初三数学期末复习专题提优《抛物线与特殊三角形》

初三数学期末复习专题提优初三数学期末复习专题提优 抛物线与特殊三角形抛物线与特殊三角形 抛物线中的特殊三角形问题已经成为各地中考试题的热点题型之一 这类试题一般是 通过运算考查等腰三角形或者直角三角形的判定条件 计算三角形的面积与周长 综合性 强 区分度好 沟通几何 代数 三角等知识间的联系 要求学生具有能够阅读图形 分 析图形 分离基本图形的能力 较熟练地应用方程思想 分类讨论思想 转化思想 数形 结合思想等常见的数学思想 类型一类型一 抛物线与等腰三角形抛物线与等腰三角形 1 如图 抛物线的顶点是原点 抛物线经过点 8 8 点坐标为 0 2 直线 为 2 Fly 直线 平行于轴 点是抛物线上任意一点 过点作 垂足为点 lxPPPMl M 1 求抛物线的函数表达式 2 求证 PFMPMF 3 当是等腰直角三角形时 求点的坐标 MPF P 2 如图 抛物线与轴交于两点 与轴交于点 抛物线的对称 2 1 2 yxmxn x A ByC 轴交轴于点 已知 xD 1 0 0 2 AC 1 求抛物线的表达式 2 在抛物线的对称轴上是否存在点 使是以为腰的等腰三角形 如果存在 PPCD CD 直接写出点的坐标 如果不存在 请说明理由 P 3 如图 抛物线与轴相交于点 与轴相交于点 抛物线 2 424 4 55 yxx x A ByC 的对称轴与轴相交于点是抛物线在轴上方的一个动点 点不在同一条x M Px P M C 直线上 分别过点作直线的垂线 垂足分别为 连接 A BCP D E MD ME 1 求点的坐标 直接写出结果 并证明是等腰三角形 A BMDE 2 能否为等腰直角三角形 若能 求此时点的坐标 若不能 说明理由 MDE P 3 若将 是抛物线在轴上方的一个动点 点不在同一条直线上 改为Px P M C 是抛物线在轴下方的一个动点 其他条件不变 能否为等腰直角三角PxMDE 形 若能 求此时点的坐标 直接写出结果 若不能 说明理由 P 4 如图 抛物线 32 2 xaxy 与x轴交于 A B 两点 且 B 1 0 1 求抛物线的解析式和点 A 的坐标 2 如图 1 点 P 是直线 xy 上的动点 当直线 xy 平分 APB 时 求点 P 的坐标 3 如图 2 已知直线 9 4 3 2 xy 分别与x轴 y 轴 交于 C F 两点 点 Q 是直线 CF 下方的抛物线上的一个动点 过点 Q 作 y 轴的平行线 交直线 CF 于点 D 点 E 在线段 CD 的延长线上 连接 QE 问以 QD 为腰的等腰 QDE 的面积是否存在最大值 若存在 请求出这个最大值 若不存在 请说明理由 类型二类型二 抛物线与直角三角形抛物线与直角三角形 5 如图 在平面直角坐标系中 已知点的坐标是 4 0 并且 动点A4OAOCOB 在过三点的抛物线上 P A B C 1 求抛物线的表达式 2 是否存在点 使得是以为直角边的直角三角形 若存在 求出所有符合PACP AC 条件的点的坐标 若不存在 说明理由 P 6 如图 直线与抛物线相交于和 点是线段2yx 2 6yaxbx 1 5 2 2 A 4 BmP 上异于的动点 过点作轴 交抛物线于点 AB A BPPCx C 1 求抛物线的解析式 2 是否存在这样的点 使线段的长有最大值 若存在 求出这个最大值 若不存PPC 在 请说明理由 3 当为直角三角形时 求点的坐标 PAC P 7 如图 已知一条直线过点 0 4 且与抛物线交于两点 其中点的横坐标 2 1 4 yx A BA 是 2 1 求这条直线的函数关系式及点的坐标 B 2 在轴上是否存在点 使得是直角三角形 若存在 求出点的坐标 若不存xCABC C 在 请说明理由 3 过线段上一点 作轴 交抛物线于点 点在第一象限 点ABP PMxMM 0 1 当点的横坐标为何值时 的长度最大 最大值是多少 NM3MNMP 8 抛物线 y x2 4ax b a 0 与 x 轴相交于 O A 两点 其中 O 为坐标原点 过点 P 2 2a 作直线 PM x 轴于点 M 交抛物线于点 B 点 B 关于抛物线对称轴的对称点为 C 其中 B C 不重合 连接 AP 交 y 轴于点 N 连接 BC 和 PC 1 a 时 求抛物线的解析式和 BC 的长 2 3 2 如图 a 1 时 若 AP PC 求 a 的值 参考答案参考答案 1 1 2 1 8 yx 2 2 1 2 8 PFx 2 1 2 8 PMlPMxPFPM PFMPMF 3 4 2 P 2 1 抛物线经过 2 1 2 yxmxn 0 2 C 把点代入方程式得 抛物线表达式为 2n A 3 2 m 2 13 2 22 yxx 2 作如图辅助线 可得出抛物线的对称轴 3 2 x 是等腰三角形 CDP 123 CPDPDPCD 123 33 535 4 22 222 PPP 3 1 作如图 辅助线 90ADEBED 由题意知 ADMBFM 11 22 DMDF EMDF 是等腰三角形 DMEM MDE 2 能 如图 可推出 AMDGME 2GMAM 3 2 G 设直线的表达式为 即解得 CPykxb 32 4 kb b 24yx 设 解得 舍去 此时 24 P mm 1 0m 2 7 2 m 7 3 2 P 3 能 点的坐标为 P 315 69 4 1 把 B 1 0 代入 y ax 2x 3 2 得 a 2 3 0 解得 a 1 y x 2x 3 A 3 0 2 2 若 y x 平分 APB 则 APO BPO 如答图 1 若 P 点在 x 轴上方 PA 与 y 轴交于点 B POB PO 45 APO BPO PO PO B OPBBOP 1 OBBO 1 0 B PA y 3x 1 2 3 2 3 P 若 P 点在 x 轴下方时 APOPOBBPO 综上所述 点 P 的坐标为 2 3 2 3 3 如图 2 做 QH CF CF y 2 3 4 9 C 2 3 0 F 4 9 0 tan OFC 2 3 OC OF DQ y 轴 QDH MFD OFC tan HDQ 3 2 不妨记 DQ 1 则 DH 2 13 t HQ 3 13 t AQDE 是以 DQ 为腰的等腰三角形 若 DQ DE 则 2 13 13 226 DEQ SDEHQt A 若 DQ QE 则 2 11436 22131313 DEQ SDEHQttt A 2 3 13 26 t 2 6 13 t 当 DQ QE 时则 DEQ 的面积比 DQ DE 时大 设 Q 2 24 23 39 x xxD xx 则 当 DQ t 22 24423 23 3939 xxxxx max 2 3 3 xt 当时 2 max 654 1313 S DEQt A 以 QD 为腰的等腰 54 13 QDEA的面积最大值为 5 1 设抛物线的表达式为 得到方程组 2 0 yaxbxc a 可解得抛物线表达式为 0 1640 4 abc abc c 2 34yxx 2 存在 当以为直角顶点时 过点作交抛物线于点 过点作轴CC 1 CPAC 1 P 1 Py 的垂线 垂足为 M 由题意可推出 11 MCPOAC MCMP 设 解得 舍去 2 1 34 P mmm 1 0m 2 2m 1 2 6 P 当以点为直角顶点 过点作交抛物线于 交轴于 过点AA 2 APAC 2 PyF 作轴的垂线 垂足为 2 PyN 轴 2 P Nx 2 P NNF 设 解得 舍去 2 2 34 P nnn 1 2n 2 4n 2 2 6 P 6 1 由题意得 6 4 6 mB 在抛物线上 解得 1 5 4 6 2 2 AB 2 6yaxbx 2 8ab 抛物线表达式 2 286yxx 2 设动点 2 2 286 P n nC nnn 2 949 2 48 PCn 20a 当时 取得最大值 此时 9 4 n PC 49 8 9 17 44 P 综上 存在符合条件的点 使线段的长有最大值 9 17 44 PPC 49 8 3 显然 90APC 当时 如图 设直线的解析式为 90PAC ACyxb 代入 解得 1 5 2 2 A3b 由 得或 舍去 2 3286xxx 1 3x 2 1 2 x 当时 坐标为 3x 3 5 P 当时 如图 由知点的纵坐标 90PCA 1 5 2 2 AC 5 2 y 由 得 舍去 2 5 286 2 xx 1 1 2 x 2 7 2 x 当时 此时 坐标为 7 2 x 7 11 2 2 P 综上知 满足条件的点有两个 坐标分别为或 3 5 P 7 11 2 2 P 7 1 设函数关系式为 将代入 解得 ykxb 0 4 2 1 3 4 2 kb 函数关系式为 3 4 2 yx 点的坐标为 B 8 16 2 作如图 辅助线 若 则 解得 90BAC 222 ABACBC 1 2 m 若 则 解得或 90ACB 222 ABACBC 0m 6m 若 则 解得 90ABC 222 ABBCAC 32m 综上 点的坐标为 C 1 0 0 0 6 0 32 0 2 3 设 如图 在中 2 1 4 M aaRt MQN 2 1 339 4 MNMPaa 当时 又 取到最大值 18 6a 268 2 1 39 4 aa 当点的横坐标为 6 时 的长度最大 最大值是 18 M3MN