2011高考数学二轮复习学案(11)解三角形 新人教A版

用心 爱心 专心1 解三角形解三角形 学法导航学法导航 处理三角形问题 必须结合三角形全等的判定定理理解斜三角形的四类基本可解型 特别要多角度 几何作图 三角函数定义 正 余弦定理 勾股定理等角度 去理解 边边角 型问题可能有两解 一 解 无解的三种情况 根据已知条件判断解的情况 并能正确求解 1 三角形中的边角关系 三角形内角和等于 180 三角形中任意两边之和大小第三边 任意两边之差小于第三边 三角形中大边对大角 小边对小角 正弦定理中 a 2R sinA b 2R sinB c 2R sinC 其中R是 ABC外接圆半径 在余弦定理中 2bccosA 222 acb 三角形的面积公式有 S 2 1 ah S 2 1 absinC S cPbPaPP 其中 h是BC边上高 P是半周长 2 利用正 余弦定理及三角形面积公式等解任意三角形 已知两角及一边 求其它边角 常选用正弦定理 已知两边及其中一边的对角 求另一边的对角 常选用正弦定理 已知三边 求三个角 常选用余弦定理 已知两边和它们的夹角 求第三边和其他两个角 常选用余弦定理 已知两边和其中一边的对角 求第三边和其他两个角 常选用正弦定理 3 利用正 余弦定理判断三角形的形状 常用方法是 化边为角 化角为边 4 解斜三角形在实际中的运用 5 三角形的面积公式 1 2 1 aha 2 1 bhb 2 1 chc ha hb hc分别表示a b c上的高 2 2 1 absinC 2 1 bcsinA 2 1 acsinB 3 sin 2 sinsin 2 CB CBa sin 2 sinsin 2 AC ACb sin 2 sinsin 2 BA BAc 4 2R2sinAsinBsinC R为外接圆半径 5 R abc 4 用心 爱心 专心2 6 csbsass 2 1 cbas 7 r s 6 三角形中的三角变换 三角形中的三角变换 除了应用上述公式和上述变换方法外 还要注意三角形自身的特点 1 角的变换 因为在 ABC 中 A B C 所以 sin A B sinC cos A B cosC tan A B tanC 2 sin 2 cos 2 cos 2 sin CBACBA 2 三角形边 角关系定理及面积公式 正弦定理 余弦定理 r 为三角形内切圆半径 p 为周长之半 3 在 ABC 中 熟记并会证明 A B C 成等差数列的充分必要条件是 B 60 ABC 是正三角形的充分必要条件是 A B C 成等差数列且 a b c 成等比数列 专题综合专题综合 1 正弦定理与余弦定理 例 1 已知 ABC 中 A 0 60 3a 求 si nsi nsi n abc ABC 分析 可通过设一参数 k k 0 使 si nsi n ab AB si n c k C 证明出 si nsi n ab AB si n c C si nsi nsi n abc ABC 解 设 si nsi n ab AB o si n c k k C 则有si nakA si nbkB si nckC 从而 si nsi nsi n abc ABC si nsi nsi n si nsi nsi n kA kBkC ABC k 又 si n a A 0 3 2 si n60 k 所以 si nsi nsi n abc ABC 2 小结 ABC 中 等式 si nsi n ab AB si n c C 0 si nsi nsi n abc k k ABC 恒成立 补充练习 已知 ABC 中 si n si n si n1 2 3ABC 求 a b c 答案 1 2 3 归纳总结 用心 爱心 专心3 1 定理的表示形式 si nsi n ab AB si n c C 0 si nsi nsi n abc k k ABC 或si nakA si nbkB si nckC 0 k 2 正弦定理的应用范围 已知两角和任一边 求其它两边及一角 已知两边和其中一边对角 求另一边的对角 例 2 在 ABC 中 已知2 3 a 62 c 0 60 B 求 b 及 A 解 222 2cos bacacB 22 2 3 62 2 2 3 62 cos 0 45 2 12 62 4 3 3 1 8 2 2 b 求A可以利用余弦定理 也可以利用正弦定理 解法一 cos 222222 2 2 62 2 3 1 22 2 2 2 62 bca A bc 0 60 A 解法二 sin 0 2 3 sinsin45 2 2 a AB b 又 62 2 4 1 4 3 8 2 3 2 1 8 3 6 a c 即 0 0 A 0 90 0 60 A 评述 解法二应注意确定 A 的取值范围 例 3 在 ABC 中 已知134 6 acm 87 8 bcm 161 7 ccm 解三角形 解 由余弦定理的推论得 cos 222 2 b ca A bc 222 87 8161 7134 6 2 87 8 161 7 0 5543 0 56 20 A cos 222 2 cab B ca 222 134 6161 787 8 2 134 6 161 7 0 8398 0 32 53 B 0000 180 180 56 2032 53 CA B 0 90 47 小结 1 余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律 勾股定理是余弦定理的特例 2 余弦定理的应用范围 已知三边求三角 已知两边及它们的夹角 求第三边 2 三角形中的几何计算 例 4 在 ABC中 a b c分别为角A B C的对边 22 7 4sincos 22 BC A 1 求角A的度数 用心 爱心 专心4 2 若a 3 b c 3 求b和c的值 解析 2 7 1 4sincos2180 22 BC AABC 上上上 22 2 7 2 1 cos 2cos1 4 1 cos 4cos5 2 1 4cos4cos10 cos 2 0180 60 BCAAA AAA AA 上 222 222 22 2 cos 2 11 cos 3 222 312 3 3 2 221 bca A bc bca Abcabc bc bcbb abcbc bccc 上上上上上上 上上上上上上上上 小结 正弦定理和余弦定理在解斜三角形中应用比较广泛 例 5 在 ABC中 已知3 a b 2 B 45 求A C及c 分析 这是一个已知两边及一边的对角解三角形的问题 可用正弦定理求解 但先要判定 ABC是否有解 有几解 亦可用余弦定理求解 解 B 45 90 且b a ABC有两解 由正弦定得 sinA 2 3 2 45sin3sin b Ba A 60 或 120 当A 60 时 C 75 C 2 26 45sin 75sin2 sin sin B Cb 当A 120 时 C 15 C 2 26 45sin 15sin2 sin sin B Cb 故A 60 C 75 c 2 26 或A 120 C 15 c 2 26 小结 因 sinA sin A 故在解三角形中要考虑多种情况 灵活使用正 余弦定理 关键是将 条件 对 号 3 三角形中的三角恒等变换问题 例 6 在 ABC中 a b c分别是 A B C的对边长 已知a b c成等比数列 且 a2 c2 ac bc 求 A的大小及 c Bbsin 的值 分析 因给出的是a b c之间的等量关系 要求 A 需找 A与三边的关系 故可用余弦定理 由 用心 爱心 专心5 b2 ac可变形为 c b2 a 再用正弦定理可求 c Bbsin 的值 解法一 a b c成等比数列 b2 ac 又a2 c2 ac bc b2 c2 a2 bc 在 ABC中 由余弦定理得 cosA bc acb 2 222 bc bc 2 2 1 A 60 在 ABC中 由正弦定理得 sinB a Absin b2 ac A 60 ac b c Bb 60sinsin 2 sin60 2 3 解法二 在 ABC中 由面积公式得 2 1 bcsinA 2 1 acsinB b2 ac A 60 bcsinA b2sinB c Bbsin sinA 2 3 小结 解三角形时 找三边一角之间的关系常用余弦定理 找两边两角之间的关系常用正弦定理 例 7 在 ABC中 已知A B C成等差数列 求 2 tan 2 tan3 2 tan 2 tan CACA 的值 解 因为A B C成等差数列 又A B C 180 所以A C 120 从而 2 CA 60 故 tan3 2 CA 由两角和的正切公式 得3 2 tan 2 tan1 2 tan 2 tan CA CA 所以 2 tan 2 tan33 2 tan 2 tan CACA 3 2 tan 2 tan3 2 tan 2 tan CACA 小结 在三角函数求值问题中的解题思路 一般是运用基本公式 将未知角变换为已知角求解 同时结合 三角变换公式的逆用 4 正余弦定理的实际应用 例 8 2009 辽宁卷理 如图 A B C D 都在同一个与水平面垂直的平面内 B D 为两岛上的两座灯塔的 塔顶 测量船于水面 A 处测得 B 点和 D 点的仰角分别为 0 75 0 30 于水面 C 处测得 B 点和 D 点的仰角均 用心 爱心 专心6 为 0 60 AC 0 1km 试探究图中 B D 间距离与另外哪两点间距离相等 然后求 B D 的距离 计算结果精 确到 0 01km 2 1 414 6 2 449 解 在 ABC 中 DAC 30 ADC 60 DAC 30 所以 CD AC 0 1 又 BCD 180 60 60 60 故 CB 是 CAD 底边 AD 的中垂线 所以 BD BA 在 ABC 中 ABCsin C BCAsin AAB 即 AB 20 623 15sin ACsin60 因此 BD km33 0 20 623 故 B D 的距离约为 0 33km 小结 解三角形等内容提到高中来学习 又近年加强数形结合思想的考查和对三角变换要求的降低 对三 角的综合考查将向三角形中问题伸展 但也不可太难 只要掌握基本知识 概念 深刻理解其中基本的数 量关系即可过关 例 9 2009 宁夏海南卷理 为了测量两山顶 M N 间的距离 飞机沿水平方向在 A B 两点进行测量 A B M N 在同一个铅垂平面内 如示意图 飞机能够测量的数据有俯角和 A B 间的距离 请设计一个 方案 包括 指出需要测量的数据 用字母表示 并在图中标出 用文字和公式写出计算 M N 间的 距离的步骤 用心 爱心 专心7 解 方案一 需要测量的数据有 A 点到 M N 点的俯角 B 点到 M N 的俯角 22 A B 的距离 d 如图所示 第一步 计算 AM 由正弦定理 2 12 sin sin d AM 第二步 计算 AN 由正弦定理 2 21 sin sin d AN 第三步 计算 MN 由余弦定理 22 11 2cos MNAMANAMAN 方案二 需要测量的数据有 A 点到 M N 点的俯角 1 1 B 点到 M N 点的府角 2 2 A B 的距离 d 如图所示 第一步 计算 BM 由正弦定理 1 12 sin sin d BM 第二步 计算 BN 由正弦定理 1 21 sin sin d BN 第三步 计算 MN 由余弦定理 22 22 2cos MNBMBNBMBN 例 10 08 上海 如图 某住宅小区的平面图呈圆心角为 120o的扇形AOB 小区的两个出入口设置在点A及 点C处 且小区里有一条平行于BO的小路CD 已知某人从C沿CD走到D用了 10 分钟 从D沿DA走到A 用了 6 分钟 若此人步行的速度为每分钟 50 米 求该扇形的半径OA的长 精确到 1 米 提示 2 种求 法 如图 11 A O D B C A O D B C H 用心 爱心 专心8 解 解法一 设该扇形的半径为r米 连接CO 由题意 得 500CD 米 300DA 米 60CDO 在 CDO中 222 2cos60CDODCD ODOC 即 222 1 500 300 2 500 300 2 rrr 解得 4900 445 11 r 米 答 该扇形的半径OA的长约为 445 米 解法二 连接AC 作OHAC 交AC于H 由题意 得500CD 米 300AD 米 120CDA 在 CDO中 222 2cos120ACCDADCD AD 222 1 5003002 500 300700 2 700AC 米 222 11 cos 214 ACADCD CAD AC AD 在直角 HAO中 350AH 米 11 cos 14 HAO 4900 445 cos11 AH OA HAO 米 答 该扇形的半径OA的长约为 445 米 小结 对解三角形问题必须熟练地掌握正弦定理和余弦定理 并且会对公式做多种变形 对三角形三个内 角成等差数列 必须知道中间角是 60o 在求三角函数最值时 公式 sin cossin 22 xbaxbxa的应用要引起足够的重视 专题突破专题突破 一 选择题 A O D B CH 用心 爱心 专心9 1 在ABC 中 若a 1 C 60 c 3则 A 的值为 A 30 B 60 C 30150 或 D 60120 或 2 在 ABC 中 2 2 3 ABCAB 如果不等式ACBCtBA 恒成立 则实数 t 的取值范 围是 A 1 B 1 2 1 C 1 2 1 D 10 3 定义行列式运算 12 1 22 1 12 aa a ba b bb 将函数 3sin 1cos x fx x 的图象向左平移t 0t 个单位 所得图象对应的函数为偶函数 则t的最小值为 A 6 B 3 C 5 6 D 2 3 4 等腰三角形一腰上的高是3 这条高与底边的夹角为 0 60 则底边长 A 2 B 2 3 C 3 D 32 5 在 ABC 中 若Babsin2 则 A 等于 A 00 6030 或 B 00 6045 或 C 00 60120 或 D 00 15030 或 6 边长为 5 7 8 的三角形的最大角与最小角的和是 A 0 90 B 0 120 C 0 135 D 0 150 7 A 为 ABC 的内角 则AAcossin 的取值范围是 A 2 2 B 2 2 C 2 1 D 2 2 8 在 ABC 中 若 900 C则三边的比 c ba 等于 A 2 cos2 BA B 2 cos2 BA C 2 sin2 BA D 2 sin2 BA 9 在 ABC 中 若8 3 7 cba 则其面积等于 A 12 B 2 21 C 28 D 36 10 在 ABC 中 C 90 00 450 A 则下列各式中正确的是 用心 爱心 专心10 A sinA cosA B sinB cosA C sinA cosB D sinB cosB 11 ABC 中 3sinA 4cosB 6 3cosA 4sinB 1 则 C 的大小是 A 6 B 5 6 C 6 或 5 6 D 3 或 2 3 12 一个直角三角形三内角的正弦值成等比数列 其最小内角为 A arccos 2 15 B arcsin 2 15 C arccos 2 51 D arcsin 2 51 二 填空题 13 在 ABC 中 若sin A sin B sinC 7 8 13 则C 14 在 ABC 中 26 AB 0 30C 则ACBC 的最大值是 15 在 ABC 中 若 tanlgtanlgtanlg2CAB 则 B 的取值范围是 16 若在 ABC 中 A 3 1 600 ABC Sb则 CBA cba sinsinsin 三 解答题 17 ABC 的三个内角为ABC 求当 A 为何值时 cos2cos 2 BC A 取得最大值 并求出这个最 大值 18 如图 位于A处的信息中心获悉 在其正东方向相距40海里的 B处有一艘渔船遇险 在原地等待营救 信息中心立即把消息告知在 其南偏西 30 相距20海里的C处的乙船 现乙船朝北偏东 的方 向沿直线CB前往B处救援 求 cos的值 19 在锐角 ABC 中 求证 CBACBAcoscoscossinsinsin 20 设锐角三角形ABC的内角ABC 的对边分别为abc 2 sinabA 1 求B的大小 2 求cossinAC 的取值范围 21 在 ABC中 若a3 b3 c3 c2 a b c sinA sinB 4 3 试判定 ABC的形状 22 已知 ABC 的周长为 6 BCCAAB 成等比数列 求 1 ABC 的面积 S 的最大值 2 BA BC A的取值范围 用心 爱心 专心11 专题突破参考答案 一 选择题 1 A 2 C 3 C 4 D 5 D 6 B 7 C 8 B 9 D 10 D 11 A 12 A 二 填空题 13 0 120 14 4 15 2 3 16 3 392 三 解答题 17 解 由 A B C 得 所以有 cos sin B C 2 2 A 2 B C 2 A 2 cosA 2cos cosA 2sin 1 2sin2 2sin 2 sin 2 B C 2 A 2 A 2 A 2 A 2 1 2 3 2 当 sin 即 A 时 cosA 2cos取得最大值为 A 2 1 2 3 B C 2 3 2 18 解 如题图所示 在ABC 中 120 20 40BACACAB 由余弦定文知2800120cos2 222 ACABACABBC 720 BC 由正弦定文 7 21 sinsin sinsin BAC BC AB ACB BAC BC ACB AB 由 120BAC 则ACB 为锐角 7 72 cos ACB 由 30ACB 则 14 21 30sinsin30coscos 30cos cos ACBACBACB 19 证明 ABC 是锐角三角形 2 AB 即0 22