山东省2013年高考数学第二轮复习 专题七 概率与统计第2讲 概率、统计与统计案例 理

1 专题七专题七 概率与统计第概率与统计第 2 2 讲讲 概率 统计与统计案例概率 统计与统计案例 真题试做真题试做 1 2012 山东高考 理 4 采用系统抽样方法从 960 人中抽取 32 人做问卷调查 为此 将他们随机编号为 1 2 960 分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为 9 抽 到的 32 人中 编号落入区间 1 450 的人做问卷A 编号落入区间 451 750 的人做问卷B 其余的人做问卷C 则抽到的人中 做问卷B的人数为 A 7 B 9 C 10 D 15 2 2012 陕西高考 理 6 从甲乙两个城市分别随机抽取 16 台自动售货机 对其销售 额进行统计 统计数据用茎叶图表示 如图所示 设甲乙两组数据的平均数分别为 x甲 中位数分别为m甲 m乙 则 x乙 A m甲 m乙 x甲x乙 B m甲 m乙 x甲x乙 C m甲 m乙 x甲x乙 D m甲 m乙 x甲x乙 3 2012 广东高考 理 7 从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个 其个位 数为 0 的概率是 A B 4 9 1 3 C D 2 9 1 9 4 2012 湖北高考 理 20 根据以往的经验 某工程施工期间的降水量X 单位 mm 对工期的影响如下表 降水量XX 300300 X 700700 X 900 X 900 工期延误天数Y 02610 历年气象资料表明 该工程施工期间降水量X小于 300 700 900 的概率分别为 0 3 0 7 0 9 求 1 工期延误天数Y的均值与方差 2 在降水量X至少是 300 的条件下 工期延误不超过 6 天的概率 考向分析考向分析 概率部分主要考查了概率的概念 条件概率 互斥事件的概率加法公式 对立事件的求 法 以及古典概型与几何概型的计算 均属容易题 统计部分选择 填空都是独立考查本节 知识 解答题均与概率的分布列综合 预测下一步概率部分会更加注重实际问题背景 考查 分析 推理能力 统计部分在直方图 茎叶图 相关性部分都可单独命题 且多为一个小题 解答题仍会与分布列结合 热点例析热点例析 热点一 随机事件的概率 例 1 2012 江西高考 理 18 如图 从A1 1 0 0 A2 2 0 0 B1 0 1 0 B2 0 2 0 C1 0 0 1 C2 0 0 2 这 6 个点中随机选取 3 个点 将这 3 个点及原点O两两相 连构成一个 立体 记该 立体 的体积为随机变量V 如果选取的 3 个点与原点在同一个 平面内 此时 立体 的体积V 0 2 1 求V 0 的概率 2 求V的分布列及数学期望E V 规律方法规律方法 高考中 概率解答题一般有两大方向 一 以频率分布直方图为载体 考查 统计学中常见的数据特征 如平均数 中位数 频数 频率等或古典概型 二 以应用题为 载体 考查条件概率 独立事件的概率 随机变量的期望与方差等 需要注意第一种方向的 考查 变式训练变式训练 1 1 2012 北京昌平二模 理 16 某游乐场将要举行狙击移动靶比赛 比赛规 则是 每位选手可以选择在A区射击 3 次或选择在B区射击 2 次 在A区每射中一次得 3 分 射不中得 0 分 在B区每射中一次得 2 分 射不中得 0 分 已知参赛选手甲在A区和B区每 次射中移动靶的概率分别是 和p 0 p 1 1 4 1 若选手甲在A区射击 求选手甲至少得 3 分的概率 2 我们把在A B两区射击得分的数学期望高者作为选择射击区的标准 如果选手甲最 终选择了在B区射击 求p的取值范围 热点二 古典概型与几何概型 例 2 2012 北京高考 理 2 设不等式组Error 表示的平面区域为D 在区域D内随机 取一个点 则此点到坐标原点的距离大于 2 的概率是 A B C D 4 2 2 6 4 4 规律方法规律方法 较为简单的问题可以直接使用古典概型公式计算 较为复杂的概率问题的处 理方法 一是转化为几个互斥事件的和 利用互斥事件的加法公式进行求解 二是采用间接 解法 先求事件A的对立事件 的概率 再由P A 1 P 求事件A的概率 AA 变式训练变式训练 2 2 1 在长为 18 cm 的线段AB上任取一点M 并以线段AM为边作正方形 则 这个正方形的面积介于 36 cm2与 81 cm2之间的概率为 A B C D 5 6 1 2 1 3 1 6 2 先后抛掷两枚均匀的正方体骰子 它们的六个面分别标有点数 1 2 3 4 5 6 骰子朝 上的面的点数分别为X Y 则 log2XY 1 的概率为 A B C D 1 6 5 36 1 12 1 2 热点三 线性相关 例 3 设某大学的女生体重y 单位 kg 与身高x 单位 cm 具有线性相关关系 根据 一组样本数据 xi yi i 1 2 n 用最小二乘法建立的回归方程为 0 85x 85 71 则下列结论中不正确的是 y A y与x具有正的线性相关关系 B 回归直线过样本点的中心 xy C 若该大学某女生身高增加 1 cm 则其体重约增加 0 85 kg D 若该大学某女生身高为 170 cm 则可断定其体重必为 58 79 kg 规律方法规律方法 线性回归的基本思想及应用主要按以下步骤完成 画散点图 检验是否线 性相关 数据计算 求回归方程 利用回归方程 进行科学预测 变式训练变式训练 3 3 假设关于某设备的使用年限x和所支出的维修费用y 万元 有如下的统计 资料 3 使用年限x 23456 维修费用y 2 23 85 56 57 0 若由资料知y对x呈线性相关关系 试求 1 线性回归方程 x 的回归系数 y b a a b 2 估计使用年限为 10 年时 维修费用是多少 热点四 独立性检验 例 4 为了普及环保知识 增强环保意识 某大学从理工类专业的 A 班和文史类专业 的 B 班各抽取 20 名同学参加环保知识测试 两个班同学的成绩 百分制 的茎叶图如图所示 按照大于或等于 80 分为优秀 80 分以下为非优秀统计成绩 1 根据以上数据完成下面的 2 2 列联表 成绩与专业列联表 优秀非优秀总计 A 班 20 B 班 20 总计 40 2 能否有 95 的把握认为环保知识测试成绩与专业有关 附 2 n n11n22 n12n21 2 n1 n2 n 1n 2 P 2 k 0 0500 0100 001 k3 8416 63510 828 规律方法规律方法 独立性检验是指利用 2 2 列联表 通过计算随机变量 2来确定在多大程度 上两个分类变量有关系的方法 2值越大 说明两个分类变量X与Y有关系的可能性越 大 要会用临界值表判断X与Y有关系的可信程度 变式训练变式训练 4 4 为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助 用简单随机抽样方法从该地 区调查了 500 位老年人 结果如下 1 估计该地区老年人中 需要志愿者提供帮助的老年人的比例 2 能否有 99 的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关 附 P 2 k 0 0500 0100 001 k3 8416 63510 828 2 n n11n22 n12n21 2 n1 n2 n 1n 2 4 思想渗透思想渗透 数形结合思想 解答统计问题 用数形结合思想解答的统计问题主要有 1 通过频率分布直方图研究数据分布的总体趋势 2 根据样本数据散点图确定两个变量是否存在相关关系 求解时注意的问题 1 频率分布直方图中纵轴表示 每个小长方形的面积等于这一组的频率 频率 组距 2 在频率分布直方图中 组距是一个固定值 故各小长方形高的比就是频率之比 典型例题 下表给出了某校 120 名 12 岁男孩的身高资料 单位 cm 区间 界限 122 126 126 130 130 134 134 138 138 142 人数 58102233 区间 界限 142 146 146 150 150 154 154 158 人数 201165 1 列出样本的频率分布表 2 画出频率分布直方图 3 根据样本的频率分布图 估计身高小于 134 cm 的人数约占总人数的百分比 解 解 1 频率分布表如下 区间人数频数频率 122 126 5 1 24 126 130 8 1 15 130 134 10 1 12 134 138 22 11 60 138 142 33 11 40 142 146 20 1 6 146 150 11 11 120 150 154 6 1 20 154 158 5 1 24 2 频率分布直方图如图 3 由图估计 身高小于 134 cm 的学生数约占总数的 19 5 1 某企业共有职工 150 人 其中高级职称 15 人 中级职称 45 人 初级职称 90 人 现 采用分层抽样抽取容量为 30 的样本 则抽取各职称的人数分别为 A 5 10 15 B 3 9 18 C 3 10 17 D 5 9 16 2 2012 江西高考 理 9 样本 x1 x2 xn 的平均数为 样本 y1 y2 ym x 的平均数为 若样本 x1 x2 xn y1 y2 ym 的平均数 1 y xyzxy 其中 0 则n m的大小关系为 1 2 A n m B n m C n m D 不能确定 3 2012 安徽高考 理 5 甲 乙两人在一次射击比赛中各射靶 5 次 两人成绩的条形 统计图如图所示 则 A 甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数 B 甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数 C 甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差 D 甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差 4 2012 福建高考 理 6 如图所示 在边长为 1 的正方形OABC中任取一点P 则点 P恰好取自阴影部分的概率为 A B C D 1 4 1 5 1 6 1 7 5 在抽查某产品的尺寸的过程中 将其尺寸分成若干组 a b 是其中一组 抽查出 的个体数在该组上的频率是m 该组在频率分布直方图上的高为h 则 a b 等于 A h m B h m C D 与m h无关 m h 6 原创题 设随机变量 服从正态分布N 3 4 若P 2a 3 P a 2 则 a的值为 A B C 5 D 3 7 3 5 3 7 有一种密码 明文是由三个字符组成 密码是由明文对应的五个数字组成 编码规 则如下表 明文由表中每一排取一个字符组成且第一排取的字符放在第一位 第二排取的字 符放在第二位 第三排取的字符放在第三位 对应的密码由明文对应的数字按相同的次序排 列组成 第一排明文字符 ABCD 6 密码字符 11121314 明文字符 EFGH 第二排 密码字符 21222324 明文字符 MNPQ 第三排 密码字符 1234 设随机变量 表示密码中不同数字的个数 1 求P 2 2 求随机变量 的分布列和数学期望 参考答案参考答案 命题调研 明晰考向 真题试做真题试做 1 C 解析 解析 由题意可得 抽样间隔为 30 区间 451 750 恰好为 10 个完整的组 所以 做问卷B的有 10 人 故选 C 2 B 解析 解析 由题图可得 21 562 5 m甲 20 x甲 345 16 28 562 5 m乙 29 x乙 457 16 所以 m甲 m乙 x甲x乙 故选 B 3 D 解析 解析 在个位数与十位数之和为奇数的两位数中 1 当个位数是偶数时 由分步计数乘法原理知 共有 5 5 25 个 2 当个位数是奇数时 由分步计数乘法原理知 共有 4 5 20 个 综上可知 基本事件总数共有 25 20 45 个 满足条件的基本事件有 5 1 5 个 概率P 5 45 1 9 4 解 解 1 由已知条件和概率的加法公式有 P X 300 0 3 P 300 X 700 P X 700 P X 300 0 7 0 3 0 4 P 700 X 900 P X 900 P X 700 0 9 0 7 0 2 P X 900 1 P X 900 1 0 9 0 1 所以Y的分布列为 Y02610 P0 30 40 20 1 于是 E Y 0 0 3 2 0 4 6 0 2 10 0 1 3 D Y 0 3 2 0 3 2 3 2 0 4 6 3 2 0 2 10 3 2 0 1 9 8 故工期延误天数Y的均值为 3 方差为 9 8 2 由概率的加法公式 P X 300 1 P X 300 0 7 又P 300 X 900 P X 900 P X 300 0 9 0 3 0 6 由条件概率 得P Y 6 X 300 P X 900 X 300 P 300 X 900 P X 300 0 6 0 7 6 7 故在降水量X至少是 300 mm 的条件下 工期延误不超过 6 天的概率是 6 7 精要例析 聚焦热点 热点例析热点例析 例 1 解 解 1 从 6 个点中随机选取 3 个点总共有种取法 选取的 3 个点与原 3 6 C20 点在同一个平面内的取法有种 因此V 0 的概率为P V 0 13 34 C C12 12 20 3 5 2 V的所有可能取值为 0 因此V的分布列为 1 6 1 3 2 3 4 3 7 V0 1 6 1 3 2 3 4 3 P 3 5 1 20 3 20 3 20 1 20 由V的分布列可得 E V 0 3 5 1 6 1 20 1 3 3 20 2 3 3 20 4 3 1 20 9 40 变式训练 1 解 解 1 设 选手甲在A区射击得 0 分 为事件M 选手甲在A区射击 至少得 3 分 为事件N 则事件M与事件N为对立事件 P M 0 3 0 3 C 1 4 1 1 4 27 64 P N 1 P M 1 27 64 37 64 2 设选手甲在A区射击的得分为 则 的可能取值为 0 3 6 9 P 0 3 P 3 2 1 1 4 27 64 1 3 C 1 4 1 1 4 27 64 P 6 2 2 3 C 1 4 1 1 4 9 64 P 9 3 1 4 1 64 所以 的分布列为 0369 P 27 64 27 64 9 64 1 64 E 0 3 6 9 27 64 27 64 9 64 1 64 9 4 设选手甲在B区射击的得分为 则 的可能取值为 0 2 4 P 0 1 p 2 P 2 p 1 p 2p 1 p P 4 p2 1 2 C 所以 的分布列为 024 P 1 p 22p 1 p p2 E 0 1 p 2 2 2p 1 p 4 p2 4p 根据题意 有E E 4p p 1 9 4 9 16 例 2 D 解析 解析 由题意知此概型为几何概型 设所求事件为A 如图所示 边长为 2 的正方形区 域为总度量 满足事件A的是阴影部分区域 A 故由几何概型的概率公式得 22 2 1 2 2 4 4 24 P A 8 变式训练 2 1 D 解析 解析 AM的长介于 6 9 cm 之间 这是一个几何概型 p 3 18 1 6 2 C 解析 解析 总事件数为 36 种 而满足条件的 X Y 为 1 2 2 4 3 6 共 3 种 情形 p 3 36 1 12 例 3 D 解析 解析 D 选项中 若该大学某女生身高为 170 cm 则可断定其体重约为 0 85 170 85 71 58 79 kg 故 D 不正确 变式训练 3 解 解 1 制表如下 i12345 合计 xi2345620 yi2 23 85 56 57 025 xiyi4 411 422 032 542 0112 3 4 5 xy i2 90 i2 140 78 iyi 112 3 5 i 1 x 5 i 1 y 5 i 1 x 于是有 1 23 b 112 3 5 4 5 90 5 42 12 3 10 5 1 23 4 0 08 a y b x 2 回归直线方程为 1 23x 0 08 y 当x 10 年时 1 23 10 0 08 12 3 0 08 12 38 万元 即估计使用 10 年时 维修费用是 y 12 38 万元 例 4 解 解 1 成绩与专业列联表 优秀非优秀总计 A 班 14620 B 班 71320 总计 211940 2 根据列联表中的数据 得到 2 4 912 3 841 40 14 13 6 7 2 21 19 20 20 所以有 95 的把握认为环保知识测试成绩与专业有关 变式训练 4 解 解 1 调查的 500 位老年人中有 70 位需要志愿者提供帮助 因此该地 区老年人中 需要帮助的老年人的比例的估计值为 14 2 2 500 40 270 30 160 2 200 300 70 430 9 967 由于 9 967 6 635 所以有 99 的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关 创新模拟 预测演练 1 B 解析 解析 高级 中级 初级职称的人数所占比例分别为 0 1 0 3 0 6 故选 B 15 150 45 150 90 150 2 A 解析 解析 由已知 得x1 x2 xn n y1 y2 ym m xy 1 z x1 x2 xn