高考数学：有关任意、存在、至少、恒成立问题

1 有关任意 存在 至少 恒成立问题有关任意 存在 至少 恒成立问题 1 本小题满分 14 分 已知函数 ln f xxmxm mR 求函数的单调区间 f x 若上恒成立 求实数的取值范围 求 f x 的最大值 0 0 f xx 在m 在 的条件下 对任意的 求证 ba 0 1 1 aaab afbf 解 0 11 x x mx m x xf 当时 恒成立 则函数在上单调递增 2 分0 m0 xf xf 0 当时 由 则 0 m0 11 x mx m x xf 1 0 m x 则在上单调递增 在上单调递减 4 分 xf 1 0 m 1 m 由 得 当时显然不成立 0 m 当时 0 m1ln1 1 ln 1 max mmm mm fxf 只需即可 6 分01ln mm 令 1ln xxxg 则 函数在上单调递减 在上单调递增 x xg 1 1 xg 1 0 1 0 1 min gxg 即对恒成立 也就是对恒成立 0g x 0 x ln10mm 0 m 解得 9 分ln10mm 1m 若在上恒成立 1 10 分0 xf 0 xm 分析 即求的取值范围 因为1ln xxxg 要不大于 0 而是小于或等于1ln1 1 ln 1 max mmm mm fxf1ln xxxg 0 所以只有 解得 ln10mm 1m 2 11 分1 1 1 ln 1 lnlnlnln a a b a b ab ab ab baab ab afbf 由得 ba 01 a b 由 得 12 分1ln a b a b 则 1 1 1 11 1 1 1 1 1 ln 2 aaaa a a a aa a b a b 则原不等式成立 14 分 1 1 aaab afbf 2 本小题共 14 分 已知函数 1 ln 0 f xax aa x R 若 求函数的极值和单调区间 1a f x II 若在区间上至少存在一点 使得成立 求实数的取值范围 1 e 0 x 0 0f x a 解 I 因为 2 分 22 11 aax fx xxx 当 1a 2 1 x fx x 令 得 3 分 0fx 1x 又的定义域为 f x 0 随的变化情况如下表 fx f x x x 0 1 1 1 fx 0 f x A 极小值A 3 所以时 的极小值为 1 5 分 1x f x 的单调递增区间为 单调递减区间为 6 分 f x 1 0 1 II 解法一 因为 且 22 11 aax fx xxx 0a 令 得到 0fx 1 x a 若在区间上存在一点 使得成立 0 e 0 x 0 0f x 其充要条件是在区间上的最小值小于 0 即可 7 分 f x 0 e 1 当 即时 对成立 1 0 x a 0a 0fx 0 x 所以 在区间上单调递减 f x 0 e 故在区间上的最小值为 f x 0 e 11 lnf eaea ee 由 得 即 9 分 1 0a e 1 a e 1 a e 2 当 即时 1 0 x a 0a 若 则对成立 所以在区间上单调递减 1 e a 0fx 0 xe f x 0 e 所以 在区间上的最小值为 f x 0 e 11 ln0f eaea ee 显然 在区间上的最小值小于 0 不成立 11 分 f x 0 e 若 即时 则有 1 0e a 1 a e x 1 0 a 1 a 1 e a 4 fx 0 f x A 极小值A 所以在区间上的最小值为 f x 0 e 11 lnfaa aa 由 11 ln 1ln 0faaaa aa 得 解得 即 13 分 1ln0a ae ae 综上 由 1 2 可知 符合题意 14 分 1 ae e 解法二 若在区间上存在一点 使得成立 即 0 e 0 x 0 0f x 0 0 1 ln0ax x 因为 所以 只需 7 分 0 0 x 00 1ln0axx 令 只要在区间上的最小值小于 0 即可 1lng xaxx 1lng xaxx 0 e 因为 ln ln1 g xaxaax 令 得 9 分 ln1 0g xax 1 x e 1 当时 0a x 1 0 e 1 e 1 e e g x 0 g x A 极大值A 因为时 而 1 0 x e 1ln0g xaxx 1ln1g eaeeae 只要 得 即 11 分 10ae 1 a e 1 a e 2 当时 0a 5 x 1 0 e 1 e 1 e e g x 0 g x A 极小值A 所以 当 时 极小值即最小值为 0 xe g x 111 1ln1 a ga eeee 由 得 即 13 分 10 a e ae ae 综上 由 1 2 可知 有 14 分 1 ae e 3 2011 山东青岛一模山东青岛一模 已知函数 32 2f xxaxx 1 若 令函数 求函数在上的极大值 极小值 1a 2 g xxf x g x 1 2 2 若函数在上恒为单调递增函数 求实数的取值范围 f x 1 3 a 解 解 1 所以 由 3232 2 2 2g xxxxxxxx 2 321g xxx 得或 0g x 1 3 x 1x x 1 1 3 1 3 1 1 3 1 1 2 g x 0 0 g x A 59 27 A1 A 所以函数在处取得极小值 在处取得极大值 g x 1 3 x 59 27 1x 1 因为的对称轴为 2 321fxxax 3 a x 若即时 要使函数在上恒为单调递增函数 则有 1 33 a 1a f x 1 3 解得 所以 2 4120a 33a 31a 若即时 要使函数在上恒为单调递增函数 则有 1 33 a 1a f x 1 3 6 解得 所以 2 111 3 2 10 333 fa 2a 12a 综上 实数的取值范围为 a32a 4 4 本小题共 本小题共 1414 分 分 已知0 a 函数 232 12 33 f xa xax 1g xax x R 当1 a时 求函数 f x在点 1 1 f的切线方程 求函数 f x在 1 1 的极值 若在区间 1 0 2 上至少存在一个实数 0 x 使 00 f xg x 成立 求正实数a的取值范 围 解 由 232 12 33 f xa xax 求导得 22 2fxa xax 1 分 当1 a时 1 1 f 1 0 f 3 分 所以 f x在点 1 1 f的切线方程是1 yx 4 分 令 0 得 fx 1 0 x 2 2 x a 1 当 2 01 a 即2 a时 x 1 0 0 2 0 a 2 a 2 1 a f x 0 0 f x 极大值 极小值 6 分 故 f x的极大值是 2 3 极小值是 24 3 a a 7 分 2 当 2 1 a 即02 a时 f x在 1 0 上递增 在 0 1 上递减 8 分 所以 f x的极大值为 2 0 3 f 无极小值 9 分 设 232 11 33 F xf xg xa xaxax 1 0 2 x 对 F x求导 得 2222 2 1 2 F xa xaxaa xax 10 分 因为 1 0 2 x 0a 所以 22 1 2 0F xa xax F x在区间 1 0 2 上为增函数 则 max 1 2 F xF 12 分 依题意 只需 max 0F x 即 2 11111 0 38423 aaa 即 2 680aa 解得317a 或317a 舍去 7 所以正实数a的取值范围是 317 14 分 5 5 本小题满分 14 分 已知函数 lnf xaxx a R 若 求曲线在处切线的斜率 2a yf x 1x 求的单调区间 f x 设 若对任意 均存在 使得 2 22g xxx 1 0 x 2 0 1x 求的取值范围 转化为 12 f xg x a maxmax f xg x 解 由已知 2 分 1 2 0 fxx x 1 2 13 f 故曲线在处切线的斜率为 4 分 yf x 1x 3 5 分 11 0 ax fxax xx 当时 由于 故 0a 0 x 10ax 0fx 所以 的单调递增区间为 6 分 f x 0 当时 由 得 0a 0fx 1 x a 在区间上 在区间上 1 0 a 0fx 1 a 0fx 所以 函数的单调递增区间为 单调递减区间为 f x 1 0 a 1 a 8 分 由已知 转化为 9 分 maxmax f xg x 10 分 max 2g x 由 知 当时 在上单调递增 值域为 故不符合题意 0a f x 0 R 或者举出反例 存在 故不符合题意 11 分 33 e e32fa 当时 在上单调递增 在上单调递减 0a f x 1 0 a 1 a 故的极大值即为最大值 13 分 f x 11 1 ln 1 ln fa aa 所以 21 ln a 8 解得 14 分 3 1 e a 6 本小题共 14 分 已知函数 32 1 3 f xaxxx 1 当时 求函数的单调递增区间 3a f x 2 若函数在区间 0 上至少有一个极值 求实数的取值范围 f x a 解 当时 1 分3a 32 f xxxx 2 分 2 321fxxx 令得3 分 0fx 1 1 3 x 在 1 上单调递增4 分 f x 1 3 5 分 2 21fxaxx 当时 易知在处取得极小值 适合题意 0a 21fxx f x 1 2 x 时 函数在区间 0 上至少有一个极值 则说明的图像穿过0a f x fx 轴负半轴 x 为二次函数 2 21fxaxx 44a 则或11 分 0 0 2 0 2 a a 0 0 2 0 2 a a 解得或13 分0a 01a 综上 时满足题意14 分1a 7 2011 海淀一模理海淀一模理 18 18 本小题共 本小题共 13 分 分 已知函数 lnf xxax 1 R a g xa x 若 求函数的极值 1a f x 设函数 求函数的单调区间 h xf xg x h x 9 若在 上存在一点 使得成立 求的取值范围 1 ee2 718 0 x 0 f x 0 g xa 解 的定义域为 1 分 f x 0 当时 2 分1a lnf xxx 11 1 x fx xx 3 分 所以在处取得极小值1 f x1x 4 分 1 ln a h xxax x 6 分 2 222 1 1 1 1 1 aaxaxaxxa h x xxxx 当时 即时 在上 在上 10a 1a 0 1 a 0h x 1 a 0h x 所以在上单调递减 在上单调递增 7 分 h x 0 1 a 1 a 当 即时 在上 10a 1a 0 0h x 所以 函数在上单调递增 8 分 h x 0 III 在上存在一点 使得成立 即 1 e 0 x 0 f x 0 g x 在上存在一点 使得 即 1 e 0 x 0 0h x 函数在上的最小值小于零 9 分 1 ln a h xxax x 1 e 由 可知 即 即时 在上单调递减 1ea e 1a h x 1 e 所以的最小值为 由可得 h x e h 1 e e0 e a ha 2 e1 e1 a 因为 所以 10 分 2 e1 e1 e1 2 e1 e1 a 当 即时 在上单调递增 11a 0a h x 1 e 所以最小值为 由可得 11 分 h x 1 h 1 1 10ha 2a x 0 1 1 1 fx 0 f x极小 10 当 即时 可得最小值为 11ea 0e1a h x 1 ha 因为 所以 0ln 1 1a 0ln 1 aaa 故 1 2ln 1 2haaaa 此时 不成立 12 分 1 0ha 综上讨论可得所求的范围是 或 13 分a 2 e1 e1 a 2a 8 本小题满分 14 分 已知函数 x a xxf ln xaxxfxgln6 其中 aR 讨论 xf的单调性 若 xg在其定义域内为增函数 求正实数a的取值范围 设函数4 2 mxxxh 当2 a时 若 1 0 1 x 2 1 2 x 总有 21 xhxg 成立 求实数m的取值范围 解解 xf的定义域为的定义域为 0 且 且 2 x ax xf 1 1 分分 当当0 a时 时 0 xf xf在在 0 上单调递增 上单调递增 2 2 分分 当当0 a时 由时 由0 xf 得 得ax 由 由0 xf 得 得ax 故故 xf在在 0 a 上单调递减 在上单调递减 在 a上单调递增上单调递增 4 4 分分 x x a axxgln5 xg的定义域为的定义域为 0 2 2 2 55 x axax xx a axg 5 5 分分 因为因为 xg在其定义域内为增函数 所以在其定义域内为增函数 所以 0 x 0 xg max 22 22 1 5 1 5 5 1 05 x x a x x axxaaxax 而而 2 5 1 5 1 5 2 x x x x 当且仅当 当且仅当1 x时取等号 所以时取等号 所以 2 5 a 8 8 分分 当 当2 a时 时 x x xxgln5 2 2 2 2 252 x xx xg 由由0 xg得得 2 1 x或或2 x 11 当当 2 1 0 x时 时 当 当 1 2 1 x时 时 0 xg 0g x 所以在所以在 1 0 上 上 2ln53 2 1 max gxg 10 10 分分 而