2011年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题（辽宁卷解析版）

1 20112011 年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题 辽宁卷 解析年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题 辽宁卷 解析 版 版 第第 卷卷 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 1212 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符 合题目要求的 合题目要求的 1 已知集合 A x B x 则 AB 1x 2x1 A x B x C x D x2x1 1 x 1x1 2x1 答案 D 解析 利用数轴可以得到 AB x 1x2 2 i 为虚数单位 357 1111 iiii A 0 B 2i C 2i D 4i 5 若等比数列 an 满足 anan 1 16n 则公比为 A 2 B 4 C 8 D 16 答案 B 2 解析 设公比是 q 根据题意 a1a2 16 a2a3 162 得 q2 16 因为 a12q 16 0 a12 0 则 q 0 q 4 6 若函数 f x 为奇函数 则 a a x1x2 x A B C D 1 2 1 3 2 4 3 解析 设正三棱柱的侧棱长和底面边长为 a 则由 解得 a 2 正三棱柱 2 3 2 3 4 aa 的左视图与底面一边垂直的截面大小相同 故该矩形的面积是 3 2 22 3 2 9 执行下面的程序框图 如果输入的 n 是 4 则输出的 P 是 A 8 B 5 C 3 D 2 3 答案 C 解析 第一次执行结果 p 1 s 1 t 1 k 2 第二次执行结果 p 2 s 1 t 2 k 3 第三次执行结果 p 3 s 2 t 3 k 4 结束循环 输出 p 的值 4 4 S D C B A 11 函数 f x 的定义域为 R f 1 2 对任意 f x 2 则 f x 2x 4xR 的解集为 A 1 1 B 1 C 1 D 解析 函数 f x 的周期是 故 由 3 2 882 2 2 5 得 所以 故 tan1 3 tan 20 8 A A 1 4 A tan 2 4 f xx tan 23 24244 f 第第 卷卷 本卷包括必考题和选考题两部分 第 13 题 第 21 题为必考题 每个试题考生都必须作答 第 22 题 第 24 题为选考题 考生根据要求作答 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 4 4 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 分 15 Sn为等差数列 an 的前 n 项和 S2 S6 a4 1 则 a5 答案 1 解析 设等差数列的公差为 d 解方程组得 d 2 a5 a4 d 1 11 1 6 5 26 2 31 adad ad 16 已知函数 f x ex 2x a 有零点 则 a 的取值范围是 答案 2ln22 解析 函数 f x ex 2x a 有零点 即方程 f x 0 有解 即 a ex 2x 有解 设 g x 6 ex 2x 因为 g x ex 2 当 x ln2 时 g x 0 当 x ln2 时 g x 0 所以函数 g x 有最小值 最小值就是极小值 g ln2 2 2ln2 由 a 2 2ln2 得 a 的取值范围 2ln22 三 解答题 解答应写文字说明 证明过程或演算步骤 18 本小题满分 12 分 如图 四边形 ABCD 为正方形 QA 平面 ABCD PD QA QA AB PD 1 2 I 证明 PQ 平面 DCQ II 求棱锥 Q ABCD 的体积与棱锥 P DCQ 的体积的比值 解析 I 由条件知 PDAQ 是直角梯形 因为 AQ 平面 ABCD 所以平面 PDAQ 平面 ABCD 交线是 AD 又四边形 ABCD 是正方形 DC AD 所以 DC 平面 PDAQ 可得 PQ DC 7 在直角梯形 PDAQ 中可得 DQ PQ PD 则 PQ QD 2 2 所以 PQ 平面 PCQ 分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差 根据试验结果 你认为应 该种植哪一品种 附 样本数据 x1 x2 xa的样本方差 222 2 11 1 n sxxxxxx n 其中为样本平均数 x 8 1 419403412418408423400413412 8 x 乙 222 222222 1 7906411 12156 8 s 乙 由以上结果可以看出 品种乙的样本平均数大于品种甲的样本平均数 且两品种的样本方 差差异不大 故应该选择种植品种乙 20 本小题满分 12 分 设函数 f x x ax2 blnx 曲线 y f x 过 P 1 0 且在 P 点处的切斜线率为 2 I 求 a b 的值 II 证明 f x 2x 2 9 21 本小题满分 12 分 如图 已知椭圆 C1的中心在圆点 O 长轴左 右端点 M N 在 x 轴上 椭圆 C1的短轴为 MN 且 C1 C2的离心率都为 e 直线 l MN l 与 C1交于两点 与 C1交于两点 这四点按 纵坐标从大到小依次为 A B C D I 设 e 求 BC 与 AD 的比值 1 2 II 当 e 变化时 是否存在直线 l 使得 BO AN 并说明理由 II t 0 时的 l 不符合题意 t 0 时 BO AN 当且仅当 BO 的斜率 kBO与 AN 的斜率 kAN相 等 即 2222 ba atat ab tta 解得 22 222 1abe ta abe 10 因为 又 所以 解得 ta 01e 2 2 1 1 e e 2 1 2 e 所以当时 不存在直线 l 使得 BO AN 当时 存在直线 l 使得 2 0 2 e 2 1 2 e BO AN 请考生在第 22 23 24 三题中任选一题做答 如果多做 则按所做的第一题计分 做答是 用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑 解析 22 本小题满分 10 分 选修 4 1 几何证明选讲 如图 A B C D 四点在同一圆上 AD 的延长线与 BC 的延长线交于 E 点 且 EC ED I 证明 CD AB II 延长 CD 到 F 延长 DC 到 G 使得 EF EG 证明 A B G F 四点共圆 11 23 本小题满分 10 分 选修 4 4 坐标系统与参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中 曲线 C1的参数方程为 为参数 曲线 C2的参数 cos sin x y 方程为 为参数 在以 O 为极点 x 轴的正半轴为极轴的极坐 cos sin xa yb 0ab 标系中 射线 l 与 C1 C2各有一个交点 当 0 时 这两个交点间的距离为 2 当 时 这两个交点重合 2 I 分别说明 C1 C2是什么曲线 并求出 a 与 b 的值 II 设当 时 l 与 C1 C2的交点分别为 A1 B1 当 时 l 与 C1 4 4 C2的交点为 A2 B2 求四边形 A1A2B2B1的面积 12 24 本小题满分 10 分 选修 4 5 不等式选讲 已知函数 f x x 2 x 5 I 证明 3 f x 3 II 求不等式 f x x2 8x 15 的解集 解析 I 3 2 2 5 27 25