第十一讲托勒密定理和西姆松定理

第十一讲 托勒密定理和西姆松定理 一 托勒密定理一 托勒密定理 圆内接四边形中 两条对角线的乘积 两对角线所包矩形的面积 等于 两组对边乘积之和 一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积 之和 即 设四边形 ABCD 内接于圆 则有 定理 定理 在四边形 ABCD 中 有 并且当且仅当四边形 ABCD 内接于圆时 等式成立 解析解析 在四边形 ABCD 内取点 E 使 则 相似 和 所以 又因为且 所以相似 所以 和 所以 且等号当且仅当 E 在 BD 上时 成立 即当且仅当 A B C D 四点共圆时成立 1 1 直接应用托勒密定理直接应用托勒密定理 例例 1 如图所示 P 是正 ABC 外接圆的劣弧上任一点 不与 B C 重合 求证 解析解析 此题证法甚多 一般是截长 补短 构造全等三角形 均为繁 冗 若借助托勒密定理论证 则有 PA BC PB AC PC AB AB BC AC PA PB PC 1 2 完善图形完善图形 借助托勒密定理借助托勒密定理 例例 2 证明 勾股定理 在 Rt ABC 中 B 90 求证 2 2 2 解析解析 如图 作以 Rt ABC 的斜边 AC 为一对角线的矩形 ABCD 显 然 ABCD 是圆内接四边形 由托勒密定理 有 AC BD AB CD AD BC 又 ABCD 是矩形 AB CD AD BC AC BD 把 代人 得 2 2 2 例例 3 如图 在 ABC 中 A 的平分线交外接圆于 D 连结 BD 求证 AD BC BD AB AC 解析解析 连结 CD 依托勒密定理 有 AD BC AB CD AC BD 1 2 BD CD 故 AD BC AB BD AC BD BD AB AC 1 3 构造图形构造图形 借助托勒密定理借助托勒密定理 例例 4 若 a b x y 是实数 且 求证 2 2 1 2 2 1 1 E D CB A 解析解析 如图作直径 AB 1 的圆 在 AB 两边任作 Rt ACB 和 Rt ADB 使 AC a BC b BD x AD y 由勾股定理知 a b x y 是满足题设条件的 据托勒密定理 有 AC BD BC AD AB CD 1 1 1 4 巧变原式巧变原式 妙构图形 借助托勒密定理妙构图形 借助托勒密定理 例例 5 已知 a b c 是 ABC 的三边 且 求证 A 2 B 2 分析 将变形为 a a b b bc 从而联想到托勒密定理 进而构造一个等 2 腰梯形 使两腰为 b 两对角线为 a 一底边为 c 解析解析 如图 作 ABC 的外接圆 以 A 为圆心 BC 为半径作弧交圆 于 D 连结 BD DC DA AD BC ABD BAC 又 BDA ACB 对同弧 1 2 于是 则依 托勒密定理 有 BC AD AB CD BD AC 而已知 2 即 比较得 2 1 2 BAC 2 ABC 3 1 2 1 5 巧变形巧变形 妙引线妙引线 借肋托勒密定理借肋托勒密定理 例例 6 在 ABC 中 已知 A B C 1 2 4 求证 1 1 1 解析解析 将结论变形为 AC BC AB BC AB AC 把三角形和圆联系起来 可联想 到托勒密定理 进而构造圆内接四边形 如图 作 ABC 的外接圆 作弦 BD BC 边结 AD CD 在圆内接四边形 ADBC 中 由托勒密定理 有 AC BD BC AD AB CD 易证 AB AD CD AC AC BC BC AB AB AC 两端同除以 得 1 1 1 二 二 西姆松定理西姆松定理 西姆松定理西姆松定理 若从外接圆上一点 P 作 BC AB AC 的垂线 垂足 分别为 D E F 则 D E F 三点共线 证明 连接 DE DF 显然 只需证明 即可 因为 所以 B E P D 四点共圆 所以 90 同理可得 又因为 且 90 所以 所以 180 所以 D E F 三点共线 西姆松逆定理 西姆松逆定理 从一点 P 向的三边 或它们的延长线 作垂线 若 垂足 L M N 在同一直线上 则 P 在的外接圆上 例例 7 设的三条垂线 AD BE CF 的垂足分别为 D E F 从点 D 作 AB BE CF AC 的垂线 其垂足分别为 P Q R S 求证 P Q R S 在同一直线上 解析解析 设的垂心为 O 则 O E C D 四点共圆 因为 由西姆松定理有 Q R S 三点共线 又因为 O F B D 四点共圆 且由西姆松定理有 P Q R 三点共线 所以 P Q R S 四点共圆 例例 8 四边形 ABCD 是圆内接四边形 且是直角 若从 B 作直线 AC AD 的垂线 垂足分别为 E F 则直线 EF 平分线段 BD 解析解析 作 由西姆松定理有 F E G 共线 又因为 所以四边形 BFDG 为矩形 所以对角线 90 FG 平分另一条对角线 BD 例例 9 求证 四条直线两两相交所构成的四个三角形的外接圆相交于一点 且由该点向四条直线所作垂线的垂足在一条直线上 解析解析 如图 设四条直线 AB BC CD AD 中 AB 交 CD 于点 E BC 交 AD 于点 F 圆 BCE 与圆 CDF 的另一个交点为 G 所以 所以 即圆 180 ABF 过点 G 同理圆 AED 也过点 G 所以元 BCE 元 CDF 元 ABF 元 AED 交于同一点 G 若点 G 向 AB BC CD DA 所作垂线的垂足 分别为 E L M N P 有西姆松定理可知 L M N 在一条直线上 M N P 在一条直线上 故 L M N P 在同一条直线上 例例 10 四边形 ABCD 是圆内接四边形 且是