2011届高考数学预测 6求通项公式

用心 爱心 专心1 第六讲第六讲 求通项公式求通项公式 高考在考什么高考在考什么 考题回放考题回放 1 已知数列 an 的前 n 项和为Sn 且Sn 2 an 1 则a2等于 A A 4 B 2 C 1 D 2 2 在数列 n a中 12 1 2aa 且 2 1 1 n nn aa nN 则 10 S 35 3 在数列 an 中 若a1 1 an 1 2an 3 n 1 则该数列的通项an 2 n 1 3 4 对正整数n 设曲线 1 xxy n 在x 2处的切线与y轴交点的纵坐标为 n a 则数列 1 n an 的前n项和的公式是 2n 1 2 5 已知数列 n a 的前n项和 2 9 n Snn 则其通项 n a 若它的第k项满足 58 k a 则k 2n 10 8 6 已知数列 n a对于任意 pq N 有 pqp q aaa 若 1 1 9 a 则 36 a 4 7 已知正项数列 an 其前 n 项和 Sn满足 10Sn an2 5an 6 且a1 a3 a15成等比数列 求 数列 an 的通项an 解析解析 10Sn an2 5an 6 10a1 a12 5a1 6 解之得a1 2 或a1 3 又 10Sn 1 an 12 5an 1 6 n 2 由 得 10an an2 an 12 6 an an 1 即 an an 1 an an 1 5 0 an an 1 0 an an 1 5 n 2 当a1 3 时 a3 13 a15 73 a1 a3 a15不成等比数列 a1 3 当a1 2 时 a3 12 a15 72 有 a32 a1a15 a1 2 an 5n 3 高考要考什么高考要考什么 一 根据数列 an 的前 n 项和求通项 Sn a1 a2 a3 an 2 1 1 1 nSS nS a nn n 已知数列前已知数列前 n n 项和项和 Sn Sn 相当于知道了相当于知道了 n 2n 2 时候时候 a an n 但不可忽视但不可忽视 n 1 n 1 二 由递推关系求数列的通项二 由递推关系求数列的通项 1 利用迭加 an an 1 f n 迭乘 an an 1 f n 迭代 2 一阶递推qpaa nn 1 我们通常将其化为 AapAa nn 1 看成 bn 的等比 数列 3 利用换元思想 变形为前一项与后一项成等差等比关系 直接写出新数列通项化简得 an 4 对含 an与 Sn的题 进行熟练转化为同一种解题 注意化简时 n 的范围 突突 破破 重重 难难 点点 范例范例 1 1 1 0521681 111 naaaaaa nnnnn 且满足记 1 2 1 1 n a b n n 求b1 b2 b3 b4的值 用心 爱心 专心2 求数列 n b的通项公式及数列 nnb a的前 n 项和 n S 解析解析 I 052168 2 11 2 1 1 11 nnnn n n n n aaaa b a a b代入递推关系得 整理得 3 4 2 0 364 1 11 nn nnnn bb bbbb 即 3 20 4 3 8 2 1 43211 bbbba所以有由 由 0 3 2 3 4 3 4 2 3 4 3 4 2 111 bbbbb nnnn 所以故的等比数列公比是首项为 2 3 2 3 4 qbn 1 12212 411411 2 2 1 1 1 33332 2 1 1 2 151 3 251 21 233 nn nnnnnn n n n nnnn bbnba bb a Saba ba bbbbnnn 即即即 即 变式变式 数列 n a中 1 2a 1nn aacn c是常数 12 3n 且 123 aaa 成公比不为1的等比数列 I 求c的值 II 求 n a的通项公式 解 I 1 2a 2 2ac 3 23ac 因为 1 a 2 a 3 a成等比数列 所以 2 2 2 23 cc 解得0c 或2c 当0c 时 123 aaa 不符合题意舍去 故2c II 当2n 时 由于 21 aac 32 2aac 1 1 nn aanc 所以 1 1 12 1 2 n n n aancc 又 1 2a 2c 故 2 2 1 2 2 3 n an nnnn 当1n 时 上式也 成立 用心 爱心 专心3 所以 2 2 12 n annn 范例范例 2 2 设数列 n a的首项 1 1 3 01 2 3 4 2 n n a aan 1 求 n a的通项公式 2 设32 nnn baa 证明 1nn bb 其中n为正整 数 解 1 由 1 3 2 3 4 2 n n a an 整理得 1 1 1 1 2 nn aa 又 1 10a 所以 1 n a 是首项为 1 1a 公比为 1 2 的等比数列 得 1 1 1 1 1 2 n n aa 2 方法一 由 1 可知 3 0 2 n a 故0 n b 则 22 1nn bb 2 2222 11 339 32 32 32 32 1 224 nnn nnnnnnn aaa aaaaaaa 又由 1 知0 n a 且1 n a 故 22 1 0 nn bb 因此 1nn bbn 为正整数 方法二 由 1 可知 3 01 2 nn aa 因为 1 3 2 n n a a 所以 111 3 32 2 nn nnn aa baa 由1 n a 可得 3 3 32 2 n nn a aa 即 2 2 3 32 2 n nnn a aaa A 两边开平方得 3 32 2 n nnn a aaa A 即 1nn bbn 为正整数 变式变式 已知数列 n a中 对一切自然数n 都有 10 an 且 02 1 2 1 nnnn aaaa 求证 1 nn aa 2 1 1 2 若 n S表示数列 n a的前n项之和 则 1 2aSn 解析 解析 1 由已知02 1 2 1 nnnn aaaa得 2 1 1 1 2 n n n a a a 又因为 10 an 所以110 2 1 n a 因此 1 2 nn aa 即 nn aa 2 1 1 2 由结论 1 可知 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 aaaa n nnn 即 1 1 2 1 aa n n 用心 爱心 专心4 于是 2 12111111 1 1 2 1 1 2 11 2 22 nnn Saaaaaaaa 即 1 2aSn 范例范例 3 3 由坐标原点 O 向曲线 0 3 23 abxaxxy引切线 切于 O 以外的点 P1 11 yx 再由 P1引此曲线的切线 切于 P1以外的点 P2 22 yx 如此进行下去 得到点 列 Pn nn yx 求 2 1 nxx nn与 的关系式 数列 n x的通项公式 理 当 n时 n P的极限位置的坐 解析解析 由题得baxxxf 63 2 过点 P1 11 yx的切线为 0 11111 xxxxfyyl 1 l 过原点 322 1111111 3 3 36 2 xaxbxxxaxbxa 即 即 又过点P Pn nn xy的 nnnn lyyfxxx 因为 n l过点P Pn 1 11 nn xy 11 nnnnn yyfxxx 整理得 0 32 11 2 1 2 1 nnnnnnnn xxxxaxxxx 2 1111 1 23 0 230 13 2 22 nnnnnnnn nn xxxxaxxxxa xxa n 即 即即 即 由 I 得 1 1 2 nn xaxa 所以数列 xn a 是以 2 a 公比为 2 1 的等比数列 2 1 1 2 1 2 1 ax a ax n n n n 2 1 1 limlimaax n n n n 23 lim 333 aababaaafyn n n P点 的极限位置为 2 3 aaba 点睛点睛 注意曲线的切线方程 1111 lyyfxxx 的应用 从而得出递推式 求数列 的通项公式是数列的基本问题 一般有三种类型 1 已知数列是等差或等比数列 求通 项 破解方法 公式法或待定系数法 2 已知 Sn 求通项 破解方法 利用 Sn Sn 1 an 但要注意分类讨论 本例的求解中检验必不可少 值得重视 3 已知数列的递推公 式 求通项 破解方法 猜想证明法或构造法 变式变式 已知函数f x 32 xx 数列 xn xn 0 的第一项xn 1 以后各项按如 下方式取定 曲线x f x 在 11 nn xfx处的切线与经过 0 0 和 xn f xn 两 点的直线平行 如图 求证 当 n N 时 x 23 1 2 1 2 nnnn xxx 21 2 1 2 1 n n n x 解 I 证明 因为 2 32 fxxx 所以曲线 yf x 在 11 nn xf x 处的切线斜率 1 2 11 32 n nn kxx 用心 爱心 专心5 即 0 0 和 nn xf x两点的直线斜率是 2 nn xx 以 22 11 32 nnnn xxxx II 因为函数 2 h xxx 当0 x 时单调递增 而 22 11 32 nnnn xxxx 2 11 42 nn xx 2 11 2 2