高中数学 第十三章《排列组合与概率》数学竞赛讲义 苏教版

用心 爱心 专心 1 第十三章第十三章 排列组合与概率排列组合与概率 一 基础知识 1 加法原理 做一件事有 n 类办法 在第 1 类办法中有 m1种不同的方法 在第 2 类办法中 有 m2种不同的方法 在第 n 类办法中有 mn种不同的方法 那么完成这件事一共有 N m1 m2 mn种不同的方法 2 乘法原理 做一件事 完成它需要分 n 个步骤 第 1 步有 m1种不同的方法 第 2 步有 m2 种不同的方法 第 n 步有 mn种不同的方法 那么完成这件事共有 N m1 m2 mn种 不同的方法 3 排列与排列数 从 n 个不同元素中 任取 m m n 个元素 按照一定顺序排成一列 叫做 从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列 从 n 个不同元素中取出 m 个 m n 元素的所有 排列个数 叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数 用表示 n n 1 n m n A m n A m 1 其中 m n N m n mn n 注 一般地 1 0 1 n 0 n A n n A 4 N 个不同元素的圆周排列数为 n 1 n An n 5 组合与组合数 一般地 从 n 个不同元素中 任取 m m n 个元素并成一组 叫做从 n 个 不同元素中取出 m 个元素的一个组合 即从 n 个不同元素中不计顺序地取出 m 个构成原集合 的一个子集 从 n 个不同元素中取出 m m n 个元素的所有组合的个数 叫做从 n 个不同元 素中取出 m 个元素的组合数 用表示 m n C 1 1 mnm n m mnnn C m n 6 组合数的基本性质 1 2 3 mn n m n CC 1 1 n n m n m n CCC k n k n CC k n 1 1 4 5 6 n n k k n n nnn CCCC2 0 10 1 11 k mk k mk k k k k CCCC kn mn m k k n CCC 7 定理 1 不定方程 x1 x2 xn r 的正整数解的个数为 1 1 n r C 证明 将 r 个相同的小球装入 n 个不同的盒子的装法构成的集合为 A 不定方程 x1 x2 xn r 的正整数解构成的集合为 B A 的每个装法对应 B 的唯一一个解 因而构成映 射 不同的装法对应的解也不同 因此为单射 反之 B 中每一个解 x1 x2 xn 将 xi作为 第 i 个盒子中球的个数 i 1 2 n 便得到 A 的一个装法 因此为满射 所以是一一映射 将 r 个小球从左到右排成一列 每种装法相当于从 r 1 个空格中选 n 1 个 将球分 n 份 共 用心 爱心 专心 2 有种 故定理得证 1 1 n r C 推论 1 不定方程 x1 x2 xn r 的非负整数解的个数为 1 r rn C 推论 2 从 n 个不同元素中任取 m 个允许元素重复出现的组合叫做 n 个不同元素的 m 可重组 合 其组合数为 1 m mn C 8 二项式定理 若 n N 则 a b n 其中第 r 1 项 Tr 1 nn n rrnr n n n n n n n bCbaCbaCbaCaC 222110 叫二项式系数 r n rrnr n CbaC 9 随机事件 在一定条件下可能发生也可能不发生的事件叫随机事件 在大量重复进行同 一试验时 事件 A 发生的频率总是接近于某个常数 在它附近摆动 这个常数叫做事件 A n m 发生的概率 记作 p A 0 p A 1 10 等可能事件的概率 如果一次试验中共有 n 种等可能出现的结果 其中事件 A 包含的结 果有 m 种 那么事件 A 的概率为 p A n m 11 互斥事件 不可能同时发生的两个事件 叫做互斥事件 也叫不相容事件 如果事件 A1 A2 An彼此互斥 那么 A1 A2 An中至少有一个发生的概率为 p A1 A2 An p A1 p A2 p An 12 对立事件 事件 A B 为互斥事件 且必有一个发生 则 A B 叫对立事件 记 A 的对立 事件为 由定义知 p A p 1 AA 13 相互独立事件 事件 A 或 B 是否发生对事件 B 或 A 发生的概率没有影响 这样的 两个事件叫做相互独立事件 14 相互独立事件同时发生的概率 两个相互独立事件同时发生的概率 等于每个事件发生 的概率的积 即 p A B p A p B 若事件 A1 A2 An相互独立 那么这 n 个事件同时发 生的概率为 p A1 A2 An p A1 p A2 p An 15 独立重复试验 若 n 次重复试验中 每次试验结果的概率都不依赖于其他各次试验的结果 则称这 n 次试验是独立的 16 独立重复试验的概率 如果在一次试验中 某事件发生的概率为 p 那么在 n 次独立重复试 验中 这个事件恰好发生 k 次的概率为 pn k pk 1 p n k k n C 17 离散型随机为量的分布列 如果随机试验的结果可以用一个变量来表示 那么这样的变 量叫随机变量 例如一次射击命中的环数 就是一个随机变量 可以取的值有 0 1 2 10 如果随机变量的可能取值可以一一列出 这样的随机变量叫离散型随机变量 一般地 设离散型随机变量 可能取的值为 x1 x2 xi 取每一个值 xi i 1 2 的 概率 p xi pi 则称表 x1x2x3 xi pp1p2p3 pi 为随机变量 的概率分布 简称 的分布列 称 E x1p1 x2p2 xnpn 为 的数学期 用心 爱心 专心 3 望或平均值 均值 简称期望 称 D x1 E 2 p1 x2 E 2 p2 xn E 2pn 为 的均方差 简称方差 叫随机变量 的标准差 D 18 二项分布 如果在一次试验中某事件发生的概率是 p 那么在 n 次独立重复试验中 这 个事件恰好发生 k 次的概率为 p k 的分布列为 knkk n qpC 01 xi N p n n qpC 00111 n n qpC knkk n qpC nn n pC 此时称 服从二项分布 记作 B n p 若 B n p 则 E np D npq 以上 q 1 p 19 几何分布 在独立重复试验中 某事件第一次发生时所做试验的次数 也是一个随机变 量 若在一次试验中该事件发生的概率为 p 则 p k qk 1p k 1 2 的分布服从几 何分布 E D q 1 p p 1 2 p q 二 方法与例题 1 乘法原理 例 1 有 2n 个人参加收发电报培训 每两个人结为一对互发互收 有多少种不同的结对方式 2 加法原理 例 2 图 13 1 所示中没有电流通过电流表 其原因仅因为电阻断路的可能性共有几种 3 插空法 例 3 10 个节目中有 6 个演唱 4 个舞蹈 要求每两个舞蹈之间至少安排一个演唱 有多少种 不同的安排节目演出顺序的方式 4 映射法 例 4 如果从 1 2 14 中 按从小到大的顺序取出 a1 a2 a3使同时满足 a2 a1 3 a3 a2 3 那么所有符合要求的不同取法有多少种 用心 爱心 专心 4 5 贡献法 例 5 已知集合 A 1 2 3 10 求 A 的所有非空子集的元素个数之和 6 容斥原理 例 6 由数字 1 2 3 组成 n 位数 n 3 且在 n 位数中 1 2 3 每一个至少出现 1 次 问 这样的 n 位数有多少个 7 递推方法 例 7 用 1 2 3 三个数字来构造 n 位数 但不允许有两个紧挨着的 1 出现在 n 位数中 问 能构造出多少个这样的 n 位数 8 算两次 例 8 m n r N N 证明 022110 m r n r mn r mn r mn r CCCCCCCCC mn 9 母函数 例 9 一副三色牌共有 32 张 红 黄 蓝各 10 张 编号为 1 2 10 另有大 小王各 一张 编号均为 0 从这副牌中任取若干张牌 按如下规则计算分值 每张编号为 k 的牌计 为 2k分 若它们的分值之和为 2004 则称这些牌为一个 好牌 组 求好牌组的个数 10 组合数的性质 k n C 例 10 证明 是奇数 k 1 k m C 12 例 11 对 n 2 证明 42 2 nn n n C 用心 爱心 专心 5 11 二项式定理的应用 例 12 若 n N n 2 求证 3 1 12 n n 例 13 证明 1 1 0 nmhCCC m n h k n k hm kn 12 概率问题的解法 例 14 如果某批产品中有 a 件次品和 b 件正品 采用有放回的抽样方式从中抽取 n 件产品 问 恰好有 k 件是次品的概率是多少 例 15 将一枚硬币掷 5 次 正面朝上恰好一次的概率不为 0 而且与正面朝上恰好两次的概 率相同 求恰好三次正面朝上的概率 例 16 甲 乙两个乒乓球运动员进行乒乓球比赛 已知每一局甲胜的概率为 0 6 乙胜的概 率为 0 4 比赛时可以用三局二胜或五局三胜制 问 在哪一种比赛制度下 甲获胜的可能 性大 例 17 有 A B 两个口袋 A 袋中有 6 张卡片 其中 1 张写有 0 2 张写有 1 3 张写有 2 B 袋中有 7 张卡片 其中 4 张写有 0 1 张写有 1 2 张写有 2 从 A 袋中取出 1 张卡片 B 袋 中取 2 张卡片 共 3 张卡片 求 1 取出 3 张卡片都写 0 的概率 2 取出的 3 张卡片 数字之积是 4 的概率 3 取出的 3 张卡片数字之积的数学期望 用心 爱心 专心 6 三 基础训练题 1 三边长均为整数且最大边长为 11 的三角形有 个 2 在正 2006 边形中 当所有边均不平行的对角线的条数为 3 用 1 2 3 9 这九个数字可组成 个数字不重复且 8 和 9 不相邻的七位数 4 10 个人参加乒乓球赛 分五组 每组两个人有 种分组方法 5 以长方体的顶点为顶点的三棱锥的个数是 6 今天是星期二 再过 101000天是星期 7 由展开式所得的 x 的多项式中 系数为有理数的共有 项 1003 23 x 8 如果凸 n 边形 n 4 的任意三条对角线不共点 那么这些对角线在凸 n 边形内共有 个交点 9 袋中有 a 个黑球与 b 个白球 随机地每次从中取出一球 不放回 第 k 1 k a b 次取 到黑球的概率为 10 一个箱子里有 9 张卡片 分别标号为 1 2 9 从中任取 2 张 其中至少有一个为 奇数的概率是 11 某人拿着 5 把钥匙去开门 有 2 把能打开 他逐个试 试三次之内打开房门的概率是 12 马路上有编号为 1 2 3 10 的十盏路灯 要将其中三盏关掉 但不能同时关掉相 邻的两盏或三盏 也不能关掉两端的路灯 则满足条件的关灯方法种数是 13 a b c d e 五个人安排在一个圆桌周围就坐 若 a b 不相邻有 种安排方式 14 已知 i m n 是正整数 且 1 1 n m i n ii m i AmAn 15 一项 过关游戏 规定 在第 n 关要抛掷一颗骰子 n 次 如果这 n 次抛掷所得到的点数 之和大于 2n 则算过关 问 1 某人在这项游戏中最多能过几关 2 他连过前三关的 概率是多少 注 骰子是一个在各面上分别有 1 2 3 4 5 6 点数的均匀正方体 四 高考水平训练题 1 若 n 1 2 100 且 n 是其各位数字和的倍数 则这种 n 有 个 2 从 3 2 1 0 1 2 3 4 中任取 3 个不同元素作为二次函数 y ax2 bx c 的系数 能组成 过原点 且顶点在第一或第三象限的抛物线有 条 3 四面体的顶点和各棱的中点共 10 个点 在其中任取 4 个不共面的点 有 种取 法 4 三个人传球 从甲开始发球 每次接球后将球传给另外两人中的任意一个 经 5 次传球 后 球仍回到甲手中的传法有 种 5 一条铁路原有 m 个车站 含起点 终点 新增加 n 个车站 n 1 客运车票相应地增加 用心 爱心 专心 7 了 58 种 原有车站有 个 6 将二项式的展开式按降幂排列 若前三项系数成等差数列 则该展开式中 n x x 4 2 1 x 的幂指数是整数的项有 个 7 从 1 到 9 这九个自然数中任取两个分别作为对数的真数和底数 共可得到 种不 同的对数值 8 二项式 x 2 5的展开式中系数最大的项为第 项 系数最小的项为第 项 9 有一批规格相同的均匀圆棒 每根被划分成长度相同的 5 节 每节用红 黄 蓝三色之 一涂色 可以有 种颜色不同的圆棒 颠倒后相同的算同一种 10 在 1 2 2006 中随机选取 3 个数 能构成递增等差数列的概率是 11 投掷一次骰子 出现点数 1 2 3 6 的概率均为 连续掷 6 次 出现的点数之 6 1 和为 35 的概率为 12 某列火车有 n 节旅客车厢 进站后站台上有 m m n 名旅客候车 每位旅客随意选择车 厢上车 则每节车厢都有旅客上车的概率是 13 某地现有耕地 10000 公顷 规划 10 年后粮食单产比现在增加 22 人均粮食占有量比现 在提高 10 如果人口年增长率为 1 那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷 精确到 1 公顷 粮食单产 耕地面积 总产量 五 联赛一试水平训练题 1 若 0 a b c d 500 有 个有序的四元数组 a b c d 满足 a d b c 且 bc ad 93 2 已知直线 ax by c 0 中的 a b c 是取自集合 3 2 1 0 1 2 3 中的 3 个不同的元素 并 且该直线倾斜角为锐角 这样的直线条数是 3 已知 A 0 1 2 3 4 5 6 7 映射 f A A 满足 1 若 i j 则 f i f j 2 若 i j 7 则 f i f j 7 这样的映射的个数为 4 1 2 3 4 5 的排列 a1 a2 a3 a4 a5具有性质 对于 1 i 4 a1 a2 ai不构成 1 2 i 的某个排列 这种排列的个数是 5 骰子的六个面标有 1 2 6 这六个数字 相邻两个面上的数字之差的绝对值叫变差 变差的总和叫全变差 V 则全变差 V 的最大值为 最小值为 6 某次乒乓球单打比赛中 原计划每两名选手恰比赛一场 但有 3 名选手各比赛 2 场之后 就退出了 这样 全部比赛只进行 50 场 上述三名选手之间比赛场数为 7 如果 a b c d 都属于 1 2 3 4 且 a b b c c d d a 且 a 是 a b c d 中的最小值 则不同的四位数的个数为 abcd 8 如果自然数 a 各位数字之和等于 7 那么称 a 为 吉祥数 将所有的吉祥数从小到大排 成一列 a1 a2 a3 若 an 2005 则 an 9 求值 k n n k k C kn 2 12 1 1 1 用心 爱心 专心 8 10 投掷一次骰子 出现点数 1 2 6 的概率均为 连续掷 10 次 出现的点数之和 6 1 是 30 的概率为 11 将编号为 1 2 9 这九个小球随机放置在圆周的九个等分点上 每个等分点上各有 一个小球 设周围上所有相邻两球的号码之差的绝对值之和为 S 求 S 达到最小值的放法的 概率 注 如果某种放法经旋转或镜面反射后可与另一放法重合 则认为是相同的放法 12 甲 乙两人轮流向同一目标射击 第一次甲射击 以后轮流射击 甲每次击中的概