九年级数学基础与综合人教版下第二十四讲代数与几何综合题.doc

第二十四讲 代数与几何综合题一、选择题1如图241，抛物线yx2bxc与x轴交于点A、点B，与y轴交于点C，若AOC为等腰三角形，则下列各式成立的是( )资料个人收集整理，勿做商业用途图241Acb10Bcb10Ccb10Dcb102如图242，在平面直角坐标系中，二次函数yax2c(a0)的图象经过正方形ABOC的三个顶点A、B、C，则ac的值是( )资料个人收集整理，勿做商业用途图242A1B1C2D23(2009兰州)如图243，点A、B、C、D为圆O的四等分点，动点P从圆心O出发，沿OCDO的路线做匀速运动设运动时间为t(秒)，APB的度数为y(度)，则下列图象中，表示y与t之间函数关系最恰当的是( )资料个人收集整理，勿做商业用途图243二、填空题4(2009福州)如图244，已知A、B、C、D、E是反比例函数(x0)图象上五个整数点(横、纵坐标均为整数)，分别以这些点向横轴或纵轴作垂线段，由垂线段所在的正方形边长为半径作四分之一圆周的两条弧，组成如图所示的五个橄榄形(阴影部分)，则这个五个橄榄形的面积总和是_(用含p的代数式表示)资料个人收集整理，勿做商业用途图2445如图245，矩形ABCD中，AB12cm，BC24cm；直线PQ从AB出发，以1cm/s的速度向DC作匀速运动，PQ与AD、BC分别交于P、Q；点M从点C出发，沿CDABC方向逆时针运动，点M与PQ同时出发，当点M运动到D后改变速度；当点M与Q相遇后，点M与直线PQ均停止运动图245是点M运动的路线长y(cm)与运动时间t(s)的函数关系图象资料个人收集整理，勿做商业用途图245(1)点M在CD上运动的速度为_cm/s，M点改变速度后的速度为_cm/s；(2)y关于运动时间t的函数关系式为_，P、M的相遇时间是_(s)，M、Q相遇的时间是_(s)；资料个人收集整理，勿做商业用途(3)当0t8时，PQM的面积S关于运动时间t的函数关系式为_，当S60cm2时，t的值为_；资料个人收集整理，勿做商业用途(4)当PMQM时，此时的时间为_s二、解答题6如图246，在平面直角坐标系中，RtAOBRtCDA，且A(1，0)、B(0，2)，抛物线yax2ax2经过点C资料个人收集整理，勿做商业用途图246(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线(对称轴右侧)上是否存在两点P，Q，使四边形ABPQ是正方形?若存在，求点P，Q的坐标，若不存在，请说明理由资料个人收集整理，勿做商业用途7已知：二次函数的图象经过点A(3，6)，并与x轴交于点B(1，0)和点C，顶点为P(1)求这个二次函数的解析式；(2)设D为线段OC上的点，满足DPCBAC，求点D的坐标8已知：抛物线yx2(2n1)xn21(n为常数)(1)当该抛物线经过坐标原点，并且顶点在第四象限时，求它所对应的函数关系式；(2)设A是(1)所确定的抛物线上，位于x轴下方且在对称轴左侧的一个动点，过A作x轴的平行线，交抛物线于另一点D，再作ABx轴于B，DCx轴于C资料个人收集整理，勿做商业用途当BC1时，求矩形ABCD的周长；矩形ABCD的周长是否存在最大值?如果存在，请求出这个最大值，并指出此时A点的坐标；如果不存在，请说明理由资料个人收集整理，勿做商业用途9如图247，对称轴为直线的抛物线经过点A(6，0)和B(0，4)图247(1)求抛物线的解析式及顶点坐标；(2)设点E(x，y)是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形求OEAF的面积S与x之间的函数关系式，并求变量x的取值范围；资料个人收集整理，勿做商业用途当OEAF的面积为24时，请判断OEAF是否为菱形?并说明理由；是否存在点E，使OEAF为正方形?若存在，求出点E的坐标；若不存在请说明理由10如图248，直线AB交x轴于点A(2，0)，交抛物线yax2于点B(1，)，点C到OAB各顶点的距离相等，直线AC交y轴于点D图248(1)求直线OC及抛物线的解析式；(2)当x0时，在直线OC和抛物线yax2上是否分别存在点P和点Q，使四边形DOPQ为特殊的梯形?若存在，求点P、Q的坐标；若不存在，说明理由资料个人收集整理，勿做商业用途11(2009上海)已知：如图，249ABC90，AB2，BC3，ADBC，P为线段BD上的动点，点Q在射线AB上，且满足资料个人收集整理，勿做商业用途 图249(1)当AD2，且点Q与点B重合时(如图249所示)，求线段PC的长；(2)在图249中，连结AP，当，且点Q在线段AB上时，设点B，Q之间的距离为x，其中SAPQ、SPBC分别表示APQ和PBC的面积，求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；资料个人收集整理，勿做商业用途(3)当ADAB，且点Q在线段AB的延长线上时(如图249所示)，求QPC的大小12(2009哈尔滨)如图2410，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形ABCO是菱形，点A的坐标为(3，4)，点C在x轴的正半轴上，直线AC交y轴于点M，AB边交y轴于点H资料个人收集整理，勿做商业用途图2410(1)求直线AC的解析式；(2)连结BM，如图2410，动点P从点A出发，沿折线ABC方向以2个单位/秒的速度向终点C匀速运动，设PMB的面积为S(S0)，点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式及自变量t的取值范围；资料个人收集整理，勿做商业用途(3)在(2)的条件下，当t为何值时，MPB与BCO互为余角?并求此时直线OP与直线AC所夹锐角的正切值资料个人收集整理，勿做商业用途13(2009温州)如图2411，在平面直角坐标系中，点动点D以每秒1个单位长度的速度从点O出发，沿OC向终点C运动，同时动点E以每秒2个单位长度的速度从点A出发，沿AB向终点B运动过点E作EFAB，交BC于点F，连结DA、DF设运动时间为t秒资料个人收集整理，勿做商业用途图2411(1)求ABC的度数；(2)当t为何值时，ABDF?(3)设四边形AEFD的面积为S，求S关于t的函数关系式及自变量x的取值范围14把一张宽AD2的矩形纸片ABCD，如图2412那样折叠，折叠后的点A落在CD边上现将矩形纸片放在如图2412所示的平面直角坐标系中，设折叠后A的落点A，与AD、AB的交点分别为E、F，EF交x轴于点G，过点A作x轴的垂线，交x轴于点H，交EF于点T设DAx，点T的纵坐标为y，求y与x之间的函数关系式资料个人收集整理，勿做商业用途 图241215(2007福州)如图2413，以矩形ABCD的顶点A为原点，AD所在的直线为x轴，AB所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系点D的坐标为(8，0)，点B的标为(0，6)点F在对角线AC上运动(点F不与点A、C重合)，过点F分别作x轴、y轴的垂线，垂足为G、E设四边形BCFE的面积为S1，四边形CDGF的面积为S2，AFG的面积为S3资料个人收集整理，勿做商业用途图2413(1)试判断S1、S2的关系，并加以证明；(2)当S3S213时，求点F的坐标；(3)如图2413，在(2)的条件下，把AEF沿对角线AC所在的直线平移，得到AEF且A、F两点始终在直线AC上是否存在这样的点E，使点E到x轴的距离与到y轴的距离比是54?若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由资料个人收集整理，勿做商业用途16(2008武汉)如图2414，抛物线yax23axb经过A(1，0)，C(3，2)两点，与y轴交于点D，与x轴交于另一点B资料个人收集整理，勿做商业用途 图2414(1)求此抛物线的解析式；(2)若直线ykx1(k0)将四边形ABCD面积二等分，求k的值；(3)如图2414，过点E(1，1)作EFx轴于点F将AEF绕平面内某点旋转180后得MNQ(点M、N、Q分别与点A、E、F对应)，使点M、N在抛物线上，求点M、N的坐标17(2009重庆)已知：如图2415，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，OA2，OC3过原点O作AOC的平分线交AB于点D，连结DC，过点D作DEDC，交OA于点E资料个人收集整理，勿做商业用途图2415(1)求过点E、D、C的抛物线的解析式；(2)将EDC绕点D按顺时针方向旋转后，角的一边与y轴的正半轴交于点F，另一边与线段OC交于点G如果DF与(1)中的抛物线交于另一点M，点M的横坐标为，那么EF2GO是否成立?若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；资料个人收集整理，勿做商业用途(3)对于(2)中的点G，在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q，使得直线GQ与AB的交点P与点C、G构成的PCG是等腰三角形?若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由资料个人收集整理，勿做商业用途参考答案第二十四讲 代数与几何综合题1D 2D 3C413p26提示：观察图象结合A、B、C、D、E为的五个整数点可推断：A(1，16)，B(2，8)，C(4，4)，D(8，2)，E(16，1)如答图241所示，在正方形HOGC中半个橄榄形资料个人收集整理，勿做商业用途答图241所以S大橄榄形同理，D处橄榄形所在正方形边长为2，所以SD橄榄形SE橄榄形1而同图可知SB橄榄形SD橄榄形，SA橄榄形SE橄榄形，所以S总面积8p162(2 p4)2(1)13p265(1)3，4(2)y 当P、M相遇时，APt，DMy124t16，由APDM24可得t(4t16)24解得t8当M、Q相遇时，BQt，BMy2ABAD4t52由BMBQ得4t52t解得(3)当S60时，若6t14460，解得t14，因为 此时0t4，所以t14(舍去)若30t24060，解得t6(符合题意)所以当S60时，t的值为6(4)2或11.5提示：当M点运动到CD或AB中点时，有PMQM分别计算时间就可以了6解：(1)由RtAOBRtCDA，得OD213，CD1，C点坐标为(3，1)可得抛物线的解析式为(2)在抛物线(对称轴的右侧)上存在点P、Q，使四边形ABPQ是正方形以AB为边在AB的右侧作正方形ABPQ过P作PEOB于E，QGx轴于G(见答图242)，资料个人收集整理，勿做商业用途答图242可证PBEAQGBAOPEAGBO2，BEQGAO1P点坐标为(2，1)，Q点坐标为(1，1)由(1)抛物线，当x2时，y1，当x1时，y1P、Q在抛物线上故在抛物线(对称轴的右侧)上存在点P(2，1)、Q(1，1)，使四边形ABPQ是正方形7(1)(2)C(3，0)可证ACBPCD45(见答图243)答图243DPCBAC，DPCBAC易求得AC6，PC2，BC4，DC，OD3D(，0)8(1)yx23x(2)抛物线与x轴的另一个交点为(3，0)，顶点为(，)，对称轴为直线x，其大致位置如答图244所示答图244BC1，由抛物线和矩形的对称性可知OB(31)1，B(1，0)，A(1，2)，AB2矩形ABCD的周长为6可设A点的坐标为(x，x23x)，B点的坐标为(x，0)(0x)，BC32xA在x轴下方，x23x0，AB|x23x|3xx2，矩形ABCD的周长P2(3xx2)(32x)2(x)20，当x时，矩形ABCD的周长P有最大值为此时点A的坐标为A(，)9解：(1)由抛物线的对称轴是，及抛物线经过点A(6，0)可知抛物线还经过(1，0)点设抛物线的解析式为ya(x1)(x6)由抛物线经过点B(0，4)可得故抛物线解析式为，顶点为(2)点E(x，y)在抛物线上，位于第四象限，y0且坐标适合OA是OEAF的对角线，S2SOAE2OA|y|6y4(x)225抛物线与x轴的两个交点是(1，0)和(6，0)，自变量x的取值范围是1x6根据题意，当S24时，即4(x)22524化简，得解之，得x13，x24此时点E坐标分别为E1(3，4)，E2(4，4)点E1(3，4)满足OEAE，点E2(4，4)不满足OEAE，当OEAF的面积为24，且点E坐标为(3，4)时，OEAF是菱形当OAEF，且OAEF时，OEAF是正方形，此时点E的坐标只能是(3，3)而坐标为(3，3)的点不在抛物线上，故不存在这样的点E，使OEAF为正方形10简解：(1)见答图2451，可得直线AB的解析式为抛物线的解析式为又点C到OAB各顶点距离相等，可得OAB为等边三角形，即点C是OAB三边的垂直平分线的交点连结BC，并延长交OA于E，则BEOA，OEAE点E的坐标为(1，0)可得点C的坐标为C(1，)直线OC的解析式为yx，直线AC的解析式为yx(2)可得点D的坐标为D(0，)，ODODPQ()当DQ1OP1时，四边形DOP1Q1为等腰梯形(如答图245)由题意得，OCD为等边三角形，CDOCOD，Q1是直线AC与抛物线的交点，解得x11(舍)，资料个人收集整理，勿做商业用途答图245当时，点Q1的坐标为，点P1的坐标为()当ODQ290时，四边形DOP2Q2为直角梯形(如答图245)答图245设过点且平行于x轴的直线交抛物线于点Q2，则Q2的纵坐标为，可得点Q2的坐标为，点P2的坐标为DQOP过点且平行于OC的直线为，交抛物线于点Q解得x11或(舍)把x1代入中，得点Q的坐标为(1，)(与点B重合)()当ODP3Q3时，四边形DOP3Q3是等腰梯形，如答图2451OCD为等边三角形，DOCQ3P3O60，Q3P3AC可得Q3P3的解析式为点P3为直线Q3P3与直线OC的交点，点P3的坐标为()OP4Q490时，四边形DOP4Q4为直角梯形OCAB，点P4为直线OC与直线AB的交点可得点P4的坐标为综上所述：当P1、Q1和P3，Q3(与点B重合)时，四边形DOPQ为等腰梯形；当P2、Q2和P4、Q4(与点B重合)时，四边形DOPQ为直角梯形资料个人收集整理，勿做商业用途11思路分析：(1)考虑到ABAD2，则PQPC1，即PQPC；(2)先分别表示出SAPQ和SPBC，然后再去表示两三角形面积之比，列出函数关系式；(3)利用三角形相似与等量代换 资料个人收集整理，勿做商业用途简解：(1)当AD2时可得PBC45，ADAB，点Q与点B重合，PBPQPCPCBPBC45BPC90在RtBPC中，PCBCcosC3cos45(2)如答图246，过点P作PEBC，PFAB，垂足分别为E、F可得四边形FBEP是矩形PFBC，PEBFADBC，PFAD又AQABQB2x，BC3，y与x的函数关系是为答图246当点Q与点B重合时，x0；当点P运动到与点D重合时，x取得最大值作PGBC于G见答图246由，BC3可得PBPC，G为BC中点资料个人收集整理，勿做商业用途CG由可得在RtPAQ中，PA2AQ2PQ2，整理，得解得由0t2得自变量x的取值范围是(3)如答图246，过点P作PMBC，PNAB，垂足分别为M、N，可得四边形PNBM为矩形，PNBC，PMBN，MPN90资料个人收集整理，勿做商业用途ADBC，PNAD又PMCPNQ90，RtPCMRtPQNCPMQPNMPN90，QPCCPMQPMMPN9012思路分析：由A(3，4)可知AO5，则OC5，所以点C坐标(5，0)，可求出直线AC的解析式；当点P在AB上时，当点P在BC上时，由菱形性质可知MOCMBC，从而MBC90，所以资料个人收集整理，勿做商业用途解：(1)过点A作AEx轴，垂足为E(如答图247)答图247由A(3，4)及四边形ABCO为菱形，可得OCCBBAOA5，C点的坐标为C(5，0)可得直线AC的解析式为(2)由(1)得M点坐标为(0，)，OM如答图247，当P点在AB边上运动时，答图247SBPMH(52t)t(0t)当P点在BC边上运动时，记为P1OCMBCM，COCB，CMCM，OMCBMCBMOM，MBCMOC90SP1BBM(2t5)t(t5)(3)设OP与AC相交于点Q，连结OB交AC与K可得tanBCOtanAOE,由MPB与BCO互余可得tanMPB当P点在AB边上运动时，如答图247由PHAHAP得32t2由可得AQPCQO在RtAEC中，在RtOHB中，由菱形性质可得当P点在BC边上运动时，如答图247答图247由解得由PCOA可得PQCOQA综上所述，当或时，MPB与BOC互为余角，直线OP与直线AC所夹锐角的正切值为或113思路分析：第(1)(2)题，通过解直角三角形解决，第(3)题求四边形AEFD的面积时，要把它转化为规则图形的面积的和或差来解答资料个人收集整理，勿做商业用途解：(1)如答图248，过点B作BMx轴于点M答图248C(0，2)，B(3，2)，BCOAABCBAMBM2，AM2，tanBAMABCBAM30(2)若ABDF，则CFDABC30在RtDCF中，CD2t，CFD30，CF(2t)AB4，BE42t，FBE30(3)方法一：过点E作EGx轴于点G，则EGt，DEx轴SSDEFSDEA方法二：SS梯形OABCSOADSCDFSFEB14简解：连结AA，由折叠的对称性知，EF垂直平分AA于点G在RtAGT中，GHAT，AAEF，所以AGHGTH，所以HGHTAHGH，即HG2HTAH而AH1，所以又因为点T在第四象限，所以T的纵坐标为，故所求的函数关系式为资料个人收集整理，勿做商业用途15解：(1)S1S2证明：如答图249，答图249FEy轴，FGx轴，ABD90，四边形AEFG是矩形AEGF，EFAGSAEFSAFG同理SABCSACDSABCSAEFSACDSAFG，即S1S2 (2)FGCD，AFGACDCDBA6，ADBC8，FG3，AG4，F(4，3)(3)假设存在符合条件的点EAEF是由AEF沿直线AC平移得到的，EAEA3，EFEF4如答图249，若点E在第一象限答图249设E(4a，5a)，a0延长EA交x轴于M，得AM5a3，AM4a由，可得如答图249，若点E在第二象限，设E(4a，5a)，a0，得AN4a，AN35a，同理可得资料个人收集整理，勿做商业用途答图249如答图249，若点E在第三象限，答图249设E(4a，5a)，a0，延长EF交y轴于点P，得AP5a，PF4a4同理可得(a0，舍去)在第三象限不存在点E点E不可能在第四象限存在满足条件的E坐标分别是或16解：(1)抛物线解析式为(2)方法一：(见答图2410)答图2410由，得B(4，0)，D(0，2)CDABS梯形ABCD(53)28设直线ykx1分别交AB、CD于点H、T，则H(，0)，T(，2)直线ykx1平分四边形ABCD的面积，S梯形AHTDS梯形ABCD4当时，直线将四边形ABCD面积二等分方法二：过点C作CHAB于点H(见答图2410)答图2410由得B(4，0)，C(0，2)CDAB由抛物线的对称性得四边形ABCD是等腰梯形SAODSBHC设矩形ODCH的对称中