【创新设计】（浙江专用）2014届高考数学总复习 第3篇 第3讲 导数的综合应用限时训练 理

1 第第 3 3 讲讲 导数的综合应用导数的综合应用 分层 A 级 基础达标演练 时间 30 分钟 满分 55 分 一 选择题 每小题 5 分 共 20 分 1 已知对任意实数x 都有f x f x g x g x 且x 0 时 f x 0 g x 0 则x 0 时 A f x 0 g x 0 B f x 0 g x 0 C f x 0 g x 0 D f x 0 g x 0 解析 由题意知f x 是奇函数 g x 是偶函数 当x 0 时 f x g x 都单调递增 则当x 0 时 f x 单调递增 g x 单调递减 即f x 0 g x 0 答案 B 2 从边长为 10 cm 16 cm 的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形 作成一个无盖的 盒子 则盒子容积的最大值为 A 12 cm3 B 72 cm3 C 144 cm3 D 160 cm3 解析 设盒子容积为y cm3 盒子的高为x cm 则x 0 5 则y 10 2x 16 2x x 4x3 52x2 160 x y 12x2 104x 160 令y 0 得x 2 或 舍去 20 3 ymax 6 12 2 144 cm3 答案 C 3 若关于x的不等式x3 3x2 9x 2 m对任意x 2 2 恒成立 则m的取值范围是 A 7 B 20 C 0 D 12 7 解析 令f x x3 3x2 9x 2 则f x 3x2 6x 9 令f x 0 得x 1 或x 3 舍去 f 1 7 f 2 0 f 2 20 f x 的最小值为f 2 20 故m 20 可知应选 B 答案 B 4 2012 洛阳模拟 函数f x 的定义域是 R R f 0 2 对任意x R R f x f x 1 则不等式 ex f x ex 1 的解集为 A x x 0 B x x 0 C x x1 D x x 1 或 0 xex ex 0 所以g x ex f x ex为 R R 上的增函 2 数 又因为g 0 e0 f 0 e0 1 所以原不等式转化为g x g 0 解得x 0 答案 A 二 填空题 每小题 5 分 共 10 分 5 直线y a与函数f x x3 3x的图象有相异的三个公共点 则a的取值范围是 解析 令f x 3x2 3 0 得x 1 可得极大值为f 1 2 极小值为f 1 2 如图 观察得 2 a 2 时恰有三 个不同的公共点 答案 2 2 6 2013 泰州调研 若函数f x x asin x在 R R 上递增 则实数a的取值范围是 解析 f x 1 acos x 要使函数f x x asin x在 R R 上递增 则 1 acos x 0 对任意实数x都成立 1 cos x 1 当a 0 时 a acos x a a 1 0 a 1 当a 0 时适合 当a 0 时 a acos x a a 1 1 a 0 综上 1 a 1 答案 1 1 三 解答题 共 25 分 7 12 分 2012 新课标全国 已知函数f x 满足f x f 1 ex 1 f 0 x x2 1 2 1 求f x 的解析式及单调区间 2 若f x x2 ax b 求 a 1 b的最大值 1 2 解 1 由已知得f x f 1 ex 1 f 0 x 所以f 1 f 1 f 0 1 即f 0 1 又f 0 f 1 e 1 所以f 1 e 从而f x ex x x2 由于f x ex 1 x 1 2 故当x 0 时 f x 0 从而 f x 在 0 上单调递减 在 0 上单调递增 2 由已知条件得 ex a 1 x b i 若a 1 0 则对任意常数b 当x 0 且x 时 可得 ex a 1 x0 设g x ex a 1 x 则g x ex a 1 当x ln a 1 时 g x 0 从而g x 在 ln a 1 上单调递减 在 ln a 1 上单调递增 故g x 有最小值g ln a 1 a 1 a 1 ln a 1 所以f x x2 ax b等价于b a 1 a 1 ln a 1 1 2 因此 a 1 b a 1 2 a 1 2ln a 1 设h a a 1 2 a 1 2ln a 1 则 h a a 1 1 2ln a 1 所以h a 在 1 1 上单调递增 在 1 上单调递减 故h a 在 e 1 2 e 1 2 a 1 处取得最大值 e 1 2 从而h a 即 a 1 b e 2 e 2 当a 1 b 时 式成立 故f x x2 ax b e 1 2 e1 2 2 1 2 综上得 a 1 b的最大值为 e 2 8 13 分 2012 长春模拟 已知函数f x aln x 2 a 0 2 x 1 若对于 x 0 都有f x 2 a 1 成立 试求a的取值范围 2 记g x f x x b b R R 当a 1 时 函数g x 在区间 e 1 e 上有两个零点 求实数b的取值范围 解 1 f x 2 x2 a x ax 2 x2 由f x 0 解得x 由f x 0 解得 0 x2 a 1 成立 所以只需满足f 2 a 1 即可 2 a 4 则 aln 2 2 a 1 即aln a 2 2 a 2 a 2 a 由aln a 解得 0 a0 解得x 1 x2 x 2 x2 由g x 0 解得 0 x 1 所以函数g x 在区间 0 1 上为减函数 在区间 1 上为增函数 又因为函数 g x 在区间 e 1 e 上有两个零点 所以Error 解得 1 f x g x 且f x axg x a 0 且a 1 若数列的前n f 1 g 1 f 1 g 1 5 2 f n g n 项和大于 62 则n的最小值为 A 8 B 7 C 6 D 9 解析 构造函数h x ax 由已知条件可知h x f x g x 0 则h x 在 R R 上为增函数 得a 1 又a a 1 解得 f x g x f x g x g x 2 5 2 a 2 或a 舍去 1 2 所以 2n 其前n项和Sn 2 22 2n 2n 1 2 由 2n 1 2 62 解得 f n g n 2n 1 26 n 5 故n的最小值为 6 选 C 答案 C 2 2013 合肥模拟 已知函数f x x3 ax2 bx c 若f x 在区间 1 0 上单调递减 则a2 b2的取值范围是 5 A B 9 4 0 9 4 C D 9 5 0 9 5 解析 由题意得f x 3x2 2ax b f x 0 在x 1 0 上恒成立 即 3x2 2ax b 0 在x 1 0 上恒成立 Error a b所满足的可行域如图中的阴影部分所示 则点O到直线 2a b 3 0 的距离d a2 b2 d2 a2 b2的取值范围为 3 5 9 5 9 5 答案 C 3 2012 临沂模拟 设函数f x ax3 3x 1 x R R 若对于任意x 1 1 都有 f x 0 成立 则实数a的值为 解析 构造法 若x 0 则不论a取何值 f x 0 显然成立 当x 0 即x 0 1 时 f x ax3 3x 1 0 可化为a 设g x 3 x2 1 x3 3 x2 1 x3 则g x 3 1 2x x4 所以g x 在区间上单调递增 在区间上单调递减 0 1 2 1 2 1 因此g x max g 4 从而a 4 1 2 当x 0 即x 1 0 时 同理a 3 x2 1 x3 g x 在区间 1 0 上单调递增 g x min g 1 4 从而a 4 综上可知a 4 答案 4 4 将边长为 1 m 的正三角形薄铁皮 沿一条平行于某边的直线剪成两块 其中一块是梯形 记s 则s的最小值是 梯形的周长 2 梯形的面积 解析 6 如图所示 设 AD x m 0 x 1 则 DE AD x m 梯形的周长为x 2 1 x 1 3 x m 又S ADE x2 m2 3 4 梯形的面积为 x2 m2 3 4 3 4 s 0 x 1 4 3 3 x2 6x 9 1 x2 s 令s 0 得x 或 3 舍去 当x 时 8 3 3 3x 1 x 3 1 x2 2 1 3 0 1 3 s 0 s递减 当x 时 s 0 s递增 故当x 时 s的最小值是 1 3 1 1 3 32 3 3 答案 32 3 3 5 2013 温州五校联考 已知函数f x ax3 bx2 3x在x 1 处取得极值 1 求函数f x 的解析式 2 若过点A 1 m m 2 可作曲线y f x 的三条切线 求实数m的取值范围 解 1 f x 3ax2 2bx 3 依题意 f 1 f 1 0 即Error 解得a 1 b 0 f x x3 3x 2 由 1 知f x 3x2 3 3 x 1 x 1 曲线方程为y x3 3x 点A 1 m m 2 不在曲线上 设切点为M x0 y0 则点M的坐标满足y0 x 3x0 3 0 f x0 3 x 1 2 0 切线的斜率为 3 x 1 2 0 x3 0 3x0 m x0 1 整理得 2x 3x m 3 0 3 02 0 过点A 1 m 可作曲线的三条切线 关于x0的方程 2x 3x m 3 0 有三个实根 3 02 0 设g x0 2x 3x m 3 3 02 0 则g x0 6x 6x0 2 0 由g x0 0 得x0 0 或 1 g x0 在 0 和 1 上单调递增 在 0 1 上单调递减 函数g x0 2x 3x m 3 的极值点为x0 0 和 1 3 02 0 关于x0的方程 2x 3x m 3 0 有三个实根的充要条件是Error 解得 3 m1 7 1 求证函数F x f x g x 在 0 上单调递增 2 若函数y 3 有四个零点 求b的取值范围 F x b 1 b 3 若对于任意的x1 x2 1 1 时 都有 F x2 F x1 e2 2 恒成立 求a的取 值范围 1 证明 F x f x g x ax x2 xln a F x ax ln a 2x ln a ax 1 ln a 2x a 1 x 0 ax 1 0 ln a 0 2x 0 当x 0 时 F x 0 即函数F x 在区间 0 上单调递增 2 解 由 1 知当x 0 时 F x 4 即 0 1 b b2 4b 1 b 解得b 2 或 2 b0 1 x 则H x 1