越野长跑团体赛记分规则的公平性模型

越野长跑团体赛记分规则的越野长跑团体赛记分规则的 公平性公平性 一 问题重述一 问题重述 越野长跑团体赛的记分规则是这样的 每个参赛团体由 7 名队 员组成 取该团体跑在前面的之和为该团体的得分 然后根据各参 赛队得分 由小 5 个队员在所有参赛选手中的排名顺序到大 的顺 序决定比赛排名 试回答以下问题 1 此规则是否存在不公平的地方 如果存在 举例说明 2 试讨论在不计时时 仅仅考虑各位参赛选手的排序信息的前提下 公平的记分规则应满足哪些性质 3 试根据 2 中的讨论 构造你们认为更合理的规则 对你们得到的 结论需说明理由 二 二 模型假设模型假设 1 参赛的人名次不会相同 即俩个人的名次有先后 不会重复 2 先到的人得分低 团体得分低的名次好 3 每个人都跑完了 不会有人没有名次 三 三 符号简单介绍符号简单介绍 1 表示 A 组的第 i 个人的成绩 i 1 2 3 4 5 6 7 i A 2 表示 A 组中人的平均名次A 3 表示 A 组名次的数学期望 A 4 A 组名次的标准差A 2 1 1 7 Ai i A A 5 表示名次 在图上对应的纵坐 hi ii hf A i A 标 6 表示的名次在本组 Ai Q 1 Ai i i hi Q h i A 中占的权值 7 A 组最后求得的总的名次A M 四 四 问题分析及一二问的解答问题分析及一二问的解答 第一问 根据对题的计分规则的研究可以知道 所给的积分 规则有失公平 下面具体举例来说明 1 如果一个队的差距很大 前五名成绩很好 后俩 名成绩很差 则取前五个人的成绩 这个队的团 体成绩会很好 但这违背了团体赛的意义 且不 能如实反映队的真实情况 举例 A B 俩个组 A1 代表 A 组的第一个人 A1 10 A2 12 A3 14 A4 16 A5 18 A6 1000 A7 1001 B1 11 B2 13 B3 15 B4 17 B5 19 B6 20 B7 21 根据团体精神体现和日常认知 可知 B 组的成绩比 A 组的好 但是根据题中的计分规则却是 A 组的好 所以有失公平 2 如果有 A B 俩组名次为 A1 1 A2 3 A3 5 A4 7 A5 100 A6 101 A7 1001 B1 2 B2 4 B3 6 B4 20 B5 21 B6 1000 B7 1002 那么如果如题中取前五名成绩则 B 组优胜 但如果 取前六名或前四名 则 A 组优胜 所以成绩与所取 人数关系很大 有失说服力 缺乏公平性 3 有 A B 俩组人名次如下 A1 1 A2 2 A3 3 A4 4 A5 200 A6 201 A7 202 B1 10 B2 11 B3 12 B4 13 B5 14 B6 203 B7 204 从优秀率考虑 可以认为 A 组比 B 组优秀 但由于 一个人 A5 的差 使得 A 组整体差的太多 过分夸大 了一个人的影响 所以有失公平性 第二问 一个好的计分规则要能最大程度的反映参赛团体 的真实水平 在任何极端的情况下都能做出公正 的评判 所以积分规则应满足 1 不能过分的夸大一个人对集体的影响 应该对其 影响进行弱化 2 不能忽略成绩差者对总体的影响 第一点和第二 点实际上就是在说要弱化但不得忽略成绩差者对 整体的影响 3 因为是团体赛 所以要体现团体的团结 名次相 差不大的应该更加优秀一点 4 先到的分数少 团体分数小的优胜 五 问题分析 问题分析 根据积分规则 首先不要忽视成绩差的对总体的影响 所以处理成绩时取一组所有人的数据 其次是不能让 个别人成绩过大的影响总体 所以要进行一定的弱化 最后要对每组人的名次的方差大小程度 可一定程度 体现团结合作的精神 六 六 模型的建立 模型的建立 由于要使得名次排在后面的人对团体的影响小一些 所以可以建立一个权值系统使得名次靠后的人的成绩 权值小 同时要兼顾团体成绩的离散程度对总体的影 响 即对整体的影响 所以可以建立正态分布曲线 模型 对每一个组的成绩求得一个正态曲线 其中为这组 的平均名次 为他们的标准差 横坐标对应 着名次 纵坐标为 h h 的大小代表了对应 的名次在总体中占得比重 反映了权值 假设一组人的名次按从小到大的顺序依次 为 A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 根据最大似然估计得 均值 7 1 Ai i AA 标准差 2222 1 1 7 AAAAi i SSA A 那么可以做出正态曲线 2 2 21 2 A A x A f xex 每个名次在图上对应一个纵坐标 用 i A 表示 那么每个名次 i h ii hf A 所占的权值用表示 i A Ai Q 1 Ai i i hi Q h 最后求总的名次 用表示 A M 7 1 AAii i MQA 最后 M 值越小 名次越好 若相等 则比较每组中最好的名次 越小者则 优胜 综上可得 A 组的总得分为 1 1 i Ai i i i f A MA f A 其中 2 2 21 2 A A x A f xex 7 2 1 1 7 Ai i A A 七 模型验证七 模型验证 7 1 Ai i AA 有一个 350 参加的长跑比赛 随机抽出七 人每组的三组人 A1 11 A2 22 A3 43 A4 64 A5 98 A6 209 A7 308 B1 10 B2 34 B3 35 B4 45 B5 56 B6 203 B7 210 C1 5 C2 14 C3 23 C4 36 C5 78 C6 89 C7 100 B1B2B3B4B5B6B7Mb 名次 1034354556203303 hi0 00320 00390 0040 00420 00450 00180 0016 Qbi0 1380 1680 1720 1810 1940 0780 069 Ai Qbi1 385 7126 028 14510 86415 83420 90768 862 C1C2C3C4C5C6C7MC 名次 51423367889100 hi0 00540 00680 00820 00970 00780 0