高中数学 §4.1 几何证明知识精讲 新人教A版选修4-1

1 4 1 4 1 几何证明选讲几何证明选讲 基础自测基础自测 1 如图所示 已知在 ABC 中 C 90 正方形 DEFC 内接于 ABC DE AC EF BC AC 1 BC 2 则 AF FC 答案答案 2 1 2 从不在 O 上的一点 A 作直线交 O 于 B C 且 AB AC 64 OA 10 则 O 的半径等 于 答案答案 241或 6 3 设 P 为 ABC 内一点 且AP 5 2 AB 5 1 AC 则 ABP 的面积与 ABC 的面积之比等于 答案答案 5 1 4 如图所示 AC 为 O 的直径 BD AC 于 P PC 2 PA 8 则 CD 的长为 cos ACB 答案答案 25 5 5 5 如图所示 PA 与圆 O 相切于 A PCB 为圆 O 的割线 并且不过圆心 O 已知 BPA 30 PA 23 PC 1 则圆 O 的半径等于 答案答案 7 例例 1 1 已知 如图所示 以梯形 ABCD 的对角线 AC 及腰 AD 为 邻边作平行四边形 ACED 连接 EB DC 的延长线交 BE 于 F 求证 EF BF 证明证明 连接 AE 交 DC 于 O 四边形 ACED 为平行四边形 O 是 AE 的中点 平行四边形对角线互相平分 四边形 ABCD 是梯形 DC AB 在 EAB 中 OF AB O 是 AE 的中点 2 F 是 EB 的中点 即 EF BF 例例 2 2 如图所示 在 ABC 中 AD 为 BC 边上的中线 F 为 AB 上任意一点 CF 交 AD 于点 E 求证 AE BF 2DE AF 证明证明 过点 D 作 AB 的平行线 DM 交 AC 于点 M 交 FC 于点 N 在 BCF 中 D 是 BC 的中点 DN BF DN 2 1 BF DN AF AFE DNE AF AE DN DE 又 DN 2 1 BF AF AE BF DE2 即 AE BF 2DE AF 例例 3 3 2008 2008 苏 锡 常 镇三检 苏 锡 常 镇三检 自圆 O 外一点 P 引切线与圆切于点 A M 为 PA 的中点 过 M 引割线交圆于 B C 两点 求证 MCP MPB 证明证明 PA 与圆相切于 A MA2 MB MC M 为 PA 中点 PM MA PM2 MB MC MC PM PM MB BMP PMC BMP PMC MCP MPB 例例 4 4 14 分 如图所示 AB 是 O 的直径 G 为 AB 延长线 上的一点 GCD 是 O 的割线 过点 G 作 AB 的垂线 交 AC 的 延长线于点 E 交 AD 的延长线于点 F 过 G 作 O 的切线 切 点为 H 求证 1 C D F E 四点共圆 2 GH2 GE GF 证明证明 1 连接 BC AB 是 O 的直径 ACB 90 AG FG AGE 90 又 EAG BAC ABC AEG 又 FDC ABC FDC AEG FDC CEF 180 C D F E 四点共圆 7 分 2 GH 为 O 的切线 GCD 为割线 3 GH2 GC GD 由 C D F E 四点共圆 得 GCE AFE GEC GDF GCE GFD GF GC GD GF 即 GC GD GE GF CH2 GE GF 14 分 例例 5 5 2008 2008 徐州三检 徐州三检 如图所示 圆 O 是 ABC 的外接圆 过点 C 的切线交 AB 的延长线于点 D CD 27 AB BC 3 求 BD 以及 AC 的长 解解 由切割线定理得 DB DA DC2 即 DB DB BA DC2 DB2 3DB 28 0 得 DB 4 A BCD DBC DCA CA BC DC DB 得 AC DB DCBC 2 73 1 已知 如图所示 从 R Rt ABC 的两直角边 AB AC 向外作正方 形 ABFG 及 ACDE CF BD 分别交 AB AC 于 P Q 求证 AP AQ 证明证明 BAC BAG 90 90 180 C A G 三点共线 同理 B A E 三点共线 AB GF AC ED GF AP CG CA ED AQ BE BA 即 AP CG GFCA AQ BE EDBA 又 CA ED AE GF BA AG CG CA AG AE BA BE AP AQ 2 如图所示 ABC 是 O 的内接三角形 且 AB AC AP 是 BAC 的外角的平分线 弦 CE 的延长线交 AP 于点 D 求证 AD2 DE DC 4 证明证明 连接 AE 则 AED B AB AC B ACB QAC B ACB 又 QAP PAC DAC B AED 又 ADE CDA ACD EAD 从而 AD CD DE AD 即 AD2 DE DC 3 2008 2008 南京第二次质检 南京第二次质检 如图所示 圆 O 的两弦 AB 和 CD 交于点 E EF CB EF 交 AD 的延长线于点 F FG 切圆 O 于点 G 1 求证 DFE EFA 2 如果 EF 1 求 FG 的长 1 证明证明 EF CB DEF DCB DCB DAB DEF DAB DFE EFA DFE EFA 2 解解 DFE EFA FA EF EF FD EF2 FA FD FG 切圆于 G FG2 FA FD EF2 FG2 EF FG EF 1 FG 1 4 已知 如图所示 在 ABC 中 AB AC O 是 ABC 的外心 延长 CA 到 P 再延长 AB 到 Q 使 AP BQ 求证 O A P Q 四点共圆 证明证明 连接 OA OC OP OQ O 是 ABC 的外心 OA OC OCP OAC 由于等腰三角形的外心在顶角的平分线上 OAC OAQ 从而 OCP OAQ 在 OCP 和 OAQ 中 由已知 CA AB AP BQ CP AQ 又 OC OA OCP OAQ 5 OCP OAQ CPO AQO O A P Q 四点共圆 5 2008 2008 徐州模拟 徐州模拟 如图所示 已知 D 为 ABC 的 BC 边 上一点 O1经过点 B D 交 AB 于另一点 E O2经过 点 C D 交 AC 于另一点 F O1与 O2交于点 G 1 求证 EAG EFG 2 若 O2的半径为 5 圆心 O2到直线 AC 的距离为 3 AC 10 AG 切 O2于 G 求线段 AG 的长 1 证明证明 连接 GD 因为四边形 BDGE CDGF 分别内接于 O1 O2 AEG BDG AFG CDG 又 BDG CDG 180 AEG AFG 180 即 A E G F 四点共圆 EAG EFG 2 解解 因为 O2的半径为 5 圆心 O2到直线 AC 的距离为 3 所以由垂径定理知 FC 2 22 35 8 又 AC 10 AF 2 AG 切 O2于 G AG2 AF AC 2 10 20 AG 25 一 填空题一 填空题 1 如图所示 在 ABC 中 AD 是高线 CE 是中线 DC BE DG CE 于 G EC 的长为 8 则 EG 6 答案答案 4 2 如图所示 已知 ABC 中 AD 是 BC 边上的中线 E 是 AD 的中点 BE 的延长线交 AC 于点 F 则 AF AC 答案答案 3 1 3 如图所示 在半圆 O 中 AB 为直径 CD AB AF 平分 CAB 交 CD 于 E 交 CB 于 F 则图中相似三角形一共有 对 答案答案 5 4 2008 2008 广东理广东理 15 15 已知 PA 是圆 O 的切线 切点为 A PA 2 AC 是圆 O 的直径 PC 与圆 O 交于点 B PB 1 则圆 O 的半径 R 答案答案 3 5 如图所示 矩形 ABCD 中 AB 12 AD 10 将此矩形折叠使点 B 落在 AD 边上的中点 E 处 则折痕 FG 的长为 答案答案 6 65 6 如图所示 已知 AP 是圆 O 的切线 P 为切点 AC 是圆 O 的割线 与圆 O 交于 B C 两点 圆心 O 在 PAC 的内部 点 M 是 BC 的中点 则 OAM APM 的大小为 答案答案 90 7 如图所示 圆 O 的直径 AB 6 C 为圆周上一点 BC 3 过 C 作圆的切线 l 过 A 作 l 的垂线 AD AD 分别与直线 l 圆交于点 D E 则 DAC 线段 AE 的长 为 答案答案 30 3 8 2008 2008 徐州质检 徐州质检 如图所示 锐角 ABC 内接于 O ABC 60 BAC 36 作 OE AB 交劣弧于 点 E 连结 EC 则 OEC 答案答案 12 7 二 解答题二 解答题 9 已知 如图所示 在 ABC 中 D 是 BC 的中点 F 是 BA 延长线上的点 FD 与 AC 交于点 E 求证 AE FB EC FA 证明证明 过 A 作 AG BC 交 DF 于 G 点 AG BD FB FA BD AG 又 BD DC FB FA DC AG AG CD DC AG EC AE FB FA EC AE AE FB EC FA 10 已知 如图所示 在 R Rt ABC 中 ACB 90 CD AB 于 D DE AC 于 E DF BC 于 F 求证 AE BF AB CD3 证明证明 ACB 90 CD AB CD2 AD BD 故 CD4 AD2 BD2 又 R Rt ADC 中 DE AC R Rt BDC 中 DF BC AD2 AE AC BD2 BF BC CD4 AE BF AC BC 又 AC BC AB CD CD4 AE BF AB CD 即 AE BF AB CD3 11 2008 2008 苏南四市二检 苏南四市二检 从 O 外一点 P 引圆的两条切 线 PA PB 及一条割线 PCD A B 为切点 求证 BC AC BD AD 证明证明 PA 为 O 的切线 PAC PDA 而 APC DPA PAC PDA 则 AD AC PD PA 同理 BD BC PD PB PA PB AD AC BD BC BC AC BD AD 12 2008 2008 宁夏 宁夏 如图所示 过圆 O 外一点 M 作它的一条切线 切点为 A 过 A 点作直线 AP 垂直于 直线 OM 垂足为 P 1 证明 OM OP OA2 2 N 为线段 AP 上一点 直线 NB 垂直于直线 ON 且交圆 O 于 B 点 过 B 点的切线交直线 ON 于 K 证明 OKM 90 8 证明证明 1 因为 MA 是圆 O 的切线 所以 OA AM 又因为 AP OM 在 R Rt OAM 中 由射影定理知 OA2 OM OP 2 因为 BK 是圆 O 的切线 BN OK 同 1 有 OB2 ON OK 又 OB OA 所以 OP OM ON OK 即 OP ON OK OM 又 NOP MOK 所以 ONP OMK 故 OKM OPN 90 13 2008 2008 江苏 江苏 如图所示 设 ABC 的外接圆的切线 AE 与 BC 的延长线交于点 E BAC 的平分线与 BC 交 于点 D 求证 ED2 EC EB 证明证明 如图所示 因为 AE 是圆的切线 所以 ABC CAE 又因为 AD 是 BAC 的平分线 所以 BAD CAD 从而 ABC BAD CAE CAD 因为 ADE ABC BAD DAE CAE CAD 所以 ADE DAE 故 EA ED 因为 EA 是圆的切线 所以由切割线定理知 EA2 EC EB 而 EA ED 所以 ED2 EC E