊到一般 从具体到抽象的教学策略 利用数形结合 类比 归纳的思想 层层深入 通过学生自主探究 分析 整理出推导公式的不同思路 同时 借助多媒体的直观演示 帮助学生理解 并通过范例后的变式训练和教师的点拨引导 师 生互动 讲练结合 从而突出重点 突破教学难点 二 教学模式与教法 学法二 教学模式与教法 学法 本课采用 探究探究 发现发现 教学模式 教师的教法教师的教法突出活动的组织设计与方法的引导 学生的学法学生的学法突出探究 发现与交流 2 三 过程设计三 过程设计 结合教材知识内容和教学目标 本课的教学环节及时间分配如下 图片欣赏图片欣赏 数形结合数形结合 新课引入新课引入 类比化归类比化归 前后呼应前后呼应 公式应用公式应用 前后呼应前后呼应 知识回顾知识回顾 四 教学过程四 教学过程 教学教学 环节环节 活活 动动 说说 明明 创设情境 创设情境 问题 1 首先让学生欣赏一幅美丽的图片 泰姬陵 泰姬陵是印度著名的旅游景 点 传说中陵寝中有一个三角形的图案嵌 有大小相同的宝石 共有 100 层 同时提 出第一个问题 你能计算出这个图案一共 花了多少颗宝石吗 也即计算 1 2 3 100 问题 2 一个堆放铅笔的 V 形架的最下面 一层放一支铅笔 往上每一层都比它下面 一层多放一支 最上面一层放 100 支 这个 V 形架上共放着多少支铅笔 问题就是 求 1 2 3 4 100 现实模型 现实模型 图片欣赏 生活实例 模 型 直 观 用实际 生活引 入新课 新课引入新课引入 教教 师师 活活 动动学学 生生 活活 动动 创设情景创设情景 提出问题提出问题 2 2 分钟 分钟 探究等差数列探究等差数列 前前 n 项和公式项和公式 18 分钟 分钟 公式应用与公式应用与 议练活动议练活动 1 5 分钟 分钟 公式的认识公式的认识 与理解与理解 4 分钟 分钟 公式应用与公式应用与 议练活动议练活动 2 9 分钟 分钟 归纳总结归纳总结 2 分钟 分钟 3 首先认识一位伟大的数学家 高斯 然后提出问题 高斯是如何快速计算 1 2 3 4 100 设等差数列 前 n 项和为 则 n a n S 问题问题 1 1 老师老师 利用高斯算法如何求等差数列的前 n 项和公式 老师老师 但是否刚好配对成功呢 1 n 为偶数时 2 n 为奇数时 老师 老师 那么该如何解决落单的呢 2 1 n a 同过对 n 取值的讨论 得到了前 n 项和求和公式 但是对 n 讨论麻烦了 能否有更好 的方法求前 n 项和公式呢 接下来给出实 际问题 伐木工人是如何快速计算堆放在 木场的木头根数呢 问题问题 2 2 如何用倒置的思想求等差数列前 n 项和呢 方法一 方法一 学生 1 100 101 2 99 101 50 51 101 所以原式 50 1 101 5050 学生学生 将首末两项配对 第二项与倒数第二项配对 以此类推 每一对的和都 相等 并且都等于 学生学生 不一定 需要对 n 取值的奇偶进行讨论 当 n 为偶数时刚好配 对成功 当 n 为奇数时 中间的 一项落单了 2 1 n a 可能部分学生在此会遇 到困难 老师做适当的引 导 学生 学生 观察的脚标与 2 1 n a 脚标的关系 即 学生观察动画演示 不 难发现用倒置的思想来解 决此问题 高斯求 和众所 周知 学生能 快速解 答 这里 用到了 等差数 列脚标 和性质 从高 斯算法 出发 对 n 进 行讨论 寻找求 和公式 思路自 然 学 生容易 想到 对中 间项 的 2 1 n a 解决办 法的过 程中 进一步 让学生 体会研 究数列 就是对 脚标数 学的研 究 倒序相 加求和 法是重 探探 索索 公公 式式 nnn aaaaS 121 n aa 1 nnnn aaaaS 1 22 1 2 1nn aa n S nnnnn aaaaaS 1 2 1 2 1 1 2 11 2 11 2 1 nnn aaa n S 2 2 1 2 1 2 1 1 nn n aa aa n 2 1n aa n 2 1nn aa n S n aa 1 22 12 1 2 1 2 1 n nn n aa aa a nnn aaaaS 121 7 议议 练练 活活 动动 两式相加得 方法二方法二 同样利用倒序相加求和法 教材做了 如下处理 两式相加得 引导学生带入等差数列的通项公式 换掉 整理得到公式 2 例 1 计算 1 1 2 3 n 2 1 3 5 2n 1 3 2 4 6 2n 4 1 2 3 4 5 6 2n 1 2n 教师通过动画演示给 1 2 问一个直观 的解释 问题问题 3 3 能否给求和公式一个几何解释呢 教师提示将求和公式与梯形建立联系 1 a n a n a 1 a 由上一问题的解决 学 生容易想到倒序相加求和 法 学生 学生 利用倒序相加求和 法 将中的每一项用等 n S 差数列的通项公式进行巧 妙的改写 在倒序相加求 和时 每一组中的 d 都被 正负抵消了 学生类比方法一与方法 二的联系与区别 学生自己阅读教材 体 会教材的解法是如何运用 求和公式 观察多媒体课件演示 学生学生 要求总还款额实际 就是对一个等差数列求和 要的数 学思想 为以后 数列求 和的学 习做好 了铺垫 在等差 数列前 n 项和 公式的 推导过 程中 通过问 题获得 知识 让学生 经历 发现 问题 提出 问题 解决 问题 的过程 通过对 实际问 题的解 决让学 生认识 到数学 来源于 生活 同时又 服务于 生活 探探 索索 公公 式式 121 aaaaS nnn 2 1nn aanS 2 1nn aa n S 1 111 dnadaaSn 1 dnadaaS nnnn 2 1nn aanS 2 1 1nn aa n S 公式 n a d nn naSn 2 1 2 1 公式 2 1 1n n aan S 公式 8 认认 识识 公公 式式 议议 练练 活活 1 a n 剖析公式 剖析公式 教师提示 从方程中量的关系入手 例例 2 2 等差数列等差数列 10 10 6 6 2 2 2 2 前前 多少项的和为多少项的和为 5454 解 设题中的等差数列是 前 n 项和 n a 为 n S 则 10 d 6 10 4 1 a 令 54 由等差数列前 n 项和公式 n S 得 解得 9 3 舍去 1 n 2 n 学生 学生 将求和公式与梯形 面积公式建立联系 而梯 形面积公式的推导也正是 利用了倒置的思想 学生 学生 同样将公式 2 与 梯形面积公式建立联系 用 割 的思想将梯形分 做一个平行四边形和一个 三角形 而梯形面积就是 这两部分面积之和 学生讨论 学生讨论 公式中一共含 有五个量 根据三个公式 之间的联系 由方程的思 想 知三可求二 学生讨论分析题目所含的 已知量 选取了公式 2 进 行运算 利用了方程的思 想 需要注意的是学生可 能会把公差认为是 4 以 及解得 n 的值后未把 n 3 利用数 形结合 的思想 使学生 对两个 公式有 直观的 认识 体会数 学的图 形语言 例 2 在 解决了 例 1 的 基础上 由浅入 深 深 化了对 公式的 理解 体现了 方程的 d nn naSn 2 1 2 1 公式 dnaan 1 1 1 a dn 1 1 1 2 n n n aa S 公公 1 1 2 2 n n n Snad 公公 dnaan 1 1 通项公式 1 10454 2 n n n 9 动动 课课 堂堂 总总 结结 因此 等差数列的前 9 项和是 54 例例 3 解 1 161125152 aaaaaa 18 152161 aaaa 144 2 16 161 16 aa S 2 本小题主要考察了对公式一的整体应用 根据课堂剩余时间 本题作为机动练习 2 小问留给学生课后完成 1 教师引导学生归纳总结本节课所 学习的主要内容 2 课后作业 课后作业 教材 45 页 1 2 3 课后思考 课后思考 等差数列的前 n 项和的求和方法除 了倒序相加法还有没有其它方法呢 3 对求和史的了解 我国数列求和的概念起源很早 在北 朝时 张丘建始创等差数列求和解法 他 在 张丘建算经 中给出等差数列求和问 题 例如 今有女子不善织布 每天所织 的布以同数递减 初日织五尺 末一日织 一尺 共织三十日 问共织几何 原书的 解法是 并初 末日织布数 半之再乘 以织日数 即得 舍去 学生进行了分组讨论 然后每组派学生代表进行 分析 不少小组首先对已 知条件作转化 希望能通 过解方程求出首项和公差 但发现条件不够 不能解 出这些基本量 教师做适 当的引导 本环节由学生自主归纳 总结本节课所学习的主要 内容 教师加以补充说 明 1 回顾从特殊到一 般 一般到特殊的研究 方法 2 体会等差数列的 基本元表示方法 倒序相 加的算法 及数形结合的 数学思想 3 掌握等差数列的 两个求和公式及简单应用 思想 紧扣 教材 让学生 体会整 体应用 公式 类比化 归的思 想方法 同时 为以 后综合 问题的 解答设 下伏笔 通过对 等差数 列求和 历史的 了解 渗透数 学史和 数学文 化 116 16151252 20 2 36 1 Sa Saaaa an 求已知 求已知 中在等差数列 220 2 11