重庆一中2013届高三数学下学期5月月考试题 文 新人教A版

1 2012 20132012 2013 学年重庆一中高三 下 学年重庆一中高三 下 5 5 月月考数学试卷 文科 月月考数学试卷 文科 一 选择题 共一 选择题 共 1010 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 5050 分 每小题只有一个正确答案 分 每小题只有一个正确答案 1 5 分 设集合 A 1 2 则满足 A B 2 的集合 B 可以是 A 1 2 B 1 3 C 2 3 D 1 2 3 考点 交集及其运算 专题 计算题 分析 根据 A 以及 A 与 B 交集的元素 判断即可得到结果 解答 解 A 1 2 A B 2 集合 B 可以为 2 3 故选 C 点评 此题考查了交集及其运算 熟练掌握交集的定义是解本题的关键 2 5 分 2012 浙江模拟 将长方体截去一个四棱锥 得到的几何体如图所示 则该几 何体的侧视图为 A B C D 考点 简单空间图形的三视图 分析 根据三视图的特点 知道左视图从图形的左边向右边看 看到一个正方形的面 在 面上有一条对角线 对角线是由左下角都右上角的线 得到结果 解答 解 被截去的四棱锥的三条可见棱中 在两条为长方体的两条对角线 它们在右侧面上的投影与右侧面 长方形 的两条边重合 另一条为体对角线 它在右侧面上的投影与右侧面的对角线重合 对照各图 只有 D 符合 故选 D 点评 本题考查空间图形的三视图 考查侧视图的做法 本题是一个基础题 考查的内容 比较简单 可能出现的错误是对角线的方向可能出错 2 3 5 分 已知 a 是实数 是纯虚数 则 a 等于 A 1B 1C D 考点 复数代数形式的乘除运算 复数的基本概念 专题 计算题 分析 两个复数相除 分子和分母同时乘以分母的共轭复数 求得所给的复数为 再根据它为纯虚数 可得 a 1 0 且 a 1 0 由此求得 a 的值 解答 解 a 是实数 且 为纯虚数 故有 a 1 0 且 a 1 0 解得 a 1 故选 B 点评 本题主要考查复数的基本概念 两个复数代数形式的乘除法 虚数单位 i 的幂运算 性质 属于基础题 4 5 分 已知 a b 是实数 则 是 a b 5 的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 考点 必要条件 充分条件与充要条件的判断 专题 计算题 分析 由不等式的性质可由前推后 而反例 a 1 b 6 可说明后不能推前 由充要条件的定 义可得答案 解答 解 由 结合不等式的性质可推出 a b 5 但 a b 5 不能推出 比如取 a 1 b 6 3 当然满足 a b 5 但不满足 故 是 a b 5 的充分不必要条件 故选 A 点评 本题考查充要条件的判定 涉及不等式的性质 属基础题 5 5 分 已知函数 f x sin x x R 0 的最小正周期为 为了得到 函数 g x sin x 的图象 只要将 y f x 的图象 A 向右平移个单位长度 B 向左平移个单位长度 C 向右平移个单位长度 D 向左平移个单位长度 考点 函数 y Asin x 的图象变换 专题 三角函数的图像与性质 分析 由函数的周期性求得 2 可得 f x sin2 x 再根据根据函数 y Asin x 的图象变换规律 得出结论 解答 解 由于函数 f x sin x x R 0 的最小正周期为 故有 2 f x sin 2x sin2 x 根据函数 y Asin x 的图象变换规律 为了得到函数 g x sin x 的图象 只要将 y f x 的图象向右平移个单位长度即可 故选 A 点评 本题主要考查函数 y Asin x 的图象变换规律 由函数 y Asin x 的 部分图象求解析式 属于中档题 6 5 分 函数 f x ax2 bx a 0 b 0 在点 1 f 1 处的切线斜率为 2 则 的最小值是 A 10B 9C 8D 考点 导数的运算 基本不等式 4 专题 计算题 综合题 分析 求出原函数的导函数 由 f 1 2a b 2 得 把变形为后整体 乘以 1 展开后利用基本不等式求最小值 解答 解 由 f x ax2 bx 得 f x 2ax b 又 f x ax2 bx a 0 b 0 在点 1 f 1 处的切线斜率为 2 所以 f 1 2a b 2 即 则 当且仅当 即时 成立 所以的最小值是 9 故选 B 点评 本题考查了导数的运算 考查了利用基本不等式求最值 考查了学生灵活变换和处 理问题的能力 是中档题 7 5 分 在 ABC 中 BC 1 B ABC 的面积 S 则 sinC A B C D 考点 正弦定理的应用 专题 计算题 分析 依题意 由 S ABC acsinB c 4 再由余弦定理 b2 a2 c2 2accosB b 最后利用正弦定理 及可求得答案 解答 解 ABC 中 BC 1 B ABC 的面积 S S ABC acsinB 1 c c 4 由余弦定理知 b2 a2 c2 2accosB 1 16 2 1 4 13 b 5 又由正弦定理 得 sinC 故选 D 点评 本题考查三角形的面积公式 考查余弦定理的应用 着重考查正弦定理 考查转化 思想与运算能力 属于中档题 8 5 分 过圆 x2 y2 10 x 0 内一点 5 3 有一组弦的长度组成等差数列 最小弦长为 该数列的首项 a1 最大弦长为数列的末项 a11 则 a2 a4 a6 a8 a10的值是 A 10B 18C 45D 54 考点 等差数列的性质 专题 等差数列与等比数列 分析 过点 5 3 的弦与过点 5 3 的直径垂直时 弦长最小 过点 5 3 的弦中 直径最长 求出最小弦长为该数列的首项 a1 最大弦长为数列的末项 a11 结合等差 数列的性质 可得答案 解答 解 圆 x2 y2 10 x 0 的半径长为 5 圆心坐标为 5 0 故过点 5 3 的弦与过点 5 3 的直径垂直时 弦长最小 最小弦长为 a1 8 过点 5 3 的弦中直径最长 最大弦长 a11 10 故 a2 a4 a6 a8 a10 a1 a11 45 故选 C 点评 本题以等差数列的性质为载体考查了过圆内一点的弦长问题 其中根据已知中圆的 方程及定点 求出最小弦长和最大弦长是解答的关键 9 5 分 重庆长寿湖是重庆著名的湿地公园 每年冬天都有数以万计的各种珍贵鸟类来 此栖息 觅食 有些不法分子在某边长分别为 6 8 10 米的三角形沼泽地内设置机关 当 鸟类进入此三角形区域且靠近任一顶点距离小于 2 米 不包括三角形外界区域 就会被捕 获 假设鸟类在三角形区域任意地点出现的概率是等可能的 则鸟类在此三角形区域中不 幸被捕获的概率为 A B C D 考点 几何概型 专题 计算题 概率与统计 分析 根据题意 利用扇形面积公式算出鸟类进入此三角形区域且靠近任一顶点距离小于 6 2 米时的面积 S1 2 再算出三角形面积 S 24 利用几何概型计算公式可得本题的 概率 解答 解 根据题意 当鸟类进入此三角形区域且靠近任一顶点距离小于 2 米时 所对应的图形面积为 S1 A r2 B r2 C r2 A B C r2 r 2 A B C S1 22 2 又 ABC 的面积 S ABC 24 鸟类在此三角形区域中不幸被捕获的概率 P 故选 D 点评 本题给出实际应用问题 求鸟类不幸被捕获的概率 着重考查了扇形面积公式和几 何概型计算公式等知识 属于基础题 10 5 分 点 P 是双曲线 a 0 b 0 左支上的一点 其右焦点为 F c 0 若 M 为线段 FP 的中点 且 M 到坐标原点的距离为 则双曲线的离心率 e 范 围是 A 1 8 B C D 2 3 考点 双曲线的简单性质 专题 计算题 分析 直接利用双曲线的定义 结合三角形的中位线定理 推出 a b c 的关系 求出双 曲线的离心率 解答 解 设双曲线的左焦点为 F1 因为点 P 是双曲线 a 0 b 0 左支上 7 的一点 其右焦点为 F c 0 若 M 为线段 FP 的中点 且 M 到坐标原点的距离为 由三角形中位线定理可知 OM PF1 PF1 PF 2a PF a c 所以 1 故选 B 点评 本题是中档题 考查双曲线的基本性质 找出三角形的中位线与双曲线的定义的关 系 得到 PF a c 是解题的关键 二 填空题 共二 填空题 共 5 5 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 2525 分 分 11 5 分 已知抛物线方程 y 2x2 则它的焦点坐标为 考点 抛物线的简单性质 专题 圆锥曲线的定义 性质与方程 分析 先化抛物线的方程为标准方程 再确定焦点坐标 解答 解 由题意 x2 故其焦点在 y 轴半轴上 p 焦点坐标为 故答案为 点评 本题主要考查了抛物线的标准方程 解题的时候注意抛物线的焦点在 x 轴还是在 y 轴 12 5 分 如图所示的程序框图输出的结果 i 11 8 考点 循环结构 专题 图表型 分析 首先判断程序框图意图 然后按照程序框图进行执行运算 当满足跳出条件时 输 出 I 的值 解答 解 根据程序框图 运行如下 S 0 i 1 S 2 i 2 S 2 4 i 3 S 2 4 6 i 4 S 2 4 6 8 i 5 S 2 4 6 8 10 i 6 S 2 4 6 8 10 12 i 7 S 2 4 6 8 10 12 14 i 8 S 2 4 6 8 10 12 14 16 i 9 S 2 4 6 8 10 12 14 16 18 90 i 10 S 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 110 i 11 此时跳出循环体 输出 I 11 故答案为 11 9 点评 本题考查程序框图 通过对框图的理解 进行执行运算 当满足条件时跳出并输出 I 本题属于基础题 13 5 分 已知 x y 满足不等式组则目标函数 z 3x y 的最大值为 12 考点 简单线性规划 专题 不等式的解法及应用 分析 本题主要考查线性规划的基本知识 先画出约束条件 的可行域 再求出 可行域中各角点的坐标 将各点坐标代入目标函数的解析式 分析后易得目标函数 Z 3x y 的最大值 解答 解 约束条件 的可行域如下图示 由图 得目标函数 z 3x y 在 A 4 0 处取得最大值 12 故答案为 12 10 点评 在解决线性规划的小题时 我们常用 角点法 其步骤为 由约束条件画出可行 域 求出可行域各个角点的坐标 将坐标逐一代入目标函数 验证 求出最优 解 14 5 分 在平行四边形 ABCD 中 E 为 BC 的中点 设 则 m n 考点 平面向量的基本定理及其意义 专题 平面向量及应用 分析 由于 而已知 可得 m 1 n 由此求得 m n 的值 解答 解 由题意可得 而已知 可得 m 1 n 则 m n 故答案为 点评 本题主要考查平面向量基本定理及其几何意义 属于中档题 15 5 分 观察下列问题 已知 1 2x 2013 a0 a1x a2x2 a3x3 a2013x2013 令 x 0 可得 a0 1 令 x 1 可得 a0 a1 a2 a3 a2013 1 2 1 2013 1 令 x 1 可得 a0 a1 a2 a3 a2013 1 2 1 2013 32013 请仿照这种 赋值法 求出 1 考点 类比推理 11 专题 规律型 分析 仿照这种 赋值法 令 x 可得 a0 0 再令 x 0 可得 a0 1 从而求得的值 解答 解 已知 1 2x 2013 a0 a1x a2x2 a3x3 a2013x2013 令 x 可得 a0 0 再令 x 0 可得 a0 1 则 0 1 1 故答案为 1 点评 本题主要考查二项式定理的应用 注意根据题意 分析所给代数式的特点 通过给 二项式的 x 赋值 求展开式的系数和 可以简便的求出答案 属于中档题 三 解答题 共三 解答题 共 6 6 小题 共小题 共 7575 分 每题要有必要的解题步骤和文字说明 分 每题要有必要的解题步骤和文字说明 16 13 分 已知点 1 2 是函数 f x ax a 0 且 a 1 的图象上一点 数列 an 的前 n 项和 Sn f n 1 1 求数列 an 的通项公式 2 若 bn n an 求数列 bn 的前 n 项和 Tn 考点 数列与函数的综合 数列的求和 专题 等差数列与等比数列 分析 1 当 n 1 时 a1 S1 1 当 n 2 时 an Sn Sn 1 即可得出 2 由于 bn n an 所以 利用等差数列和等比数列的前 n 项和公式即 可得出 解答 解 1 把点 1 2 代入函数 f x ax得 2 a1 解得 a 2 数列 an 的前 n 项和为 Sn f n 1 2n 1 当 n 1 时 a1 S1 1 当 n 2 时 对 n 1 时也适合 2 由于 bn n an 所以 12 分组求和可得 点评 熟练掌握当 n 1 时 a1 S1 1 当 n 2 时 an Sn Sn 1求 an 等差数列和等比数列 的前 n 项和公式是解题的关键 17 13 分 已知函数 f x 2sin 2x 4cos2x 2 1 求函数 f x 的单调减区间 2 若 求函数 f x 的值域 考点 三角函数中的恒等变换应用 复合三角函数的单调性 专题 计算题 分析 1 利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数 根据正弦函数的增减 区间性质即可求出 2 把 x 的范围代入求出正弦函数的取值范围 根据增减区间从而求出值域 解答 解 f x 2sin 2x 4cos2x 2 2 sin2x 2cos2x 2sin 2x 4 分 1 f x 的单调减区间满足 2x k Z x k Z 8 分 2 x 根据正弦函数的增减区间性质可知 当 2x 时 f x min 1 当 2x 时 f x max 2 f x 的值域为 1 2 13 分 13 点评 此题考查了两角和与差的正弦函数公式 以及正弦函数的单调区间与值域 熟练掌 握公式是解本题的关键 18 13 分 某校高三 1 班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同 程度的破坏 但可见部分如下 据此解答如下问题 1 求全班人数 并计算频率分布直方图中 80 90 间的矩形的高 2 若要从分数在 80 100 之间的试卷中任取两份分析学生失分情况 则在抽取的试卷 中 求至少有一份分数在 90 100 之间的概率 考点 古典概型及其概率计算公式 频率分布直方图 茎叶图 专题 概率与统计 分析 1 由茎叶图先分析出分数在 50 60 之间的频数 结合频率分布直方图中该组 的频率 可由样本容量 得到全班人数 再由茎叶图求出数在 80 90 之间 的频数 结合频率分布直方图中矩形的高 得到频率分布直方图 中 80 90 间的矩形的高 2 先对分数在 80 100 之间的分数进行编号 并统计出从中任取两份的所有基 本事件个数 及至少有一份分数在 90 100 之间的所有基本事件个数 代入古典概 型概率计算公式可得答案 解答 解 1 由茎叶图知 分数在 50 60 之间的频数为 2 频率为 0 008 10 0 08 全班人数为 25 人 又 分数在 80 90 之间的频数为 25 2 7 10 2 4 频率分布直方图中 80 90 间的矩形的高为 0 016 7 分 2 将 80 90 之间的 4 个分数编号为 1 2 3 4 90 100 之间的 2 个分数编 号为 5 6 在 80 100 之间的试卷中任取两份的基本事件为 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 2 3 2 4 2 5 2 6 3 4 14 3 5 3 6 4 5 4 6 5 6 共 15 个 其中 至少有一个在 90 100 之间的基本事件有 9 个 故至少有一份分数在 90 100 之间的频率是 13 分 点评 本题考查的知识点是古典概型及其概率计算公式 频率分布直方图 茎叶图 是统 计和概论比较综合的应用 学会用图并掌握相关的重要公式是解答的关键 19 12 分 2010 巢湖模拟 如图 四棱锥 P ABCD 的底面是正方形 PA 底面 ABCD PA 2 PDA 45 点 E F 分别为棱 AB PD 的中点 求证 AF 平面 PCE 求证 平面 PCE 平面 PCD 求三棱锥 C BEP 的体积 考点 直线与平面平行的判定 棱柱 棱锥 棱台的体积 直线与平面垂直的性质 平面 与平面垂直的判定 专题 证明题 分析 欲证 AF 平面 PCE 根据直线与平面平行的判定定理可知只需证 AF 与平面 PCE 内一直线平行 取 PC 的中点 G 连接 FG EG AF EG 又 EG 平面 PCE AF 平 面 PCE 满足定理条件 欲证平面 PCE 平面 PCD 根据面面垂直的判定定理可知在平面 PCE 内一直线 与平面 PCD 垂直 而根据题意可得 EG 平面 PCD 三棱锥 C BEP 的体积可转化成三棱锥 P BCE 的体积 而 PA 底面 ABCD 从 而 PA 即为三棱锥 P BCE 的高 根据三棱锥的体积公式进行求解即可 解答 解 证明 取 PC 的中点 G 连接 FG EG FG 为 CDP 的中位线 FGCD 四边形 ABCD 为矩形 E 为 AB 的中点 AECD FGAE 四边形 AEGF 是平行四边形 2 分 AF EG 又 EG 平面 PCE AF 平面 PCE 15 AF 平面 PCE 4 分 PA 底面 ABCD PA AD PA CD 又 AD CD PA AD A CD 平面 ADP 又 AF 平面 ADP CD AF 在 RT PAD 中 PDA 45 PAD 为等腰直角三角形 PA AD 2 6 分 F 是 PD 的中点 AF PD 又 CD PD D AF 平面 PCD AF EG EG 平面 PCD 又 EG 平面 PCE 平面 PCE 平面 PCD 8 分 PA 底面 ABCD 在 Rt BCE 中 BE 1 BC 2 10 分 三棱锥 C BEP 的体积 VC BEP VP BCE 12 分 点评 本题主要考查了直线与平面平行的判定 以及平面与平面垂直的判定和三棱锥的体 积 属于中档题 20 12 分 已知函数 f x 且 f x g x 1 若函数 f x 在区间 1 上为减函数 求实数 a 的取值范围 2 若函数 g x 在 1 e 上的最小值为 求实数 a 的值 考点 利用导数求闭区间上函数的最值 利用导数研究函数的单调性 专题 导数的综合应用 分析 1 函数 f x 在区间 1 上为减函数 0 在 区间 1 上恒成立 a 1 lnx 在区间 1 上恒成立 a 1 lnx max 在区间 1 上 利用其单调性解出即可 2 g x lnx x 0 可得 16 对 a 分类讨论 当 a 0 时 当 a 0 时 当 a 1 时 当 a e 时 即 a e 当 1 a e 时 利用其单调性求出即可 解答 解 1 函数 f x 在区间 1 上为减函数 0 在区间 1 上恒成立 a 1 lnx 在区间 1 上恒成立 等价于 a 1 lnx max 在区间 1 上 1 lnx 在区间 1 上单调递减 1 lnx max 1 ln1 0 a 0 即实数 a 的取值范围为 0 2 g x lnx x 0 当 a 0 时 g x 在 0 上单调递增 在 1 e 上单调递增 g x min g 1 a 解得 应舍去 当 a 0 时 g x 在 0 a 上单调递减 在 a 上单调递增 当 a 1 时 即 1 a 0 g x 在 1 e 上单调递增 解得 a 应舍去 当 a e 时 即 a e g x 在 1 e 上单调递减 解得 a 应舍去 当 1 a e 时 即 e a 1 g x 在 1 a 上单调递减 在 a e 单 调递增 g x min g a ln a 1 解得 a 综上所述 点评 熟练掌握利用导数研究函数的单调性 极值与最值 分类讨论的思想方法等是解题 的关键 21 12 分 已知椭圆 C 直线 m 3 x 1 2m y m 3 0 m R 恒过的定点 F 为椭圆的一个焦点 且椭圆上的点到焦点 F