系统辨识实验报告13p

系统辨识实验报告 1 一 相关分析法一 相关分析法 1 实验原理 1 1 s 11 sTsT K G 相关分析法 u k Z k kg 0 kg kg 图 1 实验原理图 本实验的原理图如图 1 过程传递函数中 G s 12 120 8 3 6 2KTSec TSec 输入变量 输出变量 噪声服从 为过程的脉冲响应理 u k z k 2 0 v N 0 g k 论值 为过程脉冲响应估计值 为过程脉冲响应估计误差 g k g k 过程输入采用 M 序列 其输出数据加白噪声得到输出数据 u k v k z k 利用相关分析法估计出过程的脉冲响应值 并与过程脉冲响应理论值 g k 比较 得到过程脉冲响应估计误差值 0 g k g k M 序列阶次选择说明 首先粗略估计系统的过渡过程时间 TS 通过简单阶 跃响应 截止频率 fM 给系统施加不同周期的正弦信号或方波信号 观察输出 本次为验证试验 已知系统模型 经计算 根Hz TT fM14 0 1 21 sTS30 据式及式 则取值为 1 此时 由于与 N 选 M f t 3 0 S TtN 1 t 31 Nt 择时要求完全覆盖 则选择六阶 M 移位寄存器 即 N 63 系统辨识实验报告 2 2 编程说明 图 2 程序流程图 3 分步说明 生成 M 序列 M 序列的循环周期 时钟节拍 幅度 移位63126 N1tSec 1a 寄存器中第 5 6 位的内容按 模二相加 反馈到第一位作为输入 其中初始数 据设为 1 0 1 0 0 0 程序如下 过程仿真 得到理论输出数据 z k 计算脉冲响应估计值 计算互相关函数 得到脉冲响应估计值 计算脉冲响应估计误差 计算脉冲响应理论值 得到脉冲响应估 计误差 人机对话 噪声标准差 sigma 生成数据周期数 r 生成数据 生成 M 序列 生成白噪声序列 u k v k 系统辨识实验报告 3 生成白噪声序列 程序如下 过程仿真得到输出数据 如图 2 所示的过程传递函数串联 可以写成形如 1 212 11 1 1 K G s TT sT sT 其中 1 1 2 K K TT 图 2 过程仿真方框图 程序如下 计算脉冲响应估计值 互相关函数采用公式 互相关函数所用的数 1 1 0 kiyix Nr kR Nr i xy 据是从第二个周期开始的 其中 为周期数 取 1 3 之间 则脉冲响应估计值为 r 补偿量 1 ckR k kg xy taN N k 2 1 1 NRc xy 程序如下 系统辨识实验报告 4 计算脉冲响应估计值 脉冲响应的理论值由式可计算得到 这时可 12 0 12 k t Tk t T K gkee TT 得到过程脉冲相应估计误差 脉冲响应估计误差为 0 g kg kg k N k N k g kg kg 1 2 0 1 2 程序如下 4 数据记录 当噪声标准差 sigma 0 1 生成数据周期 r 为 2 时 脉冲响应估计误差为 0 0121 脉冲响应估计曲线为图 3 所示 当噪声标准差 sigma 0 5 生成数据周期 r 为 1 时 脉冲响应估计误差为 0 0347 脉冲响应估计曲线为图 4 所示 当噪声标准差 sigma 0 5 生成数据周期 r 为 3 时 脉冲响应估计误差为 0 0258 脉冲响应估计曲线为图 5 所示 当噪声标准差 sigma 1 生成数据周期 r 为 3 时 脉冲响应估计误差为 0 0279 脉冲响应估计曲线为图 6 所示 系统辨识实验报告 5 图 3 sigma 0 1 r 2 时脉冲响应估计曲线 图 4 sigma 0 5 r 1 时脉冲响应估计曲线 图 5 sigma 0 5 r 3 时脉冲响应估计曲线 图 6 sigma 1 r 3 时脉冲响应估计曲线 5 结果分析 实验中可以看到脉冲响应估计的曲线与理论曲线的重合度还是比较高的 脉冲响应估计误差也比较小 实验证明相关分析法的估计效果还是不错的 同时 经过实验可以得出结论 固定数据周期 r 给定不同的噪声标准差 系统辨识实验报告 6 sigma 可以发现 噪声的方差越大 也就是信噪比越大 估计的效果越不好 固定噪声标准差 sigma 选择不同的数据生成周期 r 可以发现 数据周期越大 估计的周期越多 估计的效果越好 二 最小二乘法二 最小二乘法 1 基本最小二乘 离线辨识 基本最小二乘 离线辨识 b a UYY 残差为 kykyke 最小二乘目标 残差平方和最小 一阶导为 0 二阶导 0 正定 且 TTT LS Y 1 从上式看出 逆存在才有解 满足条件的 u k 1 伪随机 2 白噪声 3 有色随机信号 程序如下 结果如下 result1 0 8287 0 1275 0 0024 1 9884 1 2723 2 递推最小二乘 在线辨识 递推最小二乘 在线辨识 系统辨识实验报告 7 RLS 1 1 1 1 1 1 kPkkKIkP kkPk kkP kK kkkykKkk T T T 修正项老估值新估值 NN 1 为了启动 RLS 需给初值 IcP 2 0 0 计算框图见书 P66 程序如下 结果如下 result2 0 8284 0 1274 0 0024 1 9883 1 2717 系统辨识实验报告 8 图 7 递推最小二乘法参数过渡过程 数据饱和 1 原因 不再起修正作用 引起误差变大 0 1 N K 2 为了克服数据饱和现象 可以用降低老的数据影响的方法 渐消记忆法 遗忘因子法 限定记忆法 固定窗法 当为不相关序列 最小二乘有一致性与无偏性 但往往为相关序 k k 列 为克服最小二乘有偏估计的缺点 引入辅助变量法和广义最小二乘法 增 广最小二乘法等 3 渐消记忆法 遗忘因子法 渐消记忆法 遗忘因子法 1 1 1 1 1 kP kkKIkP kkPk kkP kK kkkykKkk T T T 一般99 0 95 0 程序如下 结果如下 result3 0 6862 0 1114 0 0640 2 0356 0 9429 系统辨识实验报告 9 图 8 渐消记忆法参数过渡过程 4 限定记忆法 固定窗法 限定记忆法 固定窗法 程序如下 结果如下 较前三种方法偏差较大 result4 1 0190 0 1725 0 4531 2 1092 1 3724 5 辅助变量法 辅助变量法 IV 1 辅助变量 Z 系统辨识实验报告 10 YZZ ZZYZZ ZZYZ ZQQZE ZE TT TTTT TTT T T 1 11 不不不不不Z 0 其中 辅助变量估计值 由 强烈相关与为非奇异阵 与 2 计算步骤 先根据实测数据最小二乘求粗略 为有偏估计 11 kykuzbkyza 得到辅助变量代入 n Zkukykuky构造 用构造用 n T n T YZZ 3 递推 RIV 1 1 1 1 1 kPkzkKIkP kzkPk kzkP kK kkkykKkk T T T 初始条件 IcP 2 0 0 缺点 P0 的选择非常敏感 一个改进方法是 用递推最小二乘辨识算法作为 启动方法 然后转换到辅助变量法 程序如下 结果如下 系统辨识实验报告 11 result5 0 9369 0 1207 0 0254 1 9781 1 5331 图 9 辅助变量法参数过渡过程 6 广义最小二乘法 广义最小二乘法 GLS 1 广义最小二乘法的基本思想 由于在 n k 个采样周期的时差范围内具有自相关性 从而使的最小 k 二乘估计为有偏的 所以引入一个所谓成形滤波器 白化滤波器 把相关噪声 转化成白噪声 k k 如果知道有色噪声序列的相关性 11 kzdkzc 令 有 1 1 1 zd zc zf 1 1 k zf k 广义最小二乘法 GLS 是建立在最小二乘法 LS 的基础上的 基本最小二乘 法只是广义最小二乘法在时的特例 1 1 zf 2 广义最小二乘法计算步骤 广义最小二乘法的关键问题是如何用比较简单的方法找到成形滤波器的系 数 其计算是逐次逼近法 应用输入输出数据按最初模型求出的最小二乘估计 这个估计值是不 精确的 它只是被估参数的一次近似 计算残差 e k 并拟合成形滤波器的模型 1 1 y 101 nkybkubkubnkyakyakke nn 得到 T m TT fffef 21 1 系统辨识实验报告 12 其中 1 1 NmneNne mnene 应用所得的成形滤波器 对输入输出数据滤波 1 1 1 1 mkufkufkuku mkyfkyfkyky m m 其中 m 为噪声模型的阶 一般事先不知道 实际经验表明指定 m 为 2 或 3 可 以得到比较满意的输出 按新的输入 输出模型求出参数的第二次估计值 结果如下 Result6 0 6538 0 2926 0 0454 1 8776 1 6042 7 广义递推最小二乘法 广义递推最小二乘法 GLS 广义最小二乘法的递推计算过程可分成两个部分 1 按递推最小二乘法 RLS 随着 N 的增大 不断计算 逐步接近于无偏 和 N 逐步使噪声白化 N f 2 在递推过程中 和是时变的 则过滤信号及残差是 N N f kyku ke 由时变系统产生 要不断计算 因而 递推广义最小二乘法由两组普通的递推最小二乘法组成 它们是通 过滤波算法联系起来的 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 11 1 1 T N NN T N N T NNN NN NN T N NN N N T NNNNN P P PP PP P P K yK 1 2 1 2 1 2 11 2 1 2 2 1 1 2 1 1 2 1 2 1 11 2 11 1 1 T N NN T N N T NNN NN NN T N NN N N T NNNNN P P PP PP P P K feKff 结果如下 result7 1 0164 0 1754 0 0159 2 0056 1 6438 噪声传递系数的估计结果 0 0307 0 0900 系统辨识实验报告 13 图 10 广义递推最小二乘参数过渡过程 8 增广矩阵法增广矩阵法 ELS RELS 增广最小二乘法增广最小二乘法 增广矩阵法是把观测矩阵适当增大 使得有偏估计的程度得到一定改善 1 1 NNnNuNnuNyNny T N 这一方程结构适用于递推最