高三数学 不等式解析汇编 新人教A版

1 数学不等式解析汇编数学不等式解析汇编 不等式问题中涉及的方法与技巧很多 这几年高考中对不等式的要求有所降低 但我们 对一些较常见的方法与技巧也必须要有一定的了解 下面通过几个具体的例题 来说明一下 希望对学生解题能力的培养与方法的提升有所帮助 一 配凑系数的技巧 例 1 设 x 都是正数 则 222 2 zyx yzxy 的最大值为 2 5 5 52 分析 在我们用均值不等式时 经常会用到配凑系数来求最值 显然如果我们直接处理 2 5 2 4 2 2 2222222 zyxzyyx yzxy 显然与分母的比值不是常数 我们很希 望通过利用均值不等式将分子中 2 y的系数调整为 1 如何实现这个目标呢 我们注意到 xy的系数为 1 而yz2的系数为 2 联想到三角函数中的化一公式 或称辅助角公式 sin cossin 22 xBAxBxA 其中 tan 0 A B AB 我们不妨可以借鉴 这里所使用的方法来处理 从而对 y 的系数进行调整 提出521 22 来 这样 yzxy2 2 5 2 5 4 2 5 5 5 2 5 5 222 2 2 2 2 zyx z y x y z y x y 这样 y2 的系数调整成 1 分子与分母的比值为常数 2 5 也实现了我们的最初目的 这里我们处理 的手段就是配凑系数 解法略 二 常值代换的技巧 例 2 已知yx yx yx 则且 1 91 0 0的最小值为 分析 有些不等式问题中在求最值和范围时要利用常数 1 的代换技巧 解 1 91 0 0 yx yx且 16 9 210 9 10 91 y x x y y x x y yx yx yx 当且仅当号等时取即 12 4 9 yx y x x y 故最小值为 16 2 评析 本题除此法外 还可以用三角换元的方法 三 三 巧妙赋值 例 3 设实数 a 使得不等式 2x a 3x 2a a2对任意实数 x 恒成立 则满足条件的 a 所 组成的集合是 A 3 1 3 1 B 2 1 2 1 C 3 1 4 1 D 3 3 分析 我们可用附值法可若令ax 3 2 则有 3 1 a 排除 B D 由对称性排除 C 从 而只有 A 正确 注意若仅令 x 0 或 2 a 将会得到错误结果 我们有更一般的解决方法吗 对 k R 不妨令kax 2 1 当然也可令kax 则原 不等式为 2 3 4 2 3 1 akaka 由此易知原不等式等价于 3 4 2 3 1 kka 对任意的 k R 成立 由于 1 2 5 3 3 4 1 2 1 1 3 4 3 2 5 3 4 2 3 1 kk kk kk kk 所以 3 1 3 4 2 3 1 min R kk k 从而上述不等式等价于 3 1 a 四 函数与数形结合思想的运用 例 4 已知 2 1 11 1 0 2 x ax xaa若不等式时当且恒成立 则a的取值范围 为 分析 此不等式是一个超越不等式 要求出 a 的范围有些同学可能会想到反解 a 但是这显 然做不到 这样我们不妨将原不等式变形为 1 1 2 1 2 时恒成立在 xxax 设函数 2 1 2 xxgaxf x 这两个函数 我们还是较熟悉的 在同一坐标系内 分别作出它 们的图像 由函数的单调性及图像可知 当21 1 1 1 agfa得需时 当1 2 1 1 1 10 agfa得需时 故 a的取值范围为 2 1 1 2 1 五 两边夹的思想方法 两边夹的方法 对于解决不能通过计算准确求解的不等式问题是一种很好的方法 在以 前的高考中也曾出现过 这种方法很好的考查了学生的思维 例 5 已知函数 xf满足 1 2 1 2 xxfx 对一切实数x恒成立 则 1 f f x ax g x x2 0 5 f x ax O X Y 1 1 3 分析 因为 1 2 1 2 xxfx对一切实数x恒成立 不妨令1 x 则有 1 1 1 11 2 1 1 1 2 ff 另外 还有构造法及一些特殊不等式如柯西不等式 有兴趣的同学可以参考一些课外资料学 习一下 跟踪练习跟踪练习 1 已知 Rrqp 则 222 3 rqp qrpq 的最大值为 2 5 5 52 2 2 命题p 关于x的不等式 2 420 x exxm 对于一切实数x均成立 命题q 3m 则p是q成立的 A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 3 已知函数 2 21f xxx 若存在实数t 当 1 xm 时 f xtx 恒成立 则实数 m的最大值为 A 2 B 3 C 4 D 5 4 已知 1 zyyx xyz zyxRzyx 则