高中数学 双曲线知识精讲 理 人教版第二册

1 高二数学高二数学双曲线双曲线人教版 理 人教版 理 本讲教育信息本讲教育信息 一 教学内容 双曲线 二 重点 难点 1 定义 caPFPF22 21 到两点 0 0 21 cFcF 距离之差为定值 2a 的点的轨迹 2 标准方程 1 2 2 2 2 b y a x 或1 2 2 2 2 b x a y 0 0 ba 3 性质 1 2 2 2 2 b y a x 1 范围 aax Ry 2 对称 x y 轴为对称轴 原点为对称中心 3 顶点 0 a 4 渐近线 x a b y 5 离心率 1 a c e 4 第二定义 到 0 cF的距离与到直线l c a x 2 的距离之比为定值e a c 的点的轨迹为双曲线 1 2 2 2 2 b y a x 0 0 ba 222 cba 典型例题典型例题 例 1 求满足条件的双曲线的标准方程 1 一条渐近线是 023 yx 且过点 36 8 A的双曲线方程 解 解 xy 2 3 双曲线 94 22 yx 轴 轴 y x 0 0 代入 A 4 其渐近线双曲线系1 3616 22 yx 2 求与双曲线1 45 22 yx 有共同渐近线且焦距为 12 的双曲线 解 解 45 22 yx 36 4 5 4 两解 1 1620 22 yx 例 2 P 为平面上一点 过 P 作双曲线只有一个交点的直线可作 n 条 解 解 切线有一交点 交线 2 BP 无2 平渐 P 在线上 2 平渐 P 在渐近线上 非 O 点 本支 1 P 在原点 CAP 0 2 0 2 y x CCBB A A 例 3 P 为双曲线1 2 2 2 2 b y a x 上一点 异于顶点 21PF F 求 21PF F S 解 解 2 21 2 2 2 1 42aPFPFPFPF 2 21 2 2 2 1 4cos2cPFPFPFPF 相减 222 21 444 cos1 2bacPFPF cos1 2 2 21 b PFPF 21PF F S 2 cotsin 2 1 2 21 bPFPF 例 4 双曲线1 2 2 2 2 b y a x 的右顶点为 A P 为双曲线上一点 异于顶点 过 A 作渐近线的 平行线交 OP 于 E F 1 证 2 OFOEOP 2 双曲线上是否存在一点 P 使 4 ab S AEF 解 解 0 00 yxPaA OP l x x y y 0 0 AE l ax a b y AF l ax a b y 00 0 00 0 aybx aby aybx abx F 00 0 00 0 aybx aby aybx abx E 3 22 0 2 2 0 22 0 2 2 0 22 2 1 1 OPxk yaxb xba kOFOE b yxy xxkEF FE 2 0 2 002 2 1 2 0 2 0 0 2 0 2 00 2 2 1 yx ay b yxy S 4 2 0 ab b ay 四点 2 2 5 b a 例 5 双曲线 C 1 3 2 2 y x A 3 2 B 2 0 P 为双曲线上一点 求 2 1 PBPA 的最小值 解 解 2 e 2 lPd PB 2 1 ABlAd 2 5 2 1 lPdlAdPAPBPA 2 3 21 P y x C0B A 例 6 双曲线 C 1 1213 22 yx 的一支上有不同的三点 11 yxA 6 2 xB 33 yxC 它们与 F 0 5 的距离成等差数列 1 求 31 yy 2 求证线段 AC 的中垂线过定点 并求此点 4 解 解 A B C 到准线距离成等差数列 2 2 2 2 3 2 1 c a y c a y c a y 122 231 yyy 13 31 xx kAB 31 13 xx k 中垂线 2 13 6 31 31 xx x xx y 2 1313 6 31 x xx y 过定点 2 25 0 例 7 双曲线 222 ayx 的一条准线与实轴交于 D 过 D 引直线和双曲线交于 M N 又 过一焦点 F 引一直线垂直于 MN 和双曲线交于 P Q 证 2 DNDMFQFP 0 x y M P F ND Q 解 解 0 2 0 2 aF a D 设 MN 倾斜角为 PQ 为 2 sin cos 2 ty t a x lMN 2 sin 2 cos 2 ty tax lPQ 分别代入 222 sin cos 2 att a 2222 cos 2 cos 2 atta 即 0 2 1 cos22cos 22 aatt 0sin222cos 22 aatt 2cos2 2 21 a ttDNDM 2cos 2 21 a ttFQFP 2 DNDMFQFP 例 8 过双曲线上任一点 P 的切线与双曲线的渐近线交于 A B 求证 P 点为 AB 中点 5 解 解 11 yxP为双曲线1 2 2 2 2 b y a x 上一点 过 P 的切线1 2 1 2 1 b yy a xx 0 1 2 2 2 2 2 1 2 1 b y a x b yy a xx 消 y 02 24 1 2222 1 22 1 2 baxxbaxyaxb 即02 24 1 22222 baxxbaxba 02 2 1 2 axxx 中点横坐标为 1 x 中点为 P 模拟试题模拟试题 答题时间 30 分钟 1 离心率为2是双曲线为等轴双曲线的 A 充非必B 必非充C 充要D 非充非必 2 下列双曲线中 既有相同的离心率 又有相同渐近线的是 A 1 3 2 2 y x 和1 93 22 yx B 1 3 2 2 y x 和1 3 2 2 y x C 1 3 2 2 x y和1 3 2 2 y xD 1 3 2 2 y x 和1 39 22 yx 3 过 P 4 4 且与双曲线1 916 22 yx 只有一个公共点的直线有 A 1 条B 2 条C 3 条D 4 条 4 过双曲线的一个焦点 F1且垂直于实轴的弦 PQ 而 F2为另一个焦点 若 2 2 QPF 则 e A 22B 12 C 2D 12 5 双曲线的两条准线 把连结两个焦点的线段分成1 2 1 则双曲线的离心率为 A 2B 3C 2D 3 6 连接双曲线1 2 2 2 2 b y a x 和1 2 2 2 2 a x b y 的四个顶点的四边形面积为 S1 连接四个焦 点的四边形面积为 S2 则 2 1 S S 的最大值为 A 2B 4C 2 1 D 4 1 7 求证 等轴双曲线上任一点到中心的距离是它到两焦点的距离的等比中项 8 过双曲线1 2 2 2 2 b y a x 上任一点 P 作双曲线的两渐近线的平行线 试证它们和两条渐 近线所围成的平行四边形的面积为定值 6 试题答案试题答案 1 C2 D3 D4 B5 A6 C 7 证 00 yxP 2 0 2 0 yxPO 1121 aexaexPFPF 2 2 1 2 1 22 1 22 1 2 yxaxaxe 21 2 PFPFPO 8 设 00 yxP 不妨设 P 在右支 过 P 作直线 00 xx a b