【中考12年】广东省广州市2001-2012年中考数学试题分类解析 专题6 函数的图像与性质

1 广州市广州市 2001 20122001 2012 年中考数学试题分类解析专题年中考数学试题分类解析专题 6 6 函数的图像与 函数的图像与 性质性质 1 1 选择题选择题 1 1 20012001 年广东广州年广东广州 2 2 分 分 一次函数 y 2x 3 的图象不经过 A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 2 2 20022002 年广东广州年广东广州 3 3 分 分 如果已知一次函数 y kx b 的图象不经过第三象限 也不经过 原点 那么 k b 的取值范围是 A k 0 且 b 0 B k 0 且 b 0 C k0 D k 0 且 b 0 由题意得 函数 y kx b 的图象不经过第三象限 也不经过原点 故它的图象经过 第一 二 四象限 此时k00 时 双曲线 k y x 与直线y kx 的公共点有 A 0 个 B 1 个 C 2 个 D 3 个 答案答案 A 考点考点 正 反比例函数的性质 分析分析 当 k 0 时 双曲线 k y x 经过第一 三象限 直线y kx 经过第二 四象限 当 k 0 时 双曲线 k y x 与直线y kx 没有公共点 故选 A 11 11 20062006 年广东广州年广东广州 3 3 分 分 抛物线 2 yx1 的顶点坐标是 A 0 1 B 0 一 1 C 1 0 D 一 1 0 12 12 20062006 年广东广州年广东广州 3 3 分 分 下列图象中 表示直线 y x 1 的是 6 A B C D 13 13 20072007 年广东广州年广东广州 3 3 分 分 二次函数 2 yx2x1 与 x 轴的交点个数是 A 0 B 1 C 2 D 3 答案答案 B 考点考点 二次函数图象与 x 轴的交点问题 一元二次方程根的判别式 分析分析 根据二次函数与对应的一元二次方程的关系 求二次函数 2 yx2x1 与 x 轴的 交点个数只要令y0 即 2 x2x10 根据其根的判别式判定其解的个数 2 x2x10 的 2 240 2 x2x10 有两相等的实数根 二次函数 2 yx2x1 与 x 轴有 1 个交点 故选 B 14 14 20082008 年广东广州年广东广州 3 3 分 分 一次函数y3x4 的图象不经过 A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 7 15 15 20092009 年广东广州年广东广州 3 3 分 分 二次函数 2 y x1 2 的最小值是 A 2 B 1 C 1 D 2 16 16 20112011 年广东广州年广东广州 3 3 分 分 下列函数中 当x 0 时 y值随x值增大而减小的是 A 2 yx B yx1 C 3 yx 4 D 1 y x 答案答案 D 考点考点 二次函数 一次函 正比例函数 反比例函数的性质 分析分析 A 二次函数 2 yx 的图象 开口向上 并向上无限延伸 在 y 轴右侧 x 0 时 y 随x的增大而增大 故本选项错误 B 一次函数yx1 的图象 y 随x的增大而增 大 故本选项错误 C 正比例函数 3 yx 4 的图象在一 三象限内 y 随x的增大而增大 故本选项错误 D 反比例函数 1 y x 中的 1 0 所以 y 随x的增大而减小 故本选项 正确 故选 D 8 17 17 20122012 年广东广州年广东广州 3 3 分 分 如图 正比例函数 y1 k1x 和反比例函数 2 2 k y x 的图象交于 A 1 2 B 1 2 两点 若 y1 y2 则 x 的取值范围是 A x 1 或 x 1 B x 1 或 0 x 1 C 1 x 0 或 0 x 1 D 1 x 0 或 x 1 二 填空题二 填空题 1 1 20012001 年广东广州年广东广州 3 3 分 分 抛物线 y x2 6x 5 的顶点坐标是 2 2 20032003 年广东广州年广东广州 3 3 分 分 如果正比例函数的图像经过点 2 1 那么这个函数的解 析式是 答案答案 1 y x 2 考点考点 待定系数法 直线上点的坐标与方程的关系 分析分析 设正比例函数的解析式为y kx 正比例函数的图像经过点 2 1 1 2k 即 1 k 2 这个函数的解析式是 1 y x 2 9 3 3 20062006 年广东广州年广东广州 3 3 分 分 若反比例函数 k y x 的图象经过点 1 一 1 则 k 的值是 4 4 20092009 年广东广州年广东广州 3 3 分 分 已知函数 2 y x 当x 1 时 y的值是 答案答案 2 考点考点 求函数值 分析分析 将x 1 代入 2 y x 得y2 三 解答题三 解答题 1 1 20012001 年广东广州年广东广州 1212 分 分 已知点 A 1 2 和 B 2 5 试写出两个二次函数 使 它们的图象都经过 A B 两点 分析分析 可以设出函数解析式 y ax2 bx c a 0 把 A B 坐标代入求出过这两点的函 数解析式的通式 再任取点的坐标代入 也可直接再取一个点的坐标与 A B 坐标结合求出 解析式 答案不唯一 2 2 20012001 年广东广州年广东广州 1111 分 分 已知一次函数 y x 6 和反比例函数 k y x k 0 1 k 满足什么条件时 这两个函数在同一坐标系 xOy 中的图象有两个公共点 2 设 1 中的两个公共点分别为 A B AOB 是锐角还是钝角 10 考点考点 反比例函数和一次函数交点问题 一元二次方程根的判别式 反比例函数和一次 函数的性质 分类思想的应用 分析分析 1 当比例系数符号相同或组成方程组整理后的一元二次方程的判别式大于 0 时 两个函数在同一坐标系 xOy 中的图象有两个公共点 2 结合 1 中 k 的取值范围 分情况探讨 AOB 是锐角还是钝角 3 3 20022002 年广东广州年广东广州 1313 分 分 在图的方格纸上有 A B C 三点 每个小方格的边长为 1 个 单位长度 1 在给出的直角坐标系中 或舍去该直角坐标系 在自己另建立适当的直角坐标系 中 分别写出点 A B C 的坐标 2 根据你得出的 A B C 三点的坐标 求图象经过这三点的二次函数的解析式 11 解法二 在以 B 为原点 另建的直角坐标系中计算 1 以 B 为原点 建立如图所示的直角坐标系 点 A 的坐标是 2 2 点 B 的坐标是 0 0 点 C 的坐标是 4 8 2 设所求的二次函数解析式为 2 yax bx c 把点 A B C 的坐标分别代入上式 得 4a2b c2 c0 16a4b c8 解之 得 1 a 2 b0 c0 所求的二次函数解析式为 2 1 yx 2 解法三 在以点 A 为原点 另建的直角坐标系中计算 1 以 A 为原点 建立如图所示的直角坐标系 点 A 的坐标是 0 0 点 B 的坐标是 2 2 点 C 的坐标是 6 6 2 设所求的二次函数解析式为 2 yax bx c 把点 A B C 的坐标分别代入上式 得 c0 4a2b c2 36a6b c6 解得 1 a 2 b2 c0 所求的二次函数解析式为 2 1 yx2x 2 12 4 4 20032003 年广东广州年广东广州 1616 分 分 现计划把甲种货物 1240 吨和乙种货物 880 吨用一列货车 运往某地 已知这 列货车挂有 A B 两种不同规格的货车厢共 40 节 使用 A 型车厢每节费用为 6000 元 使用 B 型车厢每节 费用为 8000 元 1 设运送这批货物的总费用为 y 万元 这列货车挂 A 型车厢 x 节 试写出 y 与 x 之间的 函数关系式 2 如果每节 A 型车厢最多可装甲种货物 35 吨和乙种货物 15 吨 每节 B 型车厢最多可装 甲种货物 25 吨和乙种货物 35 吨 装货时按此要求安排 A B 两种车厢的节数 那么共有哪几种安排车 厢的方案 3 在上述方案中 哪个方案运费最省 最少运费为多少元 答案答案 解 1 设用 A 型车厢 x 节 则用 B 型车厢 40 x 节 总运费为 y 万元 根据题意 得 y 0 6 x 0 8 40 x 0 2 x 32 2 根据题意 得 35x25 40 x 1240 15x35 40 x 880 解得 x24 x26 24 x 26 x 取整数 A 型车厢可用 24 节或 25 节或 26 节 相应有三种装车方 案 24 节 A 型车厢和 16 节 B 型车厢 25 节 A 型车厢和 15 节 B 型车厢 26 节 A 型车厢和 14 节 B 型车厢 3 由函数 y 0 2 x 32 知 x 越大 y 越少 故当 x 26 时 运费最省 这时 y 0 2 26 32 26 8 万元 答 安排 A 型车厢 26 节 B 型车厢 14 节运费最省 最小运费为 26 8 万 元 13 5 5 20042004 年广东广州年广东广州 1515 分 分 已知抛物线 2 ym1 x2mxm m 为整数 经过点 A 1 1 顶点为 P 且与 x 轴有两个不同的交点 1 判断点 P 是否在线段 OA 上 O 为坐标原点 并说明理由 2 设该抛物线与 x 轴的两个交点的横坐标分别为 x1 x2 且 x1 x2 是否存在实数 m 使 x1 m x2 若存在 请求出 m 的取值范围 若不存在 请说明理由 答案答案 解 1 点 P 不在线段 OA 上 理由如下 抛物线与 x 轴有两个交点 方程 2 m1 x2mxm0 有两个实 数根 2 4m4m m1 4m0 即m0 2 m mm1 0 根据实数运算的符号法则 可得m10 即m1 m 的取值范围是 1 m 0 6 6 20052005 年广东广州年广东广州 1212 分 分 已知二次函数 2 yaxbxc 1 当 a 1 b 2 c 1 时 请在图上的直角坐标 系中画出此时二次函数的图像 2 用配方法求该二次函数 的图像的顶点坐标 答案答案 解 1 当 a 1 b 2 c 1 时 2 2 yx2x1x1 该二次函数的顶点坐标为 1 0 对称轴为直线 x 1 15 利用函数对称性列表如下 x 1 0123 y 41014 在给定的坐标中描点 画出图象如下 2 由 2 yaxbxc 是二次函数 知 a 0 22 222 bbbb yaxbxca xxca xxca aa2a2a 2 2 b4acb a x 2a4a 该二次函数图象的顶点坐标为 2 b4acb 2a4a 7 7 20052005 年广东广州年广东广州 1414 分 分 如图 某学校校园内有一块形状为直角梯形的空地 ABCD 其 中 AB DC B 90 AB 100m BC 80m CD 40m 现计划在上面建设一个面积为 S 的矩 形综合楼 PMBN 其中点 P 在线段 AD 上 且 PM 的长至少为 36m 1 求边 AD 的长 2 设 PA x m 求 S 关于 x 的函数关系式 并指出自变量 x 的取值范围 3 若 S 3300m2 求 PA 的长 精确到 0 1m 16 3 当 S 3300m2时 2 12 80 xx3300 25 即 2 3x500 x206250 2 500 500 4 3 2062550050 x 66 1 550 x91 7 6 m 2 450 x75 6 m 即当 S 3300m2时 PA 的长为 75m 或约为 91 7m 考点考点 二次函数综合题 直角梯形的性质 勾股定理 相似三角形的判定和性质 曲线 上点的坐标与方程的关系 公式法解一元二次方程 分析分析 1 通过构建直角三角形进行求解 过 D 作 AB 的垂线 那么可在构建的直角三 角形中 根据梯形两底的差和梯形的高 用勾股定理求出 AD 的长 2 根据 1 中构建的直角三角形 由 APM ADE 表示出 AM PM 的长 进 而可根据 AB 的长 表示出矩形的长 BM 的值 由此可根据矩形的面积公式得出关于 S x 17 的函数关系式 自变量的取值范围可根据 PM 的长至少为 36m 来解 即让 PM 的表达式大于 等于 36 即可 3 将 S 的值代入 2 所求得的函数解析式中 求出 x 的值 然后看 x 的值是 否符合自变量的取值范围 8 8 20062006 年广东广州年广东广州 1212 分 分 如图 O 的半径为 1 过点 A 2 0 的直线切 O 于点 B 交 y 轴于点 C 1 求线段 AB 的长 2 求以直线 AC 为图象的一次函数的解析式 考点考点 一次函数综合题 圆切线的性质 勾股定理 相似三角形的判定和性质 待定系 数法 直线上点的坐标与方程的关系 分析分析 1 连接 OB 在 Rt ABO 中应用勾股定理即可求得线段 AB 的长 2 由 ABO AOC 求出 OC 的长 而得到到点 C 的坐标 用待定系数法即可求 得以直线 AC 为图象的一次函数的解析式 18 9 9 20062006 年广东广州年广东广州 1414 分 分 已知抛物线 22 yxmx2m m 0 1 求证 该抛物线与 x 轴有两个不同的交点 2 过点 P 0 n 作 y 轴的垂线交该抛物线于点 A 和点 B 点 A 在点 P 的左边 是否存 在实数 m n 使得 AP 2PB 若存在 则求出 m n 满足的条件 若不存在 请说明理由 m0 由 式可解得n0 第二种 点 A B 都在点 P 左边 点 A 在点 B 左边 PB 2 m9m4n 2 AP 2 m9m4n 2 AP 2PB 2 2 m9m4n m9m4n 2 19 即 2 3 9m4nm m0 由 式可解得 2 20 nm 9 综合 可知 满足条件的点 P 存在 此时mn 应满足条件 m0 n0 或 2 20 nm 9 10 10 20072007 年广东广州年广东广州 1414 分 分 二次函数图象过 A C B 三点 点 A 的坐标为 1 0 点 B 的坐标为 4 0 点 C 在 y 轴正半轴上 且 AB OC 1 求 C 的坐标 2 求二次函数的解析式 并求出函数最大值 答案答案 解 1 A 1 0 B 4 0 AO 1 OB 4 即 AB AO OB 1 4 5 AB OC OC 5 即点 C 的坐标为 0 5 2 设图象经过 A C B 三点的二次函数的解析式为ya x4 x1 点 C 0 5 在图象上 5a 04 01 即 5 a 4 所求的二次函数解析式为 2 5515 y x4 x1 xx5 444 2 2 51553125 y xx5 x 444216 且 5 a0 4 20 当 3 x 2 时 y 有最大值 125 16 11 11 20082008 年广东广州年广东广州 1212 分 分 如图 一次函数y kx b的图象与反比例函数 m y x 的图 象相交于 A B 两点 1 根据图象 分别写出 A B 的坐标 2 求出两函数解析式 3 根据图象回答 当x为何值时 一次函数的函数值大于反比例函数的函数值 答案答案 解 1 由图象知 A 6 2 B 4 3 2 点 A 6 2 在反比例函数 m y x 的图象上 m62 12 反比例函数解析式为 12 y x 点 A 6 2 和 B 4 3 在一次函数y kx b的图象上 6k b 2 4k b 3 解得 1 k 2 b 1 一次函数解析式为 1 y x 1 2 3 由图象知 当 6 x 0 或 x 4 时 一次函数的函数值大于反比例函数 的函数值 21 12 12 20092009 年广东广州年广东广州 1414 分 分 如图 二次函数 2 yxpxq p0 的图象与 x 轴交 于 A B 两点 与 y 轴交于点 C 0 1 ABC 的面积为 4 5 1 求该二次函数的关系式 2 过 y 轴上的一点 M 0 m 作 y 轴的垂线 若该垂线与 ABC 的外接圆有公共点 求 m 的取值范围 3 在该二次函数的图象上是否存在点 D 使四边形 ABCD 为直角梯形 若存在 求出点 D 的坐标 若不存在 请说明理由 答案答案 解 1 由二次函数 2 yxpxq p0 的图象与 y 轴交于点 C 0 1 得 q 1 由 ABC 的面积为 5 4 得 15 AB OC 24 即 15 AB 1 24 AB 5 2 设 A a 0 B b 0 则 AB b a 5 2 令 2 yxpx10 得a b pab1 2225 ba a b4ab 4 即 225 p41 4 解得 p 3 2 p 0 p 3 2 22 该二次函数的关系式为 2 3 yxx1 2 3 存在 由 2 知 AC BC 若以 AC 为底边 则 BD AC 由 A C 的坐标易求 AC 的解析式为 y 2x 1 可设 BD 的解析式为 y 2x b 把 B 2 0 代入得 BD 解析式为 y 2x 4 解方程组 2 3 yxx1 2 y2x4 得 5 x 2 y9 D 5 2 9 若以 BC 为底边 则 BC AD 由 B C 的坐标易求 BC 的解析式为 1 yx1 2 可设 AD 的解析式为 1 1 yx b 2 把 A 1 2 0 代入得 AD 解析式为 11 yx 24 解方程组 2 3 yxx1 2 11 yx 24 得 5 x 2 3 y 2 D 53 22 综上所述 存在两点 D 坐标为 5 2 9 或 53 22 23 13 13 20102010 年广东广州年广东广州 1212 分 分 已知抛物线 y x2 2x 2 1 该抛物线的对称轴是 顶点坐标 2 选取适当的数据填入下表 并在图的直角坐标系内描点画出该抛物线的图象 x y 3 若该抛物线上两点 A x1 y1 B x2 y2 的横坐标满足 x1 x2 1 试比较 y1与 y2 的大小 答案答案 解 1 x 1 1 3 2 填表如下 x 10123 y 1232 1 描点作图如下 24 3 因为在对称轴 x 1 右侧 y 随 x 的增大而减小 又 x1 x2 1 所以 y1 y2 14 14 20102010 年广东广州年广东广州 1212 分 分 已知反比例函数 m8 y x m 为常数 的图象经过点 A 1 6 1 求 m 的值 2 如图 过点 A 作直线 AC 与函数 m8 y x 的图象交于点 B 与 x 轴交于点 C 且 AB 2BC 求点 C 的坐标 答案答案 解 1 图象过点 A 1 6 m8 x 6 解得 m 2 2 分别过点 A B 作 x 轴的垂线 垂足分别为点 E D 由题意得 AE 6 OE 1 即 A 1 6 BD x 轴 AE x 轴 AE BD 25 CBD CAE CBBD CAAE AB 2BC CB1 CA3 即 CB1 63 BD 2 即点 B 的纵坐标为 2 当 y 2 时 x 3 即 B 3 2 15 15 20112011 年广东广州年广东广州 1212 分 分 已知 Rt ABC 的斜边 AB 在平面直角坐标系的x轴上 点 C 1 3 在反比例函数 k y x 的图象上 且 sin BAC 1 求k的值和边 AC 的长 2 求点 B 的坐标 答案答案 解 1 点 C 1 3 在反比例函数 k y x 的图象上 把 C 1 3 代入得 k 3 1 即 k 3 sin BAC 3 5 sin BAC 33 AC5 AC 5 2 ABC 是直角三角形 DAC DCB 26 又 sin BAC 3 5 tan DAC 3 4 BD3 CD4 又 CD 3 BD 9 4 AB 1 913 44 B 点的坐标为 13 4 0 16 16 20112011 年广东广州年广东广州 1414 分 分 已知关于x的二次函数 2 yaxbxc a0 的图象经过 点 C 0 1 且与x轴交于不同的两点 A B 点 A 的坐标是 1 0 1 求c的值 2 求a的取值范围 3 该二次函数的图象与直线y 1 交于 C D 两点 设 A B C D 四点构成的四边形的 对角线相交于点 P 记 PCD 的面积为 S1 PAB 的面积为 S2 当 0 a 1 时 求证 S1 S2为常数 并求出该常数 答案答案 解 1 把 C 0 1 代入二次函数 2 yaxbxc a0 得 1 0 0 c 解 得 c 1 c的值是 1 2 由 1 二次函数为 2 yaxbx1 把 A 1 0 代入得 0 a b 1 b 1 a 二次函数为 2 yaxbx1 与x轴有两个交点 一元一次方程 2 axbx10 根的判别式 0 即 22 2 1a4a a2a1a1 0 a 1 且a 0 a的取值范围是a 1 且a 0 27 3 证明 0 a 1 B 在 A 的右边 设 A 1 0 B b x 0 2 ax1a x1 0 由根与系数的关系得 1 b x 1a a b 1 x a AB 11a 1 aa 把y 1 代入二次函数得 2 ax1a x1 1 解得 x1 0 x2 1a a CD 1a a 过 P 作 MN CD 于 M 交x轴于 N 则 MN x轴 CD AB CPD BPA PMCD PNAB 1a PN a 1a 1PN a 1a PN 2 1a PM 2 12 111 1a 1a1 1a 1a SSCD PMAB PN1 22222a2a 即不论a为何值 S1 S2的值都是常数 这个常数是 1 3 设 A 1 0 B b x 0 由根与系数的关系求出 AB 1a a 把y 1 代入 抛物线得到方程 2 ax1a x1 1 求出方程的解 进一步求出 CD 过 P 作 MN CD 于 M 交x轴于 N 根据 CPD BPA 求出 PN PM 的长 根据三角形的面积公式即可求出 28 S1 S2的值即可 17 17 20122012 年广东广州年广东广州 1212 分 分 某城市居民用水实行阶梯收费 每户每月用水量如果未超 过 20 吨 按每吨 1 9 元收费 如果超过 20 吨 未超过的部分按每吨 1 9 元收费 超过的 部分按每吨 2 8 元收费 设某户每月用水量为 x 吨 应收水费为 y 元 1 分别写出每月用水量未超过 20 吨和超过 20 吨 y 与 x