金融数学基础课程报告

1 课程报告课程报告 金融数学基础金融数学基础 总分 评语人 评阅时间 金融数学金融数学 摘要 摘要 本文通过对金融数学这门选修课学到的一些知识要点进行总 结 分析 表达了我对数学的认识和对金融数学的了解 翻阅较多参考文献 论文反映有一定工作量 课程背景分析详尽 开题准备工作充分 20 基本概念清楚 重点 创新点 突出 数学模型 数学结论等总结正确 详尽 金融数学 相关内容详实 知识点和原理表述正确 20 论文结构严谨 逻辑性强 思路清晰 文字表达准确流畅 论文格式规范 图表 或 图纸 规范 符合要求 论文篇幅合理 20 体现自己的看法和观点 课程心得总结良好 课程收获丰富 有较强的现实意义 论 文有一定难度 知识运用的综合能力较强 40 2 关键词 关键词 金融 数学 模型 一 我眼中的数学 在我眼中 数学是一门工具 是每个人在日常生活 学习中都会用到的工 具 市场上 百货商场里 银行 各行各业都会使用到的一门工具 是人与 人交流与货币流通过程中一定会用到的工具 举个不恰当的比喻 现在大部分 女生在选择其一生的伴侣时都会估算对方的财产状况 然后得出自己嫁给对方 的性价比有多高 尽管举这个例子可能有点不恰当 但它也是数学作为人们在 日常生活中一门必不可少的工具的体现 我认同数学属性是任何事物的可量度属性 即数学属性是事物最基本的属 性 我觉得数学是人类的智慧 是唯一性 数字是研究数和形的科学 它存在 于我们生活中的方方面面 是其他各种科学的基础 我们在学习和研究学科其 他任何一门学科时都需要有数学作为基础 数学有三大分支 分别是变化的学科 数学分析 数的学科 代数学 形的学科 几何学 学习数学 离不开数学思维 可以说数学的本质特性就 是思维 数学思维方式有五个重要环节 分别是观察 抽象 探索 猜测和论 证 学习数学 可以培养做人做事的能力 培养学习的能力 培养思维体系化 条理化的能力以及提出问题 分析问题 解决问题的能力 二 我对数理金融 计量经济学 保险精算学学科的认识 一 一 数理金融数理金融 任何一门学科的现代化和精确化进程 都必然导致以数学作为自身的语言 从经济学中独立出来的现代金融学的现代化标志 体现在金融学的数量化上 金融科学数量化是指金融学理论研究模式趋向于数学化 指推理演绎数学化 应用研究定量化 指建立相应的数学模型 和运用计算机技术求解模型数值问题 的广泛化 从而促成了金融数学的诞生和发展 金融数学是一门新兴的金融学 与数学 特别是最优化理论 高等概率论 随机微分学 偏微分方程等 的交叉 学科 又称数理金融学 3 数理金融学是 20 世纪后期发展起来的一门数学与金融学相交叉的新兴学科 它是以金融问题为研究对象 运用现代数学理论和方法对金融的理论和实践进 行定量分析研究 其核心问题是不确定环境下的最优投资策略的选择理论和资 产定价理论 二 二 计量经济学计量经济学 计量经济学 英文 Econometrics 是以数理经济学和数理统计学为方法 论基础 对于经济问题试图对理论上的数量接近和经验 实证 上的数量接近 这两者进行综合而产生的经济学分支 该分支的产生 使得经济学对于经济现 象从以往只能定性研究 扩展到同时可以进行定量分析的新阶段 计量经济学的两大研究对象 横截面数据 Cross sectional Data 和时 间序列数据 Time series Data 前者旨在归纳不同经济行为者是否具有相似 的行为关联性 以模型参数估计结果显现相关性 后者重点在分析同一经济行 为者不同时间的资料 以展现研究对象的动态行为 新兴计量经济学研究开始切入同时具有横截面及时间序列的资料 换言之 每个横截面都同时具有时间序列的观测值 这种资料称为追踪资料 Panel data 或称面板资料分析 追踪资料研究多个不同经济体动态行为之差异 可 以获得较单纯横截面或时间序列分析更丰富的实证结论 计量经济学 注重理论 方法的基本原理和具体应用 尽量避免烦琐的 数学推导 精简整合了计量经济学的内容 简化了单方程模型的理论推导过程 省略了联立方程模型内容 充实了协整理论和误差修正模型 ARCH 类模型 离 散数据模型等内容 强调计量经济方法的具体应用 尤其是在金融领域的应用 以计量经济分析软件 EViews 和 SAS 作为教学支持软件 教学内容中始终贯 穿了 EViews 的具体使用 并根据金融数据的特点介绍了 SAS 软件的计量经济分 析过程 主要内容是普通最小二乘方法 广义最小二乘模型 异方差模型 自 相关模型 工具变量估计 非线性模型 一般矩估计 三 三 保险精算学保险精算学 保险精算学是依据经济学的基本原理和知识 利用现代数学方法 对各种 保险经济活动未来的财务风险进行分析 估价和管理的一门综合性的应用科学 如研究保险事故的出险规律 保险事故损失额的分布规律 保险人承担风险的 4 平均损失及其分布规律 保险费率和责任准备金 保险公司偿付能力等保险具 体问题 1 保险精算学的主要分类 保险精算学主要分为寿险精算学和非寿险精算学 寿险精算学以概率论和 数理统计为工具研究人寿保险的寿命分布规律 寿险出险规律 寿险产品的定 价 责任准备金的计算 保单现金价值的估值等问题的学科 非寿险精算学研 究除人寿以外的保险标的的出险规律 出险事故损失额度的分布规律 保险人 承担风险的平均损失及其分布规律 保费的厘定和责任准备金的提存等问题的 学科 2 保险精算学的产生 17 世纪后半叶 世界上有两位保险精算学创始人研究人寿保险计算原理取 得突破性进展 一位是荷兰的政治家维德 Jeande Witt 他倡导了一种终身年 金现值的计算方法 对国家的年金公债发行提供了科学依据 另一位是英国天 文学家哈雷 Edmund Halley 他在研究人的死亡率的基础上发明了生命表 从而使年金价值的计算更精确 18 世纪 40 年代至 50 年代 辛浦森 Thomas Simpson 根据哈雷的生命表 制作出依照死亡率增加而递增的费率表 陶德森 James Dodson 依据年龄之差 等因素而找出计算保险费的方法 3 保险精算学的发展 保险精算学的产生是以哈雷慧星的发现者 英国天文学家哈雷 Halley 在 1693 年发表的世界上第一张生命表为标志 进入 20 世纪 情况发生了根本的变化 首先 出现了前所未有的巨大风险 其次 在日益完善的保险市场上 保险人之间的竞争愈演愈烈 再者 还存在 着保险费率的剧烈下降 奉行客户至上主义 甚至政府对某些险种的费率实行 管制等多种因素 因此 在 21 世纪保险人不再可能收取显著高于适当水平的保 费并在业务中保持 随着统计理论及其不断成熟 保险人在确定保险费率 应付意外损失的准 备金 自留限额 未到期责任准备金和未决赔款准备金等方面 都力求采用更 精确的方式取代以前的经验判断 5 4 保险精算学在我国的发展 保险精算是在 20 世纪 80 年末 90 年代初进入我国的 虽然起步较晚 但 在开始引进时就与国际接轨 通过 派出去 请进来 的直接学习方式 直接 使用国际上最权威的原版教材 直接吸收国际上最新成果 直接与国外学者进 行交流 5 保险精算学的基本任务 精算学是运用数学 统计学 金融学及人口学等学科的知识和原理 去解 决工作中的实际问题 进而为决策提供科学依据的学科 保险精算最初的定义是 通过对火灾 盗窃以及人的死亡等损失事故发生 的概率进行估算以确定保险公司应该收取多少保费 在寿险精算中 利率和死亡率的测算是厘定寿险成本的两个基本问题 由 于利率一般由国家控制 所以在相当长的时期里利率并不是保险精算所关注的 主要问题 而死亡率的测算即生命表的建立成为寿险精算的核心工作 非寿险精算始终把损失发生的频率 损失发生的规模以及对损失的控制作 为它的研究重心 非寿险精算发展出两个重要分支 一是损失分布理论 二是 风险理论 伴随着金融深化的利率市场化 保险基金的风险也变为精算研究的核心问 题 在这方面要研究的问题包括投资收益的敏感性分析和投资组合分析 资产 和负债的匹配等 6 保险精算的基本原理 1 收支相等原则 所谓收支相等原则就是使保险期内纯保费收入的现金价值与支出保险金的 现金价值相等 由于寿险的长期性 在计算时要考虑利率因素 可分别采取三 种不同的方式 根据保险期间末期的保费收入的本利和 终值 及支付保险 金的本利和 终值 保持平衡来计算 根据保险合同成立时的保费收入的现 值和支付保险金的现值相等来计算 根据在其他某一时点的保费收入和支付 保险金的 本利和 或 现值 相等来计算 2 大数法则 大数法则是对于大量的随机现象 事件 由于偶然性相互抵消所呈现的必 6 然数量规律的一系列定理的统称 常见的有三个大数法则 切比雪夫 Chehyshev 大数法则 贝努里 Bermulli 大数法则和泊松 Poisson 大 数法则 三 金融数学中的数学模型的主要结论 一 一 资产定价模型资产定价模型 夏普等人研究出任何一个证券组合和收益率与某个共同因素的关系 进而 导出资产定价模型 CAPM 其主要结论如下 1 如果投资者的效用函数 u 是严格递增和凹函数的时候 投资者一定 不会持有期望收益率 rf的证券组合 2 如果风险厌恶的投资者都具有严格递增的效用函数 那么当所有风险资产 都是严格正的供给时 在 CAPM 假设下 市场证券组合的风险溢价 一定是 严格正的 从而 rf A C 一定成立 0 fm rrE 3 在市场均衡状态下 对任意证券或组合 q 有定价公式 用市场组合 m 取代式中的前沿证券 P 得到 fppqfq rrErrE CAPM q 的 系数 cov 2 fmmqfm m qm fq rrErrE r rr rrE 4 如果市场组合 m 的替代物具有单位 值 即 并且 单个证券 j1 mm 的收益率与替代物之间的线性回归的余项 误差项 与真正市场组合 m 不 相关 那么 证券 j 真正的 系数是可以估计的 jmmj 5 如果选 N 个证券为样本 并且知道它们真正的贝塔值 m 1m 2m Nm T 那么可以由这 N 个样本证券构造出一个 市场组合的替代物 使得这 N 个样本证券相对于替代物的 系数与相对于 真正市场组合 m 的 系数一致 二 二 套利定价模型套利定价模型 套利定价模型 Arbitrage pricing theory 一种资产价格的估值模型 7 是资本资产定价模型 CAPM 的替代理论 虽然被称作套利定价模型 但实际 与套利交易无关 是适用于所有资产的估值模型 其理论基础是一项资产的价 格是由不同因素驱动 将这些因素乘上该因素对资产价格影响的贝塔系数 加 总后 再加上无风险收益率 就可以得出该项资产的价值 虽然 APT 理论上很 完美 但是由于它没有给出都是哪些因素驱动资产价格 这些因素可能数量众 多 只能凭投资者经验自行判断选择 此外每项因素都要计算相应的贝塔值 而 CAPM 模型只需计算一个贝塔值 所以在对资产价格估值的实际应用时 CAPM 比 APT 使用地更广泛 以下是套利定价模型的主要结论 1 如果风险证券收益由 K 因素模型给定 那么 存在的实数 0 1 K使得 0 1 lim 1 2 0 1 K k kik n i i n bRE n 2 对于任意无套利定价模型 可以构造出与原来 K 个因素不同的另外 K 个不 相关因素 使得 这 K 个新因素中仅有一个具有正的因素风险溢价 3 对于完全分散化证券组合 p 其预期收益满足 在取 K k kpkp bRE 1 0 极限状态下 误差趋向于 0 三 三 期权定价模型期权定价模型 期权定价模型 OPT 由布莱克与斯科尔斯在 20 世纪 70 年代提出 该 模型认为 只有股价的当前值与未来的预测有关 变量过去的历史与演变方式 与未来的预测不相关 模型表明 期权价格的决定非常复杂 合约期限 股票 现价 无风险资产的利率水平以及交割价格等都会影响期权价格 其主要结论 有 1 对于看跌期权来说 随着利率上涨 股票价格的预期增长率上涨 但是执 行价格不变 降低看跌期权的价值 2 股票价格是期权价格的上限 S c S C 如果不存在这一关系 则套利者购买股票并卖出看涨期权 可轻易的获得无 风险利润 3 考虑一个无红利支付的股票 股票价格为 S 基于该股票的某个期权的当 前 价格为 f 8 假设期权的有效期为 T 并且在期权有效期内 股票价格或者从 S 向上变 动到一个新的水平 Su 或者 S 向下变动到新的水平 S 的 u 1 d 1 当股票价 格向上变动时 股票价格增长的比率为 u 1 当股票价格向下变动时 股票价 格减少的比率为 1 d 如果股票价格变动到 Su 我们假设期权的收益为 fu 如 果股票的价格变动为 Sd 我们假设期权的收益为 fd 则 f e rT pfu 1 P fd 其 中 p 解释为股票价格上升的概率 1 p 就是股票价格下降的概率 du p rT de 期权的价值是其未来的预期值按无风险利率贴现的值 4 初始股票价格为 S 美元 并在两步二叉树的每个单步二叉树图中 股票价格 可以上升到初始值的 u 倍或者下降到初始值的 d 倍 我们假设每个单步二叉 树的步长是 T 无风险利率是 r 则 fu e rT pfuu 1 p fud fd e rT pfud 1 p fdd f e rT pfu 1 p fd f e 2rT p2fuu 2p 1 p fud 1 p 2fdd 变量 p2 2p 1 p 1 p