IIR数字低通滤波器设计

武汉理工大学 数字信号处理 课程设计说明书 1 1 滤波器简介 对输入信号通过一定的处理得到输出信号 这个处理通常 是提取信号中某频率范围内的信号成分 把这种处理的过程称 为滤波 实现滤波处理的运算电路或设备称为滤波器 在许多科学技术领域中 广泛应用线性滤波和频谱分析对 信号进行加工处理 模拟滤波是处理连续信号 数字滤波则是 处理离散信号 而后者是在前者的基础上发展起来的 无源或 有源模拟滤波器是分立元件构成的线性网络 他们的性能可以 用线性微分方程来描述 而数字滤波器是个离散线性系统 要 用差分方程来描述 并以离散变换方法来分析 这些方程组可 以用专用的或通用的数字计算机进行数字运算来实现 因此 数字滤波器的滤波过程是一个计算过程 它将输入信号的序列 数字按照预定的要求转换成输出数列 武汉理工大学 数字信号处理 课程设计说明书 2 2 滤波器的原理 2 12 1 数字滤波器的工作原理数字滤波器的工作原理 在数字滤波中 我们主要讨论离散时间序列 如图 2 1 所 示 设输入序列为 离散或数字滤波器对单位抽样序列 nx 的响应为 因在时域离散信号和系统中所起的作用 n nh n 相当于单位冲激函数在时域连续信号和系统中所起的作用 数字滤波器 H z nh zx nx ny zy 图 2 1 数字滤波器原理 数字滤波器的序列将是这两个序列的离散卷积 即 ny k knxkhny 同样 两个序列卷积的 z 变换等于个自 z 变换的乘积 即 zXzHzY 用代入上式 其中 T 为抽样周期 则得到 Tj ez TjTjTj eXeHeY 式中和 分别为数字滤波器输入序列和输出序 Tj eX Tj eY 列的频谱 而为单位抽样序列响应的频谱 由此可见 Tj eH nh 输入序列的频谱经过滤波后 变为 按照 Tj eX TjTj eXeH 武汉理工大学 数字信号处理 课程设计说明书 3 的特点和我们处理信号的目的 选取适当的使的 Tj eX Tj eH 滤波后的符合我们的要求 TjTj eXeH 2 22 2 数字滤波器的基本特性数字滤波器的基本特性 如果利用离散时间系统对数字信号 时间离散 幅度量化 的信号 进行滤波则构成数字滤波器 数字滤波器的差分方程表示为 N i M k kk knxainybny 10 系统函数表示 N i i i M k k k zb za zX zY zH 1 0 1 数字滤波器的特性通常用其频率响应函数来描述 j eH 包括幅度特性和相位特性 j eH arg j eH 按信号通过系统时的特性 主要是幅频特性 来分类 可 以有低通 高通 带通和带阻四种基本类型 1 低通数字滤波器 图 2 2 1 所示 c c j j eH eH 0 武汉理工大学 数字信号处理 课程设计说明书 4 H ej c c 2 2 fs 2 fs fs 2fs fc fcf 图 2 2 1 低通数字滤波器的频谱 2 高通数字滤波器 图 2 2 2 所示 c c j j eH eH 0 H ej c c 2 2 2 2 图 2 2 2 高通数字滤波器的频谱 3 带通数字滤波器 图 2 2 3 所示 0 0 21 2 eH eH 1 j j H ej 2 2 2 2 2 2 2 1 1 图 2 2 3 带通数字滤波器的频谱 4 带阻数字滤波器 图 2 2 4 所示 武汉理工大学 数字信号处理 课程设计说明书 5 2 21 0 0 1 j j eH eH 1 H ej 2 2 2 2 2 2 2 1 图 2 2 4 带阻数字滤波器的频谱 2 32 3 无限冲击响应无限冲击响应 IIRIIR 和有限冲击响应和有限冲击响应 FIRFIR 滤波器滤波器 按系统冲击响应 或差分方程 可以分成无限冲击响应 IIR 和有限冲击响应 FIR 滤波器两类 这两种滤波器都可以现 实各种频率特性要求 但它们在计算流程 具体特性逼近等方 面是有差别的 1 FIR 滤波器 非递归型 1 0 N m mnxmhny 1 0 N n n ZnhZH 2 IIR 滤波器 递归型 N k M k knxbknyanykk 10 武汉理工大学 数字信号处理 课程设计说明书 6 N k k M k k za zb zX zY zH k k 1 0 1 2 42 4 滤波器的主要技术指标滤波器的主要技术指标 滤波器的主要技术指标取决于具体的应用或相互间的相互 关系 具体的有最大通带增益 即通带允许起伏 最大阻带 增益 通带截止频率 阻带截止频率 如图 2 4 所示 p s dB 0dB dB p s Tj a eH 图 2 4 滤波器的主要技术指标 武汉理工大学 数字信号处理 课程设计说明书 7 3 IIR 数字滤波器的设计 3 1 IIR 数字滤波器的设计方法 IIR 滤波器是一种数字滤波器 滤波器的系统函数如式 N k k k M r r r n n za zb znh zX zY zH 1 0 0 1 由于它的脉冲响应序列是无限长的 故称无限冲激响 nh 应滤波器 IIR 滤波器的设计就是根据滤波器某些性能指标要 求 设计滤波器的分子和分母多项式 它和 FIR 滤波器相比优 点是在满足相同性能指标要求条件下 IIR 滤波器的阶数要明 显低于 FIR 滤波器 但 IIR 滤波器的相位是非线性的 IIR 滤波器设计方法可分为三种 模拟滤波器变换 经典 设计法 直接设计法 参数模型设计法 最大平滑滤波器设计 3 23 2 IIRIIR 滤波器经典设计滤波器经典设计 基于模拟滤波器变换原理 首先是根据滤波器的技术指标 设计出相应的模拟滤波器 然后再将设计好的模拟滤波器变换 成满足给定技术指标的数字滤波器 这就是 IIR 滤波器设计的 武汉理工大学 数字信号处理 课程设计说明书 8 经典法 在 MATLAB 中 经典法设计 IIR 数字滤波器采用下面的 主要步骤 模拟低通滤波原型频率变换模拟离散化 IIR 滤波器 图 3 2 1 IIR 经典法设计步骤 第二步完成后 一个达到期望性能指标的模拟滤波器 低 通 高通 带通和带阻 已经设计出来 第三步离散化主要任 务就是把模拟滤波器变换成数字滤波器 即把模拟滤波器的系 数映射成数字滤波器的系统函数 SH zH 实现系统传递函数 s 域至 z 域映射有脉冲响应不变法和双 线性映射两种方法 脉冲响应不变法 设计过程是 按照技术要求设计一个模拟低通滤波器 得 到模拟低通滤波器的传输函数转换成数字低通滤波器的系 sHa 统函数 H z 将传输函数从 s 平面传换到 z 平面的方法有多种 但 sHa 工程上常用的是脉冲响应不变法和双线性变换法 我们先研究 脉冲响应不变法 设模拟滤波器的传输函数为 相应的单位冲激响应是 sHa 武汉理工大学 数字信号处理 课程设计说明书 9 LT tha sHa tha LT 代表拉氏变换 对进行等间隔采样 采样间隔为 tha T 得到 将 h n 作为数字滤波器的单位取样响 nTha nTha 应 那么数字滤波器的系统函数 H z 便是 h n 的 Z 变换 因此 脉冲响应不变法是一种时域上的转换方法 它是 h n 在采样点 上等于 tha 设模拟滤波器只有单阶极点 且分母多项式的阶次高 sHa 于分子多项式的阶次 将用部分分式表示 sHa N i i i a ss A sH 1 式中 为的单阶极点 将逆拉氏变换得到 i s sHa sHa tha 1 tueAth ts N i ia i 式中 u t 是单位阶跃函数 对进行等间隔采样 采样 tha 间隔为 T 得到 1 nTueAnThnh nTs N i ia i 对上式进行 Z 变换 得到数字滤波器的系统函数 H z N i Ts i ze A zH i 1 1 1 的极点 映射到 z 平面 其极点变成 系数不变 sHa i s Tsi e i A 武汉理工大学 数字信号处理 课程设计说明书 10 化 下面分析从模拟滤波器转换到数字滤波器 s 平面和 z 平 面之间的映射关系 从而找到这种转换方法的优缺点 这里我 们以采样信号作为桥梁 推导其映射关系 tha 设的采样信号用表示 tha tha nTtthth n aa 对进行拉氏变换 得到 tha snT n a st n a st aa enTh dtenTtth dtethsH 式中是在采样点 t n T 时的幅度值 它与序列 nTha tha h n 的幅度值相等 它与序列 h n 的幅度值相等 即 h n 因此得到 nTha sT sT ez ez n n snT n a zHznhenhsH 上式表示采样信号的拉氏变换与相应的序列的 Z 变换之间 的映射关系可用下式表示 sT ez 我们知道模拟信号的傅立叶变换和其采样信号 tha jHa 的傅立叶变换和其采样信号的傅立叶变换 tha jHa tha 武汉理工大学 数字信号处理 课程设计说明书 11 之间的关系满足式 jHa 1 s k aa jkjH T jH 将代入上式 得 js 1 s k aa jksH T jH 由上式得到 1 s k a ez jksH T zH sT 上式表明将模拟信号的拉氏变换在 s 平面上沿虚轴按 tha 照周期延迟后 再按照映射关系 映射到 z 平面上 T s 2 就得到 H z 双线性变换法 这种变换方法 采用非线性频率压缩方法 将整个频率轴 上的频率范围压缩到 T 之间 再用转换到 z 平面上 sT ez 设 Ha s s j 经过非线性频率压缩后用 Ha s1 j 1 表示 这里用正切变换实现频率压缩 1 s T T 1 5 0tan 2 式中 T 仍是采样间隔 当 1 从 T 经过 0 变化到 T 时 则由 经过 0 变化到 实现了 s 平面上整个虚轴完 武汉理工大学 数字信号处理 课程设计说明书 12 全压缩到平面上虚轴的 T 之间的转换 这样便有 1 s ts Ts z z T Tth T s 1 1 1 12 5 0 2 1 再通过 转换到 z 平面上 得到 sT ez 1 1 1 12 z z T s s T s T z 2 2 上式称为双线性变换 从 s 平面映射到平面 再从平面 1 s 1 s 映射到 z 平面 其映射情况如图 3 2 2 所示 由于从 s 平面到 平面具有非线性频率压缩的功能 因此不可能产生频率混叠 1 s 现象 另外 从平面转换到 z 平面仍然采用标准转换关系 1 s 平面的 T 之间水平带的左半部分映射 z 平面单 Ts ez 1 1 s 位圆内部 虚轴映射单位圆 这样 Ha s 因果稳定 转换成 的 H z 也是因果稳定的 下面分析模拟频率 和数字频率 之间的关系 令 有 j ezjs j j e e T j 1 12 2 1 tan 2 T 武汉理工大学 数字信号处理 课程设计说明书 13 上 Im Re z 平面 j s平面 j 1 1 s1平面 T T 图 3 2 2 双线性变换法映射 射关系 式说明 s 平面上 与平面上的 成非线性正切关系 如图 3 2 3 所示 在 0 附近接近线性关系 当 增加是 增 加得愈来愈快 当 趋近 时 趋近于 正是因为这种 非线性关系 消除了频率混叠现象 0 图 3 2 3 双线性变换法的频率变换 与 之间的非线性关系是双线性变换法的缺点 直接 影响数字滤波器频响逼真的模仿模拟滤波器的频响 幅度特性 和相位特性失真的情况如图 3 2 4 所示 这种非线性影响的实 质问题是 如果 的刻度是均匀的 则影射到 z 平面 的刻 武汉理工大学 数字信号处理 课程设计说明书 14 度不是均匀的 而是随 增加愈来愈密 jHa jHa 0 00 j eH j ae H 0 00 图 3 2 4 双线性变换法幅度和相位特性的非线性映射 双线性变换法可由简单的代数公式将 Ha s 直接转换成 H z 这是该变换法的优点 武汉理工大学 数字信号处理 课程设计说明书 15 4 DSP 仿真系统 IIR 数字滤波器经典设计法的一般步骤是 1 根据给定的性能指标和方法不同 首先对设计性能指 标中的频率指标进行转换 转换后的频率指标作为模拟滤波器 原型设计性能指标 2 估计模拟低通滤波器最小阶数和边界频率 利用 MATLAB 工具函数 buttord cheb1ord 等 3 设计模拟低通滤波器原型 利用 MATLAB 工具函数 buttap cheb1ap 等 4 由模拟低通原型经频率变换获得模拟滤波器 低通 高通 带通 带阻 利用 MATLAB 工具函数 lp2lp lp2hp lp2bp lp2bs 5 将模拟滤波器离散化获得 IIR 数字滤波器 利用 MATLAB 工具函数 bilinear 数字性能指标给出通带截止频率 阻带截止频率 通 p s 带衰减 阻带衰减等 数字频率和的取值范围为 p R s R p s 0 单位 弧度 而 MATLAB 工具函数常采用标准化频率 和的取值范围为 0 1 p s 模拟性能指标给出通带截止频率 阻带起始频率 通 p s 武汉理工大学 数字信号处理 课程设计说明书 16 带衰减 阻带衰减等 模拟频率和的单位均为弧度 p R s R c s 秒 技术指标 通带截止频率 2 阻带截止频 c sradk 2 率 通带衰减小于 3dB 阻带衰减大于sradk s 42 p R s R 15dB 采样频率 仿真结果见图 4 1HzFs20000 Wp 2000 2 pi Ws 3000 2 pi Rp 3 Rs 15 Fs 10000 Ts 1 Fs Nn 128 N Wn buttord Wp Ws Rp Rs s b a butter N Wn s z p k bu