陕西省西安市高中数学 第一章《角的概念的推广》教案 北师大版必修4

1 2 2 角的概念的推广 角的概念的推广 1 1 课时 课时 教学目标 知识与技能 1 推广角的概念 理解并掌握正角 负角 零角的定义 2 理解象限角 坐标轴上 的角的概念 3 理解任意角的概念 掌握所有与 角终边相同的角 包括 角 的表 示方法 4 能表示特殊位置 或给定区域内 的角的集合 5 能进行简单的角的集 合之间运算 过程与方法 类比初中所学的角的概念 以前所学角的概念是从静止的观点阐述 现在是从运动的观点 阐述 进行角的概念推广 引入正角 负角和零角的概念 由于角本身是一个平面图形 因此 在角的概念得到推广以后 将角放入平面直角坐标系 引出象限角 非象限角的概 念 以及象限角的判定方法 通过几个 特殊的角 画出终边所在的位置 归纳总结出它们 的关系 探索具有相同终边的角的表示 讲解例题 总结方法 巩固练习 情感态度与价值观 通过本节的学习 使同学们对角的概念有了一个新的认识 树立运动变化观点 学会运用 运动变化的观点认识事物 揭示知识背景 引发学生学习兴趣 创设问题情景 激发学生 分析 探求的学习态度 让学生感受图形的对称美 运动美 培养学生对美的追求 二 教学重 难点 重点 理解正角 负角和零角和象限角的定义 掌握终边相同角的表示法及判断 难点 把终边相同的角用集合和符号语言正确地表示出来 三 学法与教学用具 在初中 我们知道最大的角是周角 最小的角是零角 通过回忆和类比初中所学角的概念 把角的概念进行了推广 角是一个平面图形 把角放入平面直角坐标系中以后 了解象限角 的概念 通过角终边的旋转掌握终边相同角的表示方法 我们在学习这部分内容时 首先要 弄清楚角的表示符号 以及正负角的表示 另外还有相同终边角的集合的表示等 教学用具 多媒体 三角板 圆规 四 教学思路 创设情境 揭示课题 同学们 我们在拧螺丝时 按逆时针方向旋转会越拧越松 按顺时针方向旋转会越拧越紧 但不知同学们有没有注意到 在这两个过程中 扳手分别所组成的两个角之间又有什么关 系呢 请几个同学畅谈一下 教师控制好时间 2 3 分钟为宜 这里面到底是怎么回事 这就是我们这节课所要学习的内容 初中我们已给角下了定义 先请一个同学回忆一下当时是怎么定义的 我们把 有公共端点的两条射线组成的图形叫做角 这是从静止的观点阐述的 探究新知 如果我们从运动的观点来看 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一 个位置所成的图形 先后用教具圆规和多媒体给学生演示 逆时针转动形成角 顺时针转 动而成角 转几圈也形成角 为推广角的概念做好准备 正角 负角 零角的概念 打开课件第一版 演示正角 负角 零角的形成过程 我们规定 板书 按逆时针方向旋转形成的角叫做正角 如图 见课件 一条射线由原 来的位置OA 绕着它的端点O按逆时针方向旋转到终止位置OB 就形成角 旋转开始 时的射线OA叫做角的始边 OB叫终边 射线的端点O叫做叫 的顶点 按顺时针方向旋 转形成的角叫做负角 如果一条射线没有作任何旋转 我们认为这时它也形成了一个角 2 并把这个角叫做零角 如果 是零角 那么 0 钟表的时针和分针在旋转时所形成 的角总是负角 为了简便起见 在不引起混淆的前提下 角 或 可以记成 过去我们研究了 0 360 范围的角 如图 见课件 中的角 就是一个 0 360 范 围内的角 30 如果我们将角 的终边 OB 继续按逆时针方向旋转一周 两周 而形成的角是多少度 是不是仍为 30 的角 用多媒体演示这一旋转过程 让学生思考 为终边相同角概念做准备 将终边 OB 旋转一周 两周 分别得到 390 750 的角 如果将 OB 继续旋转下去 便可得到任意大小的正角 同样地 如果将 OB 按顺时针 方向旋转 也可得到任意大小的负角 通过课件 动态演示这一无限旋转过程 这就是说 角度并不局限于 0 360 的范围 它可以为任意大小的角 与数轴进行比较 打开课 件第三版 如图 1 中的角为正角 它等于 750 2 中 正角 210 负角 150 660 在生活中 我们也经常会遇到不在 0 360 范围的角 如在体操 中 有 转体 720 即 转体 2 周 转体 1080 即 转体 3 周 这样的动作名 称 紧固螺丝时 扳手旋转而形成的角 角的概念经过这样的推广以后 就包括正角 负角和零角 2 象限角 坐标轴上的角的概念 由于角是一个平面图形 所以今后我们常在直角坐标系内讨论角 板书 我们使角的顶 点 与原点重合 角的始边与 x 轴的非负半轴 包括原点 重合 那么角的终边 除端点外 在第 几象限 我们就说这个角是第几象限角 打开课件第四版 例如图 1 中的 30 390 330 角都是第一象限角 图 2 中的 300 60 角都是第四象限角 585 角是第三 象限角 板书 如果角的终边在坐标轴上 就认为这个角不属于任一象限 3 终边相同的表示方法 返回课件第二版 在图 1 1 2 中分别以 O 为原点 直线 0A 为 x 轴建立直角坐标系 重新 演示前面的旋转过程 在图 1 中 如果将终边 OB 按逆时针方向旋转一圈 两圈 分别 得到 390 750 的角 这些角的终边与 30 角的终边相同 只是转过的圈数不同 它们可以用 30 角来表示 如 390 30 十 360 750 30 十 2 360 在图 2 中 如果将终边 OB 按顺时针方向旋转一圈 两圈 分别得到 330 690 的角 这些角的终边与 30 角终边也相同 也只是转过的圈数不同 它们也都可以用 30 的角来表示 如 330 30 360 690 30 2 360 由此可以发现 上面旋转所得到的所有的角 记为 都可以表示成一个 0 到 360 的 角与 k k Z 个周角的和 即 30 十 k 360 k Z 如果我们把 的集合记为 S 那么 S 30 十 k 360 k Z 容易看出 所有与 30 角终边相同的角 连同 30 角 k 0 在内 都是集合 S 的元素 反过来 集合 S 的任一元素显然与 30 角终 边相同 巩固深化 发展思维 例题讲评 例 1 判断下列各角是第几象限角 1 60 2 585 3 950 12 解 1 60 角终边在第四象限 它是第四象限角 2 585 360 十 225 585 与 225 终边相同 又 225 终边在第三象限 585 是第三象限角 3 950 12 230 12 2 360 又 230 12 终边在第二象限 950 12 是第二象限角 例 2 在直角坐标系中 写出终边在 y 轴上的角的集合 用 0 360 的角表示 3 解 在 0 360 范围内 终边在 y 轴上的角有两个 即 90 与 270 角 因此 所有与 90 角终边相同的角构成集合 S1 90 k 360 k Z 所有与 270 角终边 相同的角构成集合 S2 270 k 360 k Z 所以 终边在 y 轴上的角的集 合 S S1 S2 90 k 360 k Z 270 k 360 k Z 例 3 写出与 60 角终边相同的角的集合 S 并把 S 中适合不等式 360 270 的 元素 写出来 解 S 60 k 360 k Z S 中适合 360 270 的元素是 60 1 360 300 60 0 360 60 60 1 360 420 2 学生课堂练习 参考练习 通过多媒体给题 1 口答 锐角是第几象限角 第一象限角一定是锐角吗 再分别就直角 钝角来回答这两 个问题 2 与 496 终边相同的角是 它是第 象限的角 它们中最小正角是 最大负角是 3 时针经过 3 小时 20 分 则时针转过的角度为 分针转过的角度为 4 若 的终边关于 x 轴对称 则 与 的关系是 若 与 的终边关于 y 轴对称 则 与 的关系是 若 的终边关于原点对称 则 与 的关系 是 若角 是第二象限角 则 180 是第 象限角 答案 1 是 不一定 2 496 十 k 360 k Z 三 240 136 3 100 1200 4 十 k 360 k Z 十 180 十 k 360 k Z 一