【创新设计】2011届高三数学 一轮复习 第7知识块第5讲 直线、平面垂直的判定及其性质随堂训练 文 新人教A版

第第 5 5 讲讲 直线 平面垂直的判定及其性质直线 平面垂直的判定及其性质 一 选择题一 选择题 1 1 2009 2009 浙江卷浙江卷 设设 是两个不同的平面 是两个不同的平面 l l是一条直线 以下命题正确的是是一条直线 以下命题正确的是 A A 若 若l l 则 则l l B B 若 若l l 则 则l l C C 若 若l l 则 则l l D D 若 若l l 则 则l l 解析 由解析 由 一直线若垂直于两平行平面中的一个 则也必垂直于另一个平面一直线若垂直于两平行平面中的一个 则也必垂直于另一个平面 可知可知 C C 项项 正确 正确 答案 答案 C C 2 2 2009 2009 山东威海检测山东威海检测 过正方体过正方体ABCDABCD A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1的的 8 8 个顶点中任意两个顶点中任意两 点的直线 与点的直线 与 平面平面A A1 1BCBC1 1垂直的直线条数有垂直的直线条数有 A A 1 1 条条 B B 4 4 条条 C C 6 6 条条 D D 8 8 条条 解析 依题意由图可知 连解析 依题意由图可知 连 答案 答案 A A 3 3 如图甲所示 在正方形如图甲所示 在正方形ABCDABCD中 中 EFEF分别是分别是BCBC CDCD的中点 的中点 G G是是EFEF的中点 现的中点 现 在沿在沿AEAE AFAF及及EFEF把这个正方形折成一个四面体 使把这个正方形折成一个四面体 使B B C C D D三点重合 重合后的三点重合 重合后的 点记为点记为H H 如图乙所示 那么 在四面体 如图乙所示 那么 在四面体A A EFHEFH中必有中必有 A A AHAH EFHEFH所在平面所在平面 B B AGAG EFHEFH所在平面所在平面 C C HFHF AEFAEF所在平面所在平面 D D HGHG EFHEFH所在平面所在平面 解析 折成的四面体有解析 折成的四面体有AHAH EHEH AHAH FHFH AHAH 面面HEFHEF 答案 答案 A A 4 4 2010 2010 浙江宁波调研浙江宁波调研 如图所示 在斜三棱柱如图所示 在斜三棱柱ABCABC A A1 1B B1 1C C1 1中 中 BACBAC 90 90 BCBC1 1 ACAC 则则C C1 1在底面在底面ABCABC上的射影上的射影H H必在必在 A A 直线 直线ABAB上上 B B 直线 直线BCBC上上 C C 直线 直线ACAC上上 D D ABCABC内部内部 解析 解析 BABA ACAC BCBC1 1 ACAC BABA BCBC1 1 B B ACAC 平面平面ABCABC1 1 ACAC 平面平面ABCABC 平面平面ABCABC 平面平面ABCABC1 1 且交线是 且交线是ABAB 故平面故平面ABCABC1 1上一点上一点C C1 1在在 底面底面ABCABC的射影的射影H H必在交线必在交线ABAB上 上 答案 答案 A A 二 填空题二 填空题 5 5 2009 2009 江苏卷江苏卷 设设 和和 为不重合的两个平面 给出下列命题 为不重合的两个平面 给出下列命题 1 1 若若 内的两条相交直线分别平行于内的两条相交直线分别平行于 内的两条直线 则内的两条直线 则 平行于平行于 2 2 若若 外一条直线外一条直线l l与与 内的一条直线平行 则内的一条直线平行 则l l和和 平行 平行 3 3 设设 和和 相交于直线相交于直线l l 若 若 内有一条直线垂直于内有一条直线垂直于l l 则 则 和和 垂直 垂直 4 4 直线直线l l与与 垂直的充分必要条件是垂直的充分必要条件是l l与与 内的两条直线垂直 内的两条直线垂直 上面命题中 真命题的序号是上面命题中 真命题的序号是 写出所有真命题的序号写出所有真命题的序号 解析 解析 1 1 内两条相交直线分别平行于平面内两条相交直线分别平行于平面 则两条相交直线确定的平面 则两条相交直线确定的平面 平行平行 于平于平 面面 正确 正确 2 2 平面平面 外一条直线外一条直线l l与与 内的一条直线平行 则内的一条直线平行 则l l平行于平行于 正确 正确 3 3 如图 如图 l l a a a a l l 但不一定有 但不一定有 错误 错误 4 4 直线直线 l l 与与 垂直的充分必要条件是垂直的充分必要条件是l l与与 内的两条相交直线垂直 而该命题缺少内的两条相交直线垂直 而该命题缺少 相相 交交 两字 故为假命题 综上所述 真命题的序号为两字 故为假命题 综上所述 真命题的序号为 1 2 1 2 答案 答案 1 2 1 2 6 6 如图所示 四棱锥如图所示 四棱锥P P ABCDABCD的底面的底面ABCDABCD是边长为是边长为a a的正方形 侧棱的正方形 侧棱 PAPA a a PBPB PDPD a a 则它的 则它的 5 5 个面中 互相垂直的面有个面中 互相垂直的面有 对 对 2 2 解析 面解析 面PABPAB 面面PADPAD 面 面PABPAB 面面ABCDABCD 面 面PABPAB 面面PBCPBC 面 面PADPAD 面面 ABCDABCD 面面PADPAD 面面PCDPCD 答案 答案 5 5 7 7 2010 2010 江西南昌调研江西南昌调研 如图所示 在四棱锥如图所示 在四棱锥P P ABCDABCD中 中 PAPA 底面底面 ABCDABCD 且底面各边都相等 且底面各边都相等 M M是是PCPC上的一动点 当点上的一动点 当点M M满足满足 时 时 平面平面MBDMBD 平面平面PCDPCD 只只 要填写一个你认为是正确的即可要填写一个你认为是正确的即可 解析 连接解析 连接ACAC 由题意知 由题意知BDBD 平面平面PACPAC BDBD PCPC 当当DMDM PCPC 或或BMBM PCPC 时 即有时 即有PCPC 平面平面MBDMBD 而 而PCPC 平面平面PCDPCD 平面平面MBDMBD 平面平面PCDPCD 答案 答案 DMDM PCPC 或或BMBM PCPC 三 解答题三 解答题 8 8 2009 2009 南京第一次调研南京第一次调研 如图所示 在直三棱柱如图所示 在直三棱柱ABCABC A A1 1B B1 1C C1 1中 中 ABAB ACAC 点 点D D E E O O分别为分别为AAAA1 1 A A1 1C C1 1 B B1 1C C的中点 证明 的中点 证明 1 1 OEOE 平面平面AAAA1 1B B1 1B B 2 2 平面平面B B1 1DCDC 平面平面BBBB1 1C C1 1C C 证明 证明 1 1 证法一 连接证法一 连接BCBC1 1 BABA1 1 在直三棱柱在直三棱柱ABCABC A A1 1B B1 1C C1 1中 中 因为四边形因为四边形BBBB1 1C C1 1C C为矩形 为矩形 点点O O为为B B1 1C C的中点 的中点 所以点所以点O O也为也为BCBC1 1的中点 的中点 因为因为E E为为C C1 1A A1 1的中点 的中点 所以所以OEOE A A1 1B B 因为因为A A1 1B B 平面平面AAAA1 1B B1 1B B OEOE 平面平面AAAA1 1B B1 1B B 所以所以OEOE 平面平面AAAA1 1B B1 1B B 证法二 取证法二 取B B1 1C C1 1的中点的中点F F 连接 连接BCBC1 1 OFOF EFEF 因为因为E E F F分别为分别为C C1 1A A1 1 C C1 1B B1 1的中点 所以的中点 所以EFEF A A1 1B B1 1 因为因为A A1 1B B1 1 平面平面AAAA1 1B B1 1B B EFEF 平面平面AAAA1 1B B1 1B B 所以所以EFEF 平面平面AAAA1 1B B1 1B B 在直三棱柱在直三棱柱ABCABC A A1 1B B1 1C C1 1中 中 因为四边形因为四边形BBBB1 1C C1 1C C为矩形 为矩形 点点O O为为B B1 1C C的中点 的中点 所以点所以点O O也为也为BCBC1 1的中点 的中点 所以所以OFOF BBBB1 1 因为 因为BBBB1 1 平面平面AAAA1 1B B1 1B B OFOF 平面平面AAAA1 1B B1 1B B 所以 所以OFOF 平面平面AAAA1 1B B1 1B B 因为因为EFEF 平面平面OEFOEF OFOF 平面平面OEFOEF EFEF OFOF F F 所以平面所以平面OEFOEF 平面平面AAAA1 1B B1 1B B 因为因为OEOE 平面平面OEFOEF 所以 所以OEOE 平面平面AAAA1 1B B1 1B B 2 2 连接连接ODOD 在直三棱柱 在直三棱柱ABCABC 中 中 因为因为 平面平面ABCABC ACAC 平面平面ABCABC 所以 所以 ACAC 所以所以 同理同理 因为因为ACAC ABAB ADAD 所以 所以CDCD 因为因为COCO 所以 所以OBOB 连接连接 BDBD 同理可证 同理可证 ODOD 因为因为 O O 所以所以ODOD 平面平面 因为因为ODOD 平面平面B B1 1DCDC 所以平面 所以平面 9 9 2010 2010 广东中山调研广东中山调研 如图所示 在正三棱柱如图所示 在正三棱柱ABCABC A A1 1B B1 1C C1 1中 中 ABAB AAAA1 1 D D是是BCBC 上的一点 且上的一点 且ADAD C C1 1D D 1 1 求证 求证 A A1 1B B 平面平面ACAC1 1D D 2 2 在棱在棱CCCC1 1上是否存在一点上是否存在一点P P 使直线 使直线PBPB1 1 平面平面ACAC1 1D D 若存在 找出这个点 并加 若存在 找出这个点 并加 以证明 若不存在 请说明理由 以证明 若不存在 请说明理由 证明 证明 1 1 ABCABC A A1 1B B1 1C C1 1是正三棱柱 是正三棱柱 CCCC1 1 平面平面ABCABC CCCC1 1 ADAD 又又ADAD C C1 1D D CCCC1 1 C C1 1D D C C1 1 ADAD 平面平面BCCBCC1 1B B1 1 ADAD BCBC D D是是BCBC的中点 的中点 连接连接A A1 1C C 设与 设与ACAC1 1相交于点相交于点E E 则点 则点E E为为A A1 1C C的中点 连接的中点 连接DEDE 则在 则在 A A1 1BCBC中 中 D D E E分别是分别是BCBC A A1 1C C的中点 的中点 A A1 1B B DEDE 又又DEDE在平面在平面ACAC1 1D D内 内 A A1 1B B不在平面不在平面ACAC1 1D D内 内 A A1 1B B 平面平面ACAC1 1D D 2 2 解 存在这样的点解 存在这样的点P P 且点 且点P P为为CCCC1 1的中点 下面给出证明 的中点 下面给出证明 由由 1 1 知知ADAD 平面平面BCCBCC1 1B B1 1 故 故B B1 1P P ADAD 设设PBPB1 1与与C C1 1D D相交于点相交于点Q Q 由于 由于 DCDC1 1C C PBPB1 1C C1 1 故 故 QBQB1 1C C1 1 CCCC1 1D D 因为因为 QCQC1 1B B1 1 CDCCDC1 1 从而从而 QCQC1 1B B1 1 CDCCDC1 1 所以 所以 C C1 1QBQB1 1 DCCDCC1 1 90 90 所以 所以B B1 1P P C C1 1D D 因为因为ADAD C C1 1D D D D 所以 所以B B1 1P P 平面平面ACAC1 1D D 1010 如图所示 在五面体 如图所示 在五面体ABCDEFABCDEF中 点中 点O O是矩形是矩形ABCDABCD的对角线的交点 的对角线的交点 面面CDECDE 是等边三角形 棱是等边三角形 棱EFEF綊綊BCBC CDECDE为等边三角形 为等边三角形 1 1 2 2 1 1 证明 证明 FOFO 平面平面CDECDE 2 2 设设BCBC CDCD 证明 证明 EOEO 平面平面CDFCDF 3 3 证明 证明 1 1 如图所示 取如图所示 取CDCD中点中点M M 连结 连结OMOM 在矩形在矩形ABCDABCD中 中 OMOMBCBC 又 又EFEFBCBC 1 1 2 2 1 1 2 2 则则EFEFOMOM 连结连结EMEM 于是四边形 于是四边形EFOMEFOM为平行四边形 为平行四边形 FOFO EMEM 又又 FOFO 平面平面CDECDE 且 且EMEM 平面平面CDECDE FOFO 平面平面CDECDE 2 2 连结连结FMFM 由由 1 1 和已知条件 在等边和已知条件 在等边 CDE CDE中 中 CMCM DMDM EMEM CDCD且且EMEM CDCD BCBC EF EF 因此平行四边形因此平行四边形EFOMEFOM为菱形 从而为菱形 从而EOEO FM FM CDCD OMOM CDCD EMEM CDCD 平面平面EOM EOM 从而从而CDCD EOEO 而而FMFM CDCD M M 所以 所以EOEO 平面平面CDFCDF 1 1 2010 2010 改编题改编题 已知两条不同直线已知两条不同直线l l1 1