【步步高】2014届高考数学一轮复习2.4.2 抛物线的几何性质(二)备考练习 苏教版

1 2 4 22 4 2 抛物线的几何性质抛物线的几何性质 二二 一 基础过关 1 已知抛物线y2 2px p 0 的准线与圆x2 y2 6x 7 0 相切 则p的值为 2 设抛物线y2 2px p 0 的焦点为F 点A 0 2 若线段FA的中点B在抛物线上 则B 到该抛物线准线的距离为 3 设O是坐标原点 F是抛物线y2 2px p 0 的焦点 A是抛物线上的一点 与x轴正 FA 向的夹角为 60 则OA的长度为 4 已知F是抛物线y x2的焦点 P是该抛物线上的动点 则线段PF中点的轨迹方程是 1 4 5 探照灯反射镜的纵断面是抛物线的一部分 光源在抛物线的焦点处 灯口直径为 60 cm 灯深 40 cm 则光源到反射镜顶点的距离是 cm 6 点P到A 1 0 和直线x 1 的距离相等 且点P到直线l y x的距离等于 则这 2 2 样的点P的个数为 7 根据条件求抛物线的标准方程 1 抛物线的顶点在原点 以坐标轴为对称轴 且焦点在直线x y 2 0 上 2 抛物线的顶点在原点 焦点是圆x2 y2 4x 0 的圆心 二 能力提升 8 过抛物线y2 2px p 0 的焦点F作两弦AB和CD 其所在直线的倾斜角分别为与 6 3 则AB与CD的大小关系是 9 若点P在抛物线y2 x上 点Q在圆M x 3 2 y2 1 上 则PQ的最小值是 10 设抛物线y2 2x的焦点为F 过点M 0 的直线与抛物线相交于A B两点 与抛物 3 线的准线相交于点C BF 2 则 BCF与 ACF的面积之比 S BCF S ACF 11 已知抛物线顶点在原点 焦点在x轴上 又知此抛物线上一点A 1 m 到焦点的距离为 3 1 求此抛物线的方程 2 若此抛物线方程与直线y kx 2 相交于不同的两点A B 且AB中点横坐标为 2 求k的值 12 在平面直角坐标系xOy中 直线l与抛物线y2 4x相交于不同的A B两点 1 如果直线l过抛物线的焦点 求 的值 OA OB 2 如果 4 证明直线l必过一定点 并求出该定点 OA OB 三 探究与拓展 13 抛物线y2 2px p 0 的焦点为F 准线与x轴交点为Q 过Q点的直线l交抛物线于 A B两点 2 1 直线l的斜率为 求证 0 2 2 FA FB 2 设直线FA FB的斜率为kFA kFB 探究kFB与kFA之间的关系并说明理由 3 答案答案 1 2 2 3 p 4 x2 2y 1 5 5 625 6 3 3 4 2 21 2 7 解 1 直线x y 2 0 与x y轴的交点坐标分别为 2 0 和 0 2 所以抛物 线的标准方程可设为y2 2px p 0 或x2 2py p 0 由 2 得p 4 所以 p 2 所求抛物线的方程为y2 8x或x2 8y 2 圆x2 y2 4x 0 的圆心为 2 0 故抛物线方程的形式为y2 2px p 0 由 2 得p 4 所以所求抛物线方程为y2 8x p 2 8 AB CD 9 1 10 11 2 4 5 11 解 1 由题意设抛物线方程为y2 2px 其准线方程为x p 2 A 1 m 到焦点的距离等于A到其准线的距离 1 3 p 4 p 2 此抛物线的方程为y2 8x 2 由Error 消去y得k2x2 4k 8 x 4 0 直线y kx 2 与抛物线相交于不同的两点A B 则有Error 解得k 1 且k 0 又 x1 x2 4 4k 8 k2 解得k 2 或k 1 舍去 所求k的值为 2 12 1 解 由题意知 抛物线焦点为 1 0 设l x ty 1 代入抛物线方程y2 4x 消 去x 得y2 4ty 4 0 设A x1 y1 B x2 y2 则y1 y2 4t y1y2 4 x1x2 y1y2 OA OB ty1 1 ty2 1 y1y2 t2y1y2 t y1 y2 1 y1y2 4t2 4t2 1 4 3 2 证明 设l x ty b 代入抛物线方程y2 4x 消去x 得y2 4ty 4b 0 设A x1 y1 B x2 y2 则y1 y2 4t y1y2 4b x1x2 y1y2 OA OB ty1 b ty2 b y1y2 t2y1y2 bt y1 y2 b2 y1y2 4bt2 4bt2 b2 4b b2 4b 4 令b2 4b 4 b2 4b 4 0 b 2 直线l过定点 2 0 13 1 证明 Q p 2 0 直线l的方程为y 2 2 x p 2 由Error 消去x得y2 2py p2 0 2 解得A 3 2 2 2 p 2 1 p B 3 2 2 2 p 2 1 p 而F 故 1 p p 2 0 FA 2 1 p 1 p 1 p 2 FB 22 p2 p2 0 FA FB 2 解 kFA kFB或kFA kFB 0 因直线l与抛物线交于A B两点 故直线l方程 y k k 0 x p 2 由Error 消去x得ky2 2py kp2 0 设A x1 y