八年级数学上册 第2章 特殊三角形 2.6 探索勾股定理参考资料 浙教版

用心 爱心 专心1 勾股定理的历史及证明勾股定理的历史及证明 勾股定理又叫商高定理 毕氏定理 或称毕达哥拉斯定理 英文译法 Pythagoras Theorem 在一个直角三角形中 斜边边长的平方等于两条直角边边长平方之和 如果直角三角 形两直角边分别为 a b 斜边为 c 那么 a b c 据考证 人类对这条定理的认识 少说也超过 4000 年 中国最早的一部数学著作 周髀算经 的开头 就有这条定理的相关内容 周公问 窃闻乎大夫善数也 请问古者包牺立周天历度 夫天不可阶而升 地不可得尺寸而度 请问数安从出 商高答 数之法出于圆方 圆出于方 方出于矩 矩出九九八十一 故折矩以为勾广三 股修四 径隅五 既方其外 半之一矩 环而共盘 得成三 四 五 两矩共长二十有五 是谓积矩 故禹之所以治天下者 此数之所由生也 从上面所引的这 段对话中 我们可以清楚地看到 我国古代的人民早在几千年以前就已经发现并应用勾股 定理这一重要懂得数学原理了 在西方有文字记载的最早的证明是毕达哥拉斯给出的 据说当他证明了勾股定理以后 欣喜若狂 杀牛百头 以示庆贺 故西方亦称勾股定理为 百牛定理 遗憾的是 毕达哥 拉斯的证明方法早已失传 我们无从知道他的证法 实际上 在更早期的人类活动中 人们就已经认识到这一定理的某些特例 除上述两 个例子外 据说古埃及人也曾利用 勾三股四弦五 的法则来确定直角 但是 这一传说 引起过许多数学史家的怀疑 比如说 美国的数学史家 M 克莱因教授曾经指出 我们 也不知道埃及人是否认识到毕达哥拉斯定理 我们知道他们有拉绳人 测量员 但所传他 们在绳上打结 把全长分成长度为 3 4 5 的三段 然后用来形成直角三角形之说 则从 未在任何文件上得证实 不过 考古学家们发现了几块大约完成于公元前 2000 年左右的 古巴比伦的泥板书 据专家们考证 其中一块上面刻有如下问题 一根长度为 30 个单 位的棍子直立在墙上 当其上端滑下 6 个单位时 请问其下端离开墙角有多远 这是一 个三边为为 3 4 5 三角形的特殊例子 专家们还发现 在另一块泥板上面刻着一个奇特的 数表 表中共刻有四列十五行数字 这是一个勾股数表 最右边一列为从 1 到 15 的序号 而左边三列则分别是股 勾 弦的数值 一共记载着 15 组勾股数 这说明 勾股定理实际 上早已进入了人类知识的宝库 勾股定理是几何学中的明珠 它充满魅力 千百年来 人们对它的证明趋之若鹜 其 中有著名的数学家 画家 也有业余数学爱好者 有普通的老百姓 也有尊贵的政要权贵 甚至有国家总统 也许是因为勾股定理既重要又简单又实用 更容易吸引人 才使它成百 次地反复被人炒作 反复被人论证 1940 年出版过一本名为 毕达哥拉斯命题 的勾股定 理的证明专辑 其中收集了 367 种不同的证明方法 实际上还不止于此 有资料表明 关 于勾股定理的证明方法已有 500 余种 仅我国清末数学家华蘅芳就提供了二十多种精彩的 证法 这是任何定理无法比拟的 关于勾股定理的详细证明 由于证明过程较为繁杂 不予收录 用心 爱心 专心2 人们对勾股定理感兴趣的原因还在于它可以作推广 欧几里得在他的 几何原本 中给出了勾股定理的推广定理 直角三角形斜边上的 一个直边形 其面积为两直角边上两个与之相似的直边形面积之和 从上面这一定理可以推出下面的定理 以直角三角形的三边为直径作圆 则以斜边 为直径所作圆的面积等于以两直角边为直径所作两圆的面积和 勾股定理还可以推广到空间 以直角三角形的三边为对应棱作相似多面体 则斜边上 的多面体的表面积等于直角边上两个多面体表面积之和 若以直角三角形的三边为直径分别作球 则斜边上的球的表面积等于两直角边上所作 二球表面积之和 如此等等 附录 一 周髀算经 简介 周髀算经 算经十书之一 约成书于公元前二世纪 原名 周髀 它是我国最古老 的天文学著作 主要阐明当时的盖天说和四分历法 唐初规定它为国子监明算科的教材之 一 故改名 周髀算经 周髀算经 在数学上的主要成就是介绍了勾股定理及其在测量 上的应用 原书没有对勾股定理进行证明 其证明是三国时东吴人赵爽在 周髀注 一书 的 勾股圆方图注 中给出的 周髀算经 使用了相当繁复的分数算法和开平方法 二 伽菲尔德证明勾股定理的故事 1876 年一个周末的傍晚 在美国首都华盛顿的郊外 有一位中年人正在散步 欣赏黄 昏的美景 他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德 他走着走着 突然发现附近的 一个小石凳上 有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么 时而大声争论 时而小声探讨 由于好奇心驱使 伽菲尔德循声向两个小孩走去 想搞清楚两个小孩到底在干什么 只见 一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形 于是伽菲尔德便问他们在干什 么 那个小男孩头也不抬地说 请问先生 如果直角三角形的两条直角边分别为 3 和 4 那么斜边长为多少呢 伽菲尔德答道 是 5 呀 小男孩又问道 如果两条直角 边长分别为 5 和 7 那么这个直角三角形的斜边长又是多少 伽菲尔德不假思索地回答 道 那斜边的平方一定等于 5 的平方加上 7 的平方 小男孩又说 先生 你能说出其 中的道理吗 伽菲尔德一时语塞 无法解释了 心里很不是滋味 于是 伽菲尔德不再散步 立即回家 潜心探讨小男孩给他出的难题 他经过反复思 考与演算 终于弄清了其中的道理 并给出了简洁的证明方法 1876 年 4 月 1 日 伽菲尔德在 新英格兰教育日志 上发表了他对勾股定理的这一证 法 1881 年 伽菲尔德就任美国第二十任总统 后来 人们为了纪念他对勾股定理直观 简捷 易懂 明了的证明 就把这一证法称为 总统 证法 用心 爱心 专心3 解 勾股定理的内容 直角三角形两直角边 a b 的平方和等于斜边 c 的平方 a b c 三 勾股定理的地位 勾股定理同时也是数学中应用最广泛的定理之一 例如从勾股定理出发逐渐发展了开 平方 开立方 用勾股定理求圆周率 据称金字塔底座的四个直角就是应用这一关系来确 定的 至今在建筑工地上 还在用它来放线 进行 归方 即放 成直角 的线 正因为这样 人们对这个定理的备加推崇便不足为奇了 1955 年希腊发行了一张邮票 图案是由三个棋盘排列而成 这张邮票是纪念二千五百年前希腊的一个学派和宗教团体 毕达哥拉斯学派 它的成立以及在文化上的贡献 邮票上的图案是对勾股定理的说明 希腊邮票上所示的证明方法 最初记载在欧几里得的 几何原本 里 尼加拉瓜在 1971 年发行了一套十枚的纪念邮票 主题是世界上 十个最重要的数学公 式 其中之一便是勾股定理 2002 年的世界数学家大会在中国北京举行 这是 21 世纪数学家的第一次大聚会 这 次大会的会标就选定了验证勾股定理的 弦图 作为中央图案 可以说是充分表现了我国 古代数学的成就 也充分弘扬了我国古代的数学文化 另外 我国经过努力终于获得了 2002 年数学家大会的主办权 这也是国际数学界对我国数学发展的充分肯定 今天 世界上几乎没有人不知道七巧板和七巧图 它在国外被称为 唐图 Tangram 意思是中国图 不是唐代发明的图 七巧板的历史也许应该追溯到我国先秦的古籍 周髀 算经 其中有正方形切割术 并由之证明了勾股定理 而当时是将大正方形切割成四个同 样的三角形和一个小正方形 即弦图 还不是七巧板 现在的七巧板是经过一段历史演变 过程的 勾股趣事 甚至还有人提出过这样的建议 在地球上建造一个大型装置 以便向可能会来访的 天外来客 表明地球上存在有智慧的生命 最适当的装置就是一个象征勾股定理的巨大 图形 可以设在撒哈拉大沙漠 苏联的西伯利亚或其他广阔的荒原上 因为一切有知识的 生物都必定知道这个非凡的定理 所以用它来做标志最容易被外来者所识别 有趣的是 除了三元二次方程 x2 y2 z2 其中 x y z 都是未知数 有正整数解 以外 其他的三元 n 次方程 xn yn zn n 为已知正整数 且 n 2