高中数学1.3.1二项式定理（第一课时）教案新人教A版选修2-3

课题课题1 1 3 3 1 1 二二项项式式定定理理 第第一一课课时时 总课时数总课时数 5353 课型课型新授课新授课编定人编定人马克锋马克锋审核人审核人马克锋马克锋执教时间执教时间20102010 年年 4 4 月月 2929 日日 知识知识 目标目标 1 1 掌掌握握二二项项式式定定理理及及其其 展展开开式式的的通通项项公公式式 2 2 能运用 能运用二二项项式式定定理理展展开开某某些些二二项项式式 会会求求某某些些特特定定项项 能力能力 目标目标 通过探索二项式定理 培养学生观察问题发现问题通过探索二项式定理 培养学生观察问题发现问题 归纳推理问题的能力 归纳推理问题的能力 学学 习习 目目 标标 情感情感 目标目标 激发学生学习兴趣 培养学生不断发现 探索新知的精神 并通过数学的对称美 培养学生激发学生学习兴趣 培养学生不断发现 探索新知的精神 并通过数学的对称美 培养学生 的审美意识 的审美意识 通过展示 交流养成良好的学习品质 增强合作意识通过展示 交流养成良好的学习品质 增强合作意识 重点重点二项定理的推导二项定理的推导及及其其展展开开式式的的应应用用 难点难点知识的发生过程 用计数原理证明二项式定理 知识的发生过程 用计数原理证明二项式定理 教学方法教学方法自主探究 学案导学自主探究 学案导学教学手段教学手段彩笔彩笔 教教 学学 过过 程程师师 生生 活活 动动 一 创设情境一 创设情境 问题 今天星期五 问题 今天星期五 再过再过 8 810 10天的那一天是星期几 天的那一天是星期几 问题问题 2 2 因为因为 8 7 18 7 1 那么 那么 8 810 10 7 17 1 10 10又如何展开呢 更一般的 又如何展开呢 更一般的 a ba b 10 10 a b a b n n 如何展开 如何展开 这将是本节课要研究和学习的问题 这将是本节课要研究和学习的问题 二 新知探究二 新知探究 一 预习提纲 一 预习提纲 根据以下提纲 预习教材第根据以下提纲 预习教材第 29 3029 30 页 找出疑惑之处页 找出疑惑之处 1 1 运用多项式乘法法则写出 运用多项式乘法法则写出 a ba b 2 2 a ba b 3 3 a ba b 4 4的展开式 并探究 的展开式 并探究 项数 项数 各项次数 各项次数 字母字母 a a b b 指数的变化规律 按指数的变化规律 按 a a 降幂降幂 b b 升幂填写升幂填写 1 1 a b a b 2 2 a a b b a a b b 合合并并同同类类项项后后 展展开开式式 共共 项项 各各项项是是 次次的的 它它们们分分别别为为 每一项都是每一项都是 abk A的形式的形式 2 2 a b a b 3 3 a a b b a a b b a b a b 合合并并同同类类项项后后展展开开式式共共 项项 各各项项是是 次次的的 它它们们分分别别为为 每一项都是每一项都是 abk A的形的形 式式 3 3 a b a b 4 4 a b a b a b a b a b a b a b a b 合合并并同同类类项项后后展展 开开式式共共 项项 各各项项是是 次次的的 它它们们分分别别为为 每一项都是每一项都是 abk A的形式的形式 2 2 如何利用计数原理得到如何利用计数原理得到 a a b b 2 2 a b a b 3 3 a a b b 4 4的展开式的展开式各项的系数各项的系数呢 呢 1 1 对于对于 a a b b 2 2 a a2 2是从是从 个 个 a ba b 中取 中取 相乘而得到 相当于从相乘而得到 相当于从 个 个 a ba b 中 中 取取 个个 b b 的组合数的组合数 C C 因此 因此 a a2 2的系数是的系数是 C C abab 是从是从 个 个 a ba b 中取 中取 个 个 a ba b 中取 中取 相乘而得到 相当于从相乘而得到 相当于从 个 个 a ba b 给学生创造一个给学生创造一个 愤愤 和和 悱悱 的的 情境 激发学生的情境 激发学生的 求知欲望求知欲望 2 2 分钟分钟 学生小组讨论交流 学生小组讨论交流 对三个展开式的进对三个展开式的进 行探讨行探讨 5 5 分钟分钟 鼓励学生亲身体验鼓励学生亲身体验 如何解决新问题 如何解决新问题 培养探究能力和合培养探究能力和合 作精神 作精神 学生分组讨论学生分组讨论 6 6 分钟分钟 中取中取 个个 b b 的组合数的组合数 C C 因此 因此 abab 的系数是的系数是 C C b b2 2是从是从 个 个 a ba b 中取 中取 相乘而得到 相当于从相乘而得到 相当于从 个 个 a ba b 中取 中取 个个 b b 的组合数的组合数 C C 因此 因此 b b2 2的系数是的系数是 C C a b a b 2 2的展开式可用组合数表示为 的展开式可用组合数表示为 a b a b 2 2 a b a b a b a b 2 2 对于对于 a a b b 3 3 利用同样的办法探究得到含利用同样的办法探究得到含 a a3 3 a a2 2b b abab2 2 b b3 3这些项的系数分别这些项的系数分别 为为 C C C C C C C C a ba b 3 3的展开式可用组合数表示为 的展开式可用组合数表示为 a b a b 3 3 a b a b a b a b a b a b 3 3 对于对于 a a b b 4 4 利用同样的办法探究得到含利用同样的办法探究得到含 a a4 4 a a3 3b b a a2 2b b2 2 abab3 3 b b4 4这些项的系这些项的系 数分别为数分别为 C C C C C C C C C C a ba b 4 4的展开式可用组合数表示为 的展开式可用组合数表示为 a b a b 4 4 a b a b a b a b a b a b a b a b 根根据据以以上上归归纳纳 猜猜想想 a a b b n n的的展展开开式式合合并并同同类类项项后后展展开开式式共共 项项 各各项项 是是 次次的的 它它们们分分别别为为 每一项都是每一项都是 abk A的形式的形式 0 1 2 n kk abkn A从从 个 个 a ba b 中取 中取 个 个 a ba b 中取 中取 相乘而得到 相当于从相乘而得到 相当于从 个 个 a ba b 中取 中取 个个 b b 的组合数的组合数 C C 因此 因此 0 1 2 n kk abkn A的系数是的系数是 C C 猜猜想想 a a b b n n的的展展开开式式 可用组合数可用组合数 表示为 表示为 a a b b n n n n N N 二 二项式定理 二 二项式定理 公公式式 a a b b n n n n N N 这这个个公公式式叫叫做做 二二项项式式定定理理 右边的多项式叫做右边的多项式叫做 a a 十十 b b n n的二项展开式 的二项展开式 k 0 k 0 1 1 n n 叫做二项式系数 叫做二项展开式的通项 记作叫做二项式系数 叫做二项展开式的通项 记作 T Tk 1 k 1 特点 特点 1 1 项项数数 展开式共有展开式共有 项项 2 2 二二项项式式系系数数 依依次次为为 3 3 指数 指数 a a 的指数是从 开始逐渐减 按降幂排列到 的指数是从 开始逐渐减 按降幂排列到 b b 的指数是从 开始逐渐的指数是从 开始逐渐 加 按升幂排列到 加 按升幂排列到 4 4 项的次数 各项 次数和都是 项的次数 各项 次数和都是 3 3 注意 注意 1 1 二项展开式的通项 二项展开式的通项 T Tk 1 k 1 k n C n kk ab 0 0 l l 2 2 n n 是是 a a 十十 b b n n展开式的第 项 而不是第 项 展开式的第 项 而不是第 项 2 2 a a b b 的位置不能颠倒 即的位置不能颠倒 即 b b 十十 a a n n的的 学生在探究过程中学生在探究过程中 通过观察 发现 通过观察 发现 类比从而是进行必类比从而是进行必 要的归纳和合理的要的归纳和合理的 猜想得出结论猜想得出结论 分钟 分钟 由特殊到一般 由由特殊到一般 由 感性到理性 感性到理性 识记概念 识记概念 3 3 分钟分钟 展开式第展开式第 k k 十十 1 1 项 不是项 不是 k n C n kk ab 而应为 而应为 3 3 是 是 a a 一一 b b n n的展开式的展开式 第第 k k 十十 1 1 项为项为 注意区别二项式系数与指定项的 注意区别二项式系数与指定项的 系数异同系数异同 在在 a a 十十 b b n n的展开式中 系数的展开式中 系数 k n C 0 0 l l n n 是一组仅与二项式的次数是一组仅与二项式的次数 n n 有关有关 的的 n n 十十 1 1 个组合数 与个组合数 与 a a b b 无关 因此称为二项式系数 而无关 因此称为二项式系数 而 a a 十十 b b n n的展开式中指定的展开式中指定 项系数与项系数与 a a b b 一般是有联系的 例如 而一般是有联系的 例如 而 1 1 十十 2x 2x n n的展开式第 十的展开式第 十 l l 项的系数为项的系数为2k k n C 2 2 十十 x x n n的展开式第 十的展开式第 十 1 1 项的系数为项的系数为2n k 特值思想 特值思想 二二项项式式定定理理中中 如如果果设设1a bx 则得到公式 则得到公式 1 n x 思考 思考 1 nx 练习 练习 8 810 10 7 17 1 10 10 当今天是星期五 再过当今天是星期五 再过 8 810 10天后是星期 天后是星期 三 典例分析三 典例分析 例 例 求求 6 1 2 x x 的展开式 的展开式 分析 为了方便 可以先化简后展开 分析 为了方便 可以先化简后展开 变式 把分式中的分子变式 把分式中的分子 1 1 改写为改写为 2 2 呢 呢 求求 6 2 2 x x 的展开式中的常数项 的展开式中的常数项 四 拓展提高四 拓展提高 设设 n n 为自然数 则为自然数 则 011 22121 kn nnkn kn nnnn CCCC A A 2n B B 0 0 C C 1 1 D D 五 归纳总结五 归纳总结 1 1 二项式定理的推导 体现排列 组合思想的应用 二项式定理的推导 体现排列 组合思想的应用 2 2 二项式定理的结构及其注意 二项式定理的结构及其注意 问题问题 3 3 通过探究体验 你有哪些方面的收获 通过探究体验 你有哪些方面的收获 六 作业设计六 作业设计 1 1 必做题 必做题 36 37 P 组 组 2 2 选择题 见拓展资源 选择题 见拓展资源 七 精彩一练七 精彩一练 1 1 10 x 1 的展开式中第 项的系数是 的展开式中第 项的系数是 A A 6 10 C B B 6 10 C C C 5 10 C D D 5 10 C 2 2 6 2a 3b 的展开式中第的展开式中第 3 3 项是项是 分钟 分钟 学生分组讨论 纠学生分组讨论 纠 正 争辩 合作交正 争辩 合作交 流 感受成果初步流 感受成果初步 应用应用 回归问题 体现了回归问题 体现了 知识的实际应用价知识的实际应用价 值 学生的学习热值 学生的学习热 情自然达到高潮情自然达到高潮 学生板演 学生板演 小组之小组之 间竞赛在规定时间间竞赛在规定时间 内完成 内完成 分钟 分钟 变式体现知识的多变式体现知识的多 样性 样性 学生讨论 学生讨论 总结方法总结方法 分钟 分钟 拓展学生思维 学拓展学生思维 学 生讨论 合作交流生讨论 合作交流 二项式定理逆向运二项式定理逆向运 用 用 分钟 分钟 鼓励学生反思课堂鼓励学生反思课堂 的积极表现参与 的积极表现参与 展示成果展示成果 2 2 分钟分钟 分层要求 分层要求 3 3 分钟分钟 应用整合 强化新应用整合 强化新 知 自主学习 拓知 自主学习 拓 展视野 展视野 3 3 01kn nnnn CCCC 4 4 n n n2 n 21 n 0 n C3C3C3C 5 5 6 1 2 x x 的展开式的常数项为的展开式的常数项为 八 学后反思八 学后反思 九 板书设计九 板书设计 十 拓展资源十 拓展资源 杨辉 中国南宋时期杰出的数学家和数学教育家 在杨辉 中国南宋时期杰出的数学家和数学教育家 在 1313 世纪中叶活动于苏杭一带 其著作甚多 宋元数学四大家之世纪中叶活动于苏杭一带 其著作甚多 宋元数学四大家之 一的杨辉 他是世界上第一个排出丰富的纵横图和讨论其构一的杨辉 他是世界上第一个排出丰富的纵横图和讨论其构 成规律的数学家 杨辉在成规律的数学家 杨辉在 详解九章算法详解九章算法 一书中还画了一一书中还画了一 张表示二项式展开后的系数构成的三角图形 称做张表示二项式展开后的系数构成的三角图形 称做 开方做法本源开方做法本源 现在简称为 现在简称为 杨辉三角杨辉三角 在欧洲在欧洲 这个这个 表叫做帕斯卡三角表叫做帕斯卡三角 杨辉三角的发现要比欧洲早五百年左右 杨