第五章第3课时

第第 3 课时课时 机械能守恒定律机械能守恒定律 考纲解读 1 掌握重力势能 弹性势能的概念 并能计算 2 掌握机械能守恒的条件 会判断 物体的机械能是否守恒 3 掌握机械能守恒定律的三种表达形式 理解其物理意义 并能熟 练应用 1 对重力做功和重力势能变化关系的理解 将质量为 100 kg 的物体从地面提升到 10 m 高 处 在这个过程中 下列说法中正确的是 取 g 10 m s2 A 重力做正功 重力势能增加 1 0 104 J B 重力做正功 重力势能减少 1 0 104 J C 重力做负功 重力势能增加 1 0 104 J D 重力做负功 重力势能减少 1 0 104 J 答案 C 解析 WG mgh 1 0 104 J Ep WG 1 0 104 J C 项正确 2 动能和势能的转化及机械能守恒的判断 物体在平衡力作用下的运动中 其机械能 动 能 重力势能的变化有可能发生的是 A 机械能不变 动能不变 B 动能不变 重力势能可能变化 C 动能不变 重力势能一定变化 D 若重力势能变化 则机械能一定变化 答案 ABD 解析 用水平恒力拉着物体在粗糙水平面上做匀速直线运动时 机械能 重力势能 动能都不变 A 正确 C 错误 用竖直向上的恒力拉物体 使之在竖直方向上做匀速 直线运动时 动能不变 重力势能发生变化 B 正确 重力势能发生变化时 重力一 定做功 同时物体若要在平衡力作用下运动 则必定受到与重力等大反向的恒力 有 外力做功 所以机械能一定变化 D 正确 3 机械能守恒定律的应用 如图 1 所示 质量 初速度大小都相同的 A B C 三个小球 在同一水平面上 A 球竖直上抛 B 球以倾斜角 斜向上抛 空气阻力不计 C 球沿 倾角为 的光滑斜面上滑 它们上升的最大高度分别为 hA hB hC 则 图 1 A hA hB hC B hA hBhC D hA hC hB 答案 D 解析 对于 A 球和 C 球 当到达最高点时 速度均会减为 0 所以由动能定理可得 0 mv mgh 所以 hA hC 1 22 0 而 B 球当上升到最高点时 只有竖直方向的分速度减为 0 水平方向速度保持不变 所以由动能定理得 mv mv mghB 所以 1 22 末 1 22 0 hA hC hB 故 D 正确 一 重力做功与重力势能 1 重力做功的特点 1 重力做功与路径无关 只与初 末位置的高度差有关 2 重力做功不引起物体机械能的变化 2 重力势能 1 概念 物体由于被举高而具有的能 2 表达式 Ep mgh 3 矢标性 重力势能是标量 正负表示其大小 3 重力做功与重力势能变化的关系 1 定性关系 重力对物体做正功 重力势能就减少 重力对物体做负功 重力势能就 增加 2 定量关系 重力对物体做的功等于物体重力势能的减少量 即 WG Ep2 Ep1 Ep 二 机械能守恒定律 1 内容 在只有重力或弹力做功的物体系统内 动能与势能会发生相互转化 但机械能的总量 保持不变 2 机械能守恒的条件 只有重力或弹力做功 3 对守恒条件的理解 1 只受重力作用 例如在不考虑空气阻力的情况下的各种抛体运动 物体的机械能守 恒 2 受其他力 但其他力不做功 只有重力或系统内的弹力做功 3 弹力做功伴随着弹性势能的变化 并且弹力做的功等于弹性势能的减少量 4 机械能守恒的三种表达式 1 E1 E2 E1 E2分别表示系统初 末状态时的总机械能 2 Ek Ep或 Ek 增 Ep 减 表示系统动能的增加量等于系统势能的减少量 3 EA EB或 EA 增 EB 减 表示系统只有 A B 两部分时 A 增加的机械能等于 B 减少的机械能 考点一 机械能守恒的判断 机械能守恒的判断方法 1 利用机械能的定义判断 直接判断 若物体动能 势能均不变 则机械能不变 若 一个物体动能不变 重力势能变化 或重力势能不变 动能变化或动能和重力势能同 时增加 减小 其机械能一定变化 2 用做功判断 若物体或系统只有重力 或弹簧的弹力 做功 虽受其他力 但其他力 不做功 机械能守恒 3 用能量转化来判断 若物体或系统中只有动能和势能的相互转化而无机械能与其他 形式的能的转化 则物体或系统机械能守恒 4 对多个物体组成的系统 除考虑外力是否只有重力做功外 还要考虑系统内力做功 如有滑动摩擦力做功时 因摩擦生热 系统机械能将有损失 例 1 如图 2 所示 下列关于机械能是否守恒的判断正确的是 图 2 A 甲图中 火箭升空的过程中 若匀速升空机械能守恒 若加速升空机械能不守恒 B 乙图中物体匀速运动 机械能守恒 C 丙图中小球做匀速圆周运动 机械能守恒 D 丁图中 轻弹簧将 A B 两小车弹开 两小车组成的系统机械能不守恒 两小车和 弹簧组成的系统机械能守恒 解析 甲图中无论火箭匀速上升还是加速上升 由于有推力做功 机械能增加 因而 机械能不守恒 乙图中拉力 F 做功 机械能不守恒 丙图中 小球受到的所有力都不做功 机械能守恒 丁图中 弹簧的弹力做功 弹簧的弹性势能转化为两小车的动能 两小车与弹簧组成 的系统机械能守恒 答案 CD 1 机械能守恒的条件绝不是合外力的功等于零 更不是合外力为零 只有重力做功 不 等于 只受重力作用 2 对于一些绳子突然绷紧 物体间碰撞等情况 除非题目特别说明 否则机械能必定不守 恒 3 对于系统机械能是否守恒 可以根据能量的转化进行判断 突破训练 1 如图 3 所示 斜劈劈尖顶着竖直墙壁静止于水平面上 现将一小球从图示位 置静止释放 不计一切摩擦 则在小球从释放到落至地面的过程中 下列说法正确的 是 图 3 A 斜劈对小球的弹力不做功 B 斜劈与小球组成的系统机械能守恒 C 斜劈的机械能守恒 D 小球机械能的减小量等于斜劈动能的增大量 答案 BD 解析 球有竖直方向的位移 所以斜劈对球做功 不计一切摩擦 小球下滑过程中 小球和斜劈组成的系统中只有动能和重力势能相互转化 系统机械能守恒 故选 B D 考点二 机械能守恒定律的三种表达形式及应用 1 守恒观点 1 表达式 Ek1 Ep1 Ek2 Ep2或 E1 E2 2 意义 系统初状态的机械能等于末状态的机械能 3 注意问题 要先选取零势能参考平面 并且在整个过程中必须选取同一个零势能参 考平面 2 转化观点 1 表达式 Ek Ep 2 意义 系统的机械能守恒时 系统增加 或减少 的动能等于系统减少 或增加 的势 能 3 转移观点 1 表达式 EA 增 EB 减 2 意义 若系统由 A B 两部分组成 当系统的机械能守恒时 则 A 部分机械能的增 加量等于 B 部分机械能的减少量 例 2 在竖直平面内 一根光滑金属杆弯成如图 4 所示形状 相应的曲线方程为 y 2 5cos kx m 式中 k 1 m 1 将一质量为 1 kg 的光滑小环套在该金属杆上 在 P 2 3 6 m 0 点给小环以平行于杆 大小为 10 m s 的初速度 让小环沿杆向 x 轴正方向运动 取 g 10 m s2 关于小环的运动 下列说法正确的是 图 4 A 金属杆对小环不做功 B 小环沿 x 轴方向的分运动为匀速运动 C 小环到达金属杆的最高点时的速度为 5 m s 2 D 小环到达 Q m 2 5 m 点时的速度为 10 m s 32 解析 小环光滑不存在摩擦力 运动的时候 金属杆对小环只有支持力的作用 支持 力的方向始终都是与运动方向垂直的 因此支持力不做功 所以 A 正确 小环运动时 金属杆对小环的支持力沿 x 轴方向有水平分量 小环在水平方向具有加速度 是变速 运动 所以 B 错 根据题图和曲线方程可以看出小环运动到最高点时 上升的高度为 2 5 m 由机械能守恒定律 mv mgh mv2可以求出最高点时小环的速度 v 5 1 22 0 1 22 m s 所以 C 正确 Q 点的纵坐标为 2 5 m 即高度为 2 5 m 代入上式得 v 5 6 m s 所以 D 错 答案 AC 突破训练 2 如图 5 所示 一根很长的 不可伸长的柔软轻绳跨过光滑定滑轮 绳两端各 系一小球 a 和 b a 球质量为 m 静置于地面 b 球质量为 3m 用手托住 高度为 h 此时轻绳刚好拉紧 不计空气阻力 从静止开始释放 b 后 a 可能到达的最大高度为 图 5 A h B 1 5h C 2h D 2 5h 答案 B 解析 在 b 球落地前 a b 球组成的系统机械能守恒 且 a b 两球速度大小相等 根据机械能守恒定律可知 3mgh mgh m 3m v2 v b 球落地时 a 球高度 1 2gh 为 h 之后 a 球向上做竖直上抛运动 在这个过程中机械能守恒 mv2 mg h h 1 2 所以 a 球可能到达的最大高度为 1 5h B 正确 v2 2g h 2 23 用机械能守恒定律分析竖直平面内的圆 周运动模型 例 3 如图 6 在竖直平面内有一固定光滑轨道 其中 AB 是长为 R 的水平直轨道 BCD 是圆心为 O 半径为 R 的 圆弧轨道 两轨道相切于 B 点 在外力作用下 一小球从 3 4 A 点由静止开始做匀加速直线运动 到达 B 点时撤去外力 已知小球刚好能沿圆轨道 经过最高点 C 重力加速度为 g 求 图 6 1 小球在 C 点的速度的大小 2 小球在 AB 段运动的加速度的大小 3 小球从 D 点运动到 A 点所用的时间 审题与关联 解析 1 小球刚好能沿圆轨道经过最高点 C 则有 mg mv2 C R 解得 vC gR 2 设小球在 AB 段运动的加速度为 a 则由运动学公式得 v 2aR 2 B 从 B 到 C 只有重力做功 小球的机械能守恒 则有 mv mg 2R mv 1 22 C 1 22 B 由 式联立可得 a g vB 5 25gR 3 设小球过 D 点的速度为 vD 从 C 到 D 小球的机械能守恒 mv mgR mv 1 22 C 1 22 D 解得 vD 3gR 设小球回到 A 点时的速度为 vA 从 B 到 A 由机械能守恒定律得 mv mv 1 22 A 1 22 B 所以 vA vB 从 D 到 A 的时间为 t vA vD g53 R g 答案 1 2 g 3 gR 5 253 R g 突破训练 3 如图 7 所示 竖直平面内的 圆弧形光滑管道半径略大于小球半径 管道中 3 4 心到圆心距离为 R A 点与圆心 O 等高 AD 为水平面 B 点在 O 的正下方 小球自 A 点正上方由静止释放 自由下落至 A 点时进入管道 当小球到达 B 点时 管壁对小 球的弹力大小为小球重力大小的 9 倍 求 图 7 1 释放点距 A 点的竖直高度 2 落点 C 与 A 的水平距离 答案 1 3R 2 2 1 R 2 解析 1 设小球到达 B 点的速度为 v1 因为到达 B 点时管壁对小球的弹力大小为小球 重力大小的 9 倍 所以有 9mg mg m v2 1 R 又由机械能守恒定律得 mg h R mv 1 22 1 由此可解得 h 3R 2 设小球到达最高点的速度为 v2 落点 C 与 A 的水平距离为 x 由机械能守恒定律得 mv mv 2mgR 1 22 1 1 22 2 由平抛运动规律得 R gt2 R x v2t 1 2 由此可解得 x 2 1 R 2 高考题组 1 2013 浙江 23 山谷中有三块石头和一根不可伸长的轻质青藤 其示意图如图 8 图中 A B C D 均为石头的边缘点 O 为青藤的固定点 h1 1 8 m h2 4 0 m x1 4 8 m x2 8 0 m 开始时 质量分别为 M 10 kg 和 m 2 kg 的大 小两只滇金丝猴分别 位于左边和中间的石头上 当大猴发现小猴将受到伤害时 迅速从左边石头的 A 点水 平跳至中间石头 大猴抱起小猴跑到 C 点 抓住青藤下端 荡到右边石头上的 D 点 此时速度恰好为零 运动过程中猴子均可看成质点 空气阻力不计 重力加速度 g 10 m s2 求 图 8 1 大猴从 A 点水平跳离时速度的最小值 2 猴子抓住青藤荡起时的速度大小 3 猴子荡起时 青藤对猴子的拉力大小 答案 1 8 m s 2 4 m s 3 216 N 5 解析 1 设猴子从 A 点水平跳离时速度的最小值为 vmin 根据平抛运动规律 有 h1 gt2 1 2 x1 vmint 联立 式 得 vmin 8 m s 2 猴子抓住青藤后的运动过程中机械能守恒 设荡起时速度为 vC 有 M m gh2 M m v 1 22 C vC 4 m s 2gh25 3 设拉力为 FT 青藤的长度为 L 对最低点 由牛顿第二定律得 FT M m g M m v2 C L 由几何关系 L h2 2 x L2 2 2 得 L 10 m 联立 式并代入数据解得 FT M m g M m 216 N v2 C L 模拟题组 2 如图 9 所示 滑块质量为 m 与水平地面间的动摩擦因数为 0 1 它以 v0 3的初速 gR 度由 A 点开始向 B 点滑行 AB 5R 并滑上光滑的半径为 R 的 圆弧 BC 在 C 点正 1 4 上方有一离 C 点高度也为 R 的旋转平台 沿平台直径方向开有两个离轴心距离相等的 小孔 P Q 孔径大于滑块的大小 旋转时两孔均能达到 C 点的正上方 平台的厚度 可忽略不计 求 图 9 1 滑块运动到光滑轨道 B 点时对轨道的压力 2 若滑块滑过 C 点后穿过 P 孔 求滑块过 P 点后还能上升的最大高度 3 若滑块滑过 C 点后从 P 孔上升又恰能从 Q 孔落下 平台转动的角速度 应满足什 么条件 答案 1 9mg 2 2R 3 n 0 1 2 2n 1 4 g R 解析 1 设滑块滑至 B 点时速度为 vB 对滑块由 A 点到 B 点应用动能定理有 mg 5R mv mv 1 22 B 1 22 0 对滑块在 B 点 由牛顿第二定律有 FN mg m v2 B R 解得 FN 9mg 由牛顿第三定律可知 滑块在 B 点时对轨道的压力大小 FN FN 9mg 方向竖直向 下 2 滑块从 B 点开始之后的运动过程中机械能守恒 设滑块到达 P 处时速度为 vP 则 mv mv mg 2R 1 22 B 1 22 P 解得 vP 2 gR 滑块穿过 P 孔后再上升机械能仍守恒 设能上升的最大高度为 h 由 mv mg h 得到 h 2R 1 22 P 即滑块过 P 点后还能上升的最大高度为 2R 3 滑块穿过 P 孔后再回到平台的时间 t 4 2vP g R g 要想实现题述过程 需满足 t 2n 1 n 0 1 2 2n 1 4 g R 3 如图 10 所示 ABC 和 DEF 是在同一竖直平面内的两条光滑轨道 其中 ABC 的末端水 平 DEF 是半径为 r 0 4 m 的半圆形轨道 其直径 DF 沿竖直方向 C D 可看做重 合的点 现有一可视为质点的小球从轨道 ABC 上距 C 点高为 H 的地方由静止释 放 g 取 10 m s2 图 10 1 若要使小球经 C 处水平进入轨道 DEF 且能沿轨道运动 H 至少多高 2 若小球静止释放处离 C 点的高度 h 小于 1 中 H 的最小值 小球可击中与圆心等高 的 E 点 求 h 答案 1 0 2 m 2 0 1 m 解析 1 小球沿 ABC 轨道下滑 机械能守恒 设到达 C 点时的速度大小为 v 则 mgH mv2 1 2 小球能在竖直平面内做圆周运动 在圆周最高点必须满足 mg mv2 r 两式联立并代入数据得 H 0 2 m 2 若 h H 小球过 C 点后做平抛运动 设球经 C 点时的速度大小为 vx 则击中 E 点 时 竖直方向上有 r gt2 1 2 水平方向上有 r vxt 又由机械能守恒定律有 mgh mv 1 22 x 由 联立可解得 h 0 1 m r 4 限时 45 分钟 题组 1 关于重力势能的理解和机械能守恒的判断 1 如图 1 所示 竖立在水平面上的轻弹簧 下端固定 将一个金属球放在弹簧顶端 球与 弹簧不连接 用力向下压球 使弹簧被压缩 并用细线把小球和地面拴牢 图甲 烧 断细线后 发现球被弹起且脱离弹簧后还能继续向上运动 图乙 那么该球从细线被 烧断到刚脱离弹簧的运动过程中 下列说法正确的是 图 1 A 弹簧的弹性势能先减小后增大 B 球刚脱离弹簧时动能最大 C 球在最低点所受的弹力等于重力 D 在某一阶段内 小球的动能减小而小球的机械能增加 答案 D 解析 从细线被烧断到球刚脱离弹簧的运动过程中 弹簧的弹性势能转化为小球的机 械能 弹性势能逐渐减小 选项 A 错误 当弹簧弹力与球重力相等时 球的动能最大 此后弹簧继续对球做正功 但球的动能减小 而球的机械能却增大 所以选项 B 错误 D 正确 小球能继续上升 说明在细线烧断瞬间小球在最低点时受到的弹力大于球的 重力 选项 C 错误 2 如图 2 所示 将一个内外侧均光滑的半圆形槽置于光滑的水平面上 槽的左侧有一固定 的竖直墙壁 现让一小球自左端槽口 A 点的正上方由静止开始下落 从 A 点与半圆形 槽相切进入槽内 则下列说法正确的是 图 2 A 小球在半圆形槽内运动的全过程中 只有重力对它做功 B 小球从 A 点向半圆形槽的最低点运动的过程中 小球处于失重状态 C 小球从 A 点经最低点向右侧最高点运动的过程中 小球与槽组成的系统机械能守 恒 D 小球从下落到从右侧离开槽的过程中 机械能守恒 答案 C 解析 小球从 A 点向半圆形槽的最低点运动的过程中 半圆形槽有向左运动的趋势 但是实际上没有动 整个系统只有重力做功 所以小球与槽组成的系统机械能守 恒 而小球过了半圆形槽的最低点以后 半圆形槽向右运动 由于系统没有其他形式 的能量产生 满足机械能守恒的条件 所以系统的机械能守恒 小球到达槽最低点前 小球先失重 后超重 当小球向右上方滑动时 半圆形槽向右移动 半圆形槽对小球 做负功 小球的机械能不守恒 综合以上分析可知选项 C 正确 3 如图 3 所示 轻质弹簧的一端与固定的竖直板 P 拴接 另一端与物体 A 相连 物体 A 置于光滑水平桌面上 桌面足够大 A 右端连接一水平细线 细线绕过光滑的定滑轮与 物体 B 相连 开始时托住 B 让 A 处于静止且细线恰好伸直 然后由静止释放 B 直 至 B 获得最大速度 下列有关该过程的分析中正确的是 图 3 A B 物体受到细线的拉力保持不变 B B 物体机械能的减少量大于弹簧弹性势能的增加量 C A 物体动能的增加量等于 B 物体重力对 B 做的功与弹簧弹力对 A 做的功之和 D A 物体与弹簧所组成的系统机械能的增加量等于细线拉力对 A 做的功 答案 BD 解析 对 A B 的运动分析可知 A B 做加速度越来越小的加速运动 直至 A 和 B 达 到最大速度 从而可以判断细线对 B 物体的拉力越来越大 A 选项错误 根据能量守 恒定律知 B 减少的重力势能转化为 A B 的动能与弹簧的弹性势能 据此可判断 B 选项正确 C 选项错误 而 A 物体动能的增加量等于细线拉力与弹簧弹力对 A 做的功 之和 由此可知 D 选项正确 题组 2 机械能守恒定律的应用 4 如图 4 所示 在高 1 5 m 的光滑平台上有一个质量为 2 kg 的小球被一细线拴在墙上 小 球与墙之间有一根被压缩的轻质弹簧 当烧断细线时 小球被弹出 小球落地时的速 度方向与水平方向成 60 角 则弹簧被压缩时具有的弹性势能为 g 10 m s2 图 4 A 10 J B 15 J C 20 J D 25 J 答案 A 解析 由 2gh v 0 得 vy 即 vy m s 落地时 tan 60 可得 v0 2 y2gh30 vy v0 m s 由机械能守恒定律得 Ep mv 可求得 Ep 10 J 故 A 正确 vy tan 60 10 1 22 0 5 半径分别为 r 和 R r R 的光滑半圆形槽 其圆心均在同一水平面上 如图 5 所示 质量 相等的两物体分别自半圆形槽左边缘的最高点无初速度地释放 在下滑过程中两物体 图 5 A 机械能均逐渐减小 B 经最低点时动能相等 C 机械能总是相等的 D 两物体在最低点时加速度大小不相等 答案 C 解析 本题考查机械能守恒定律及应用牛顿第二定律处理圆周运动问题的方法 两物 体下滑的过程中 均只有重力做功 故机械能守恒 A 错误 C 正确 在最低点 两 物体重力势能不同 由机械能守恒定律可知 两物体动能不同 B 错误 物体由半圆 形槽左边缘到最低点的过程中 有 mgR mv2 在最低点 两物体的加速度 a 1 2 v2 R 解得 a 2g 其与圆周运动的轨道半径无关 D 错误 6 内壁光滑的环形凹槽半径为 R 固定在竖直平面内 一根长度为R 的轻杆 一端固定 2 有质量为 m 的小球甲 另一端固定有质量为 2m 的小球乙 将两小球放入凹槽内 小 球乙位于凹槽的最低点 如图 6 所示 由静止释放后 图 6 A 下滑过程中甲球减少的机械能总等于乙球增加的机械能 B 下滑过程中甲球减少的重力势能总等于乙球增加的重力势能 C 甲球可沿凹槽下滑到槽的最低点 D 杆从右向左滑回时 乙球一定能回到凹槽的最低点 答案 AD 解析 根据题设条件可知甲 乙两小球组成的系统满足机械能守恒定律 故 A D 对 B 错 由于乙球的质量大于甲球的质量 所以甲球不可能沿凹槽下滑到槽的最低点