2012年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题（山东卷）（含解析）

用心 爱心 专心 1 20122012 年普通高等学校招生全国统一考试 山东卷 年普通高等学校招生全国统一考试 山东卷 理科数学理科数学 本试卷分第 I 卷和第 II 卷两部分 共 4 页 满分 150 分 考试用时 120 分钟 考试结束 务必将试卷和答题卡一并上交 注意事项 1 答题前 考生务必用直径 0 5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名 准考证号 县区和科类 填写在答题卡上和试卷规定的位置上 2 第 I 卷每小题选出答案后 用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑 如需改动 用橡皮擦干净后 再选涂其他答案标号 答案不能答在试卷上 3 第 II 卷必须用 0 5 毫米黑色签字笔作答 答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的 位置 不能写在试卷上 如需改动 先划掉原来的答案 然后再写上新的答案 不能使用涂 改液 胶带纸 修正带 不按以上要求作答的答案无效 4 填空题请直接填写答案 解答题应写出文字说明 证明过程或演算步骤 参考公式 锥体的体积公式 V Sh 其中 S 是锥体的底面积 h 是锥体的高 1 3 如果事件 A B 互斥 那么 P A B P A P B 如果事件 A B 独立 那么 P AB P A P B 第 I 卷 共 60 分 一 选择题 本大题共 12 小题 每小题 5 分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的 1 若复数 x 满足 z 2 i 11 7i i 为虚数单位 则 z 为 A 3 5i B 3 5i C 3 5i D 3 5i 解析 答案选 A i iii i i z53 5 1114 722 5 2 711 2 711 另解 设 则 Rbabiaz iiabbaibia711 2 2 2 根据复数相等可知 解得 于是 72 112 abba5 3 baiz53 2 已知全集 0 1 2 3 4 集合 A 1 2 3 B 2 4 则 CuA B 为 A 1 2 4 B 2 3 4 C 0 2 4 D 0 2 3 4 解析 答案选 C 4 2 0 4 0 BACAC UU 3 设 a 0 a 1 则 函数 f x ax在 R 上是减函数 是 函数 g x 2 a 在 R 3 x 上是增函数 的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 解析 p 函数 f x ax在 R 上是减函数 等价于 q 函数 g x 2 a 10 a 在 R 上是增函数 等价于 即且 a 1 故 p 是 q 成立的充分不必要 3 x02 a 20 a 用心 爱心 专心 2 条件 答案选 A 4 采用系统抽样方法从 960 人中抽取 32 人做问卷调查 为此将他们随机编号为 1 2 960 分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为 9 抽到的 32 人中 编号落入区间 1 450 的人做问卷 A 编号落入区间 451 750 的人做问卷 B 其余的人做问 卷 C 则抽到的人中 做问卷 B 的人数为 A 7 B 9 C 10 D 15 解析 采用系统抽样方法从 960 人中抽取 32 人 将整体分成 32 组 每组 30 人 即 30 l 第 k 组的号码为 令 而 解得 930 1 k750930 1 451 kzk 2516 k 则满足的整数 k 有 10 个 故答案应选 C 2516 k 解析 作出可行域 直线 将直线平移至点处有最大值 03 yx 0 2 点处有最小值 即 答案应选 A 3 2 1 6 2 3 z 6 执行下面的程序图 如果输入 a 4 那么输出的 n 的值为 A 2 B 3 C 4 D 5 解析 312 140 0 0 qpn 716 541 1 1 qpn 15114 2145 2 2 qpnqpn 3 答案应选 B 22 yx 14 yx 42 yx O 用心 爱心 专心 3 7 若 则 sin 4 2 3 7 sin2 8 A B C D 3 5 4 5 7 4 3 4 解析 由可得 4 2 2 2 8 1 2sin12cos 2 答案应选 D 4 3 2 2cos1 sin 另解 由及可得 4 2 3 7 sin2 8 4 3 4 7 16 7769 16 7616 8 73 12sin1cossin 而当时 结合选项即可得 答案应选 D 4 2 cossin 4 7 cos 4 3 sin 8 定义在 R 上的函数 f x 满足 f x 6 f x 当 3 x 1 时 f x x 2 2 当 1 x 3 时 f x x 则 f 1 f 2 f 3 f 2012 A 335 B 338 C 1678 D 2012 解析 而函数的周期为2 2 1 1 0 0 1 1 0 2 1 3 ffffff 6 3383335 2 1 210101 335 2012 2 1 fffff 答案应选 B 9 函数的图像大致为 解析 函数 为奇函数 xx x xf 22 6cos 22 6cos xf x xf xx 当 且时 当 且时 0 x0 x xf0 x0 x xf 用心 爱心 专心 4 当 当 x xx 220 xf x xx 220 xf 答案应选 D 10 已知椭圆 C 的离心率为 双曲线x y 1 的渐近线与椭 圆有四个交点 以这四个交点为顶点的四边形的面积为 16 则椭圆 c 的方程为 解析 双曲 线x y 1 的渐近线方程为 代入可得xy 则 又由可得 则164 2 22 22 2 xS ba ba x 4 2222 baba 2 3 eba2 24 5bb 于是 椭圆方程为 答案应选 D 20 5 22 ab1 520 22 yx 11 现有 16 张不同的卡片 其中红色 黄色 蓝色 绿色卡片各 4 张 从中任取 3 张 要求这些卡片不能是同一种颜色 且红色卡片至多 1 张 不同取法的种数为 A 232 B 252 C 472 D 484 解析 答案应选 C 472885607216 6 141516 4 1 12 2 4 3 4 3 16 CCCC 另解 47212264220 2 1112 412 6 101112 3 2 12 1 4 3 4 3 12 0 4 CCCCC 12 设函数 x g x ax2 bx若 y f x 的图像与 y g x 图像有f 且仅有两个不同的公共点 A x1 y1 B x2 y2 则下列判断正确的是 A 当 a 0 时 x1 x20 B 当 a0 y1 y20 时 x1 x2 0 y1 y20 时 x1 x2 0 y1 y2 0 解析 令 则 设 bxax x 2 1 0 1 23 xbxax 23 bxaxxF bxaxxF23 2 令 则 要使 y f x 的图像与 y g x 图像有且仅有两个023 2 bxaxxF a b x 3 2 不同的公共点只需 整理得 于是可取1 3 2 3 2 3 2 23 a b b a b a a b F 23 274ab 来研究 当时 解得 此时3 2 ba3 2 ba132 23 xx 2 1 1 21 xx 此时 当时 解2 1 21 yy0 0 2121 yyxx3 2 ba132 23 xx 用心 爱心 专心 5 得 此时 此时 答案应选 B 2 1 1 21 xx2 1 21 yy0 0 2121 yyxx 另解 令可得 xgxf bax x 2 1 设baxy x y 1 2 不妨设 结合图形可知 21 xx 当时如右图 此时 0 a 21 xx 即 此时 即 同理可由图0 21 xx0 21 xx 1 12 2 11 y xx y 0 21 yy 形经过推理可得当时 答案应选 B 0 a0 0 2121 yyxx 第 卷 共 90 分 二 填空题 本大题共 4 小题 每小题 4 分 共 16 分 13 若不等式的解集为 则实数 k 解析 由可得 即 而 所以 242 kx62 kx31 x2 k 另解 由题意可知是的两根 则 解得 3 1 xx24 kx 243 24 k k 2 k 14 如图 正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为 1 E F 分别为线段 AA1 B1C 上的点 则三棱锥 D1 EDF 的体积为 解析 6 1 11 2 1 1 3 1 11 DEDFEDFD VV 15 设 a 0 若曲线与直线 x a y 0 所围成封闭图形的面积为 a 则 a 解析 解得 aaxdxxS a a 2 3 0 2 3 0 3 2 3 2 4 9 a 16 如图 在平面直角坐标系xOy 中 一单位圆的圆心的初始位置在 0 1 此时圆上一 点 P 的位置在 0 0 圆在 x 轴上沿正向滚动 当圆滚动到圆心位于 2 1 时 的坐标 0 a baxy 0 a baxy y y x x 21 xx 21 xx C D 用心 爱心 专心 6 为 解析 根据题意可知圆滚动了 2 单位个弧长 点 P 旋转 了弧度 此时点的坐标为2 1 2 P 2cos1 2sin2 2cos1 2 2sin 1 2sin2 2 2cos 2 OP y x P P 另解 1 根据题意可知滚动制圆心为 2 1 时的圆的参数方程为 且 sin1 cos2 y x 则点 P 的坐标为 即2 2 3 2 PCD 2cos1 2 2 3 sin 1 2sin2 2 2 3 cos 2 y x 2cos1 2sin2 OP 三 解答题 本大题共 6 小题 共 74 分 17 本小题满分 12 分 已知向量 m sinx 1 函数 f x m n 的最大值 为 6 求 A 将函数 y f x 的图象像左平移个单位 再将所得图象各点的横坐标缩短为原来 12 的倍 纵坐标不变 得到函数 y g x 的图象 求 g x 在上的值域 1 2 解析 6 2sin2cos 2 2sin 2 3 2cos 2 sincos3 xAx A xAx A xxAnmxf 则 6 A 函数 y f x 的图象像左平移个单位得到函数的图象 12 6 12 2sin 6 xy 再将所得图象各点的横坐标缩短为原来的倍 纵坐标不变 得到函数 1 2 3 4sin 6 xxg 当时 24 5 0 x 1 2 1 3 4sin 6 7 3 3 4 xx 6 3 xg 用心 爱心 专心 7 故函数 g x 在上的值域为 6 3 另解 由可得 令 3 4sin 6 xxg 3 4cos 24 xxg0 x g 则 而 则 23 4Zkkx 24 5 0 x 24 x 于是 3 6 7 sin6 24 5 6 2 sin6 24 33 3 sin6 0 ggg 故 即函数 g x 在上的值域为 6 3 xg 6 3 18 本小题满分 12 分 在如图所示的几何体中 四边形 ABCD 是等腰梯形 AB CD DAB 60 FC 平面 ABCD AE BD CB CD CF 求证 BD 平面 AED 求二面角 F BD C 的余弦值 解析 在等腰梯形 ABCD 中 AB CD DAB 60 CB CD 由余弦定理可知 20222 3 180cos 2CDDABCBCDCBCDBD 即 在中 DAB 60 则为直角三角ADCDBD33 ABD ADBD3 ABD 形 且 又 AE BD 平面 AED 平面 AED 且 故DBAD AD AEAAEAD BD 平面 AED 由 可知 设 则 建立如图所示的空间直角CBAC 1 CB3 BDCA 坐标系 向量为平面的一个法向量 0 2 1 2 3 0 1 0 01 0 DBF 1 0 0 nBDC 设向量为平面的法向量 则 即 zyxm BDF 0 0 FBm BDm 0 0 2 3 2 3 zy yx 取 则 则为平面的一个法向量 1 y1 3 zx 1 1 3 mBDF z x y 用心 爱心 专心 8 而二面角 F BD C 的平面角为锐角 则 5 5 5 1 cos nm nm nm 二面角 F BD C 的余弦值为 5 5 19 本小题满分 12 分 现有甲 乙两个靶 某射手向甲靶射击一次 命中的概率为 命中得 1 分 没有命中得 0 分 向乙靶射击两次 每次命中的概率为 每命中一次得 2 分 没有命中得 0 分 该射手 每次射击的结果相互独立 假设该射手完成以上三次射击 求该射手恰好命中一次得的概率 求该射手的总得分 X 的分布列及数学期望 EX 解析 36 7 3 2 3 1 4 1 3 1 4 3 1 2 2 CP 5 4 3 2 1 0 X 9 1 3 2 3 1 4 1 2 12 1 3 1 4 3 1 36 1 3 1 4 1 0 1 2 22 CXPXPXP 3 1 3 2 4 3 5 9 1 3 2 4 1 4 3 1 3 2 3 1 4 3 3 221 2 XPXPCXP X012345 P 36 1 12 1 9 1 3 1 9 1 3 1 EX 0 1 2 3 4 5 36 1 12 1 9 1 3 1 9 1 3 1 12 5 3 12 41 20 本小题满分 12 分 在等差数列 an 中 a3 a4 a5 84 a9 73 求数列 an 的通项公式 对任意 m N 将数列 an 中落入区间 9m 92m 内的项的个数记为 bm 求数列 bm 的前 m 项和 Sm 解析 由 a3 a4 a5 84 a5 73 可得而 a9 73 则 28 843 44 aa 于是 9 455 49 daad127283 41 daa899 1 1 nnan 即 89 nan 对任意 m N 则 mm n 2 9899 89989 2 mm n 即 而 由题意可知 9 8 9 9 8 9 121 mm n Nn 112 99 mm m b 于是 999 999 1101231 21 mm mm bbbS 用心 爱心 专心 9 8 9 80 19 80 19109 8 19 80 99 91 91 91 99 121212 2 12mmmmmmmm 即 8 9 80 19 12mm m S 21 本小题满分 13 分 在平面直角坐标系 xOy 中 F 是抛物线 C x2 2py p 0 的焦点 M 是抛物线 C 上位于第一 象限内的任意一点 过 M F O 三点的圆的圆心为 Q 点 Q 到抛物线 C 的准线的距离为 3 4 求抛物线 C 的方程 是否存在点 M 使得直线 MQ 与抛物线 C 相切于点 M 若存在 求出点 M 的坐标 若不 存在 说明理由 若点 M 的横坐标为 直线 l y kx 与抛物线 C 有两个不同的交点 A B l 与圆2 1 4 Q 有两个不同的交点 D E 求当 k 2 时 的最小值 1 2 解析 F 抛物线 C x2 2py p 0 的焦点 F 设 2 0 p M 由题意可知 则点 Q 到抛物线 C 的准线的距离为 0 2 0 2 0 0 x p x x baQ 4 p b 解得 于是抛物线 C 的方程为 p ppp b 4 3 242 3 4 1 pyx2 2 假设存在点 M 使得直线 MQ 与抛物线 C 相切于点 M 而 2 0 0 2 1 0 2 0 0 x xMOF 4 1 aQQFOQMQ 16 1 4 1 2 22 2 02 0 a x ax 0 3 0 8 3 8 x x a 由可得 则 yx2 2 xy 0 3 0 2 0 0 8 3 8 24 1 x x x xk 2 0 2 0 4 0 2 1 4 1 8 3 8 1 xxx 即 解得 点 M 的坐标为 02 2 0 4 0 xx1 0 x 2 1 1 若点 M 的横坐标为 则点 M 2 1 2 4 1 8 2 Q 用心 爱心 专心 10 由可得 设 4 1 2 2 kxy yx 0 2 1 2 2 kxx 2211 yxByxA 4 1 21 2 21 2 2 xxxxkAB 24 1 22 kk 圆 32 3 16 1 64 2 2 1 8 2 22 yxQ 22 18 2 1 8 2 k k k k D 1 8 23 1 3232 3 4 2 2 2 2 2 k k k k DE 于是 令 1 8 23 2